高二下学期数学期末模拟卷（一）2024年北师大版2019新高考数学期末冲刺模拟卷

高二下学期数学期末模拟卷（一）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．测试范围：北师大版选择性必修一、选择性必修二。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的二项展开式中的系数为（

）A．15 B．6 C． D．2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的上、下焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．4．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（

）A． B． C． D．5．下列结论正确的是（

）A．已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大B．已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人D．已知随机变量，若，则6．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．7．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（）A．999 B．749 C．499 D．249选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（

）A． B． C． D．10．（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（

）

A．异面直线与所成角大小为B．二面角的平面角的余弦值为C．此八面体存在外接球D．此八面体的内切球表面积为11．设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心三．填空题本题共3小题，每小题5分，共15分12．甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤这5个项目中分别随机选择其中1个项目，记事件A:甲和乙选择的项目不同，事件B:甲和乙恰好一人选择①，则．13．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是．14．在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为，.四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816．记为数列的前项和，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和为．17．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，恒成立，求的取值范围．18．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．(1)求证平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．19．已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意的正整数，.参考答案：1．B【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】的二项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：B.2．B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.故选：B3．C【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.【详解】由题意，、、，则，，，则，则.故选：C.4．A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】，所以，故切线方程为，故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为故选：A.5．D【分析】计算可得平均数不变，可得新数据极差变小，可判断A；利用贺归直线过样本中心点，可求，可判断B；可求得，进而可判断C；由已知得，计算可判断D.【详解】对于A：新数据的总和为，与原数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变，因为，而，即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，故A错误；对于B：因为回归直线方程必经过样本中心点，所以，解得，故B错误；对于C：因为一模考试中的数学成绩，，所以，所以，所以的人数为人，故C错误；对于D：因为，所以，，解得，故D正确.故选：D.6．C【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，此时.

故选：C7．C【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得，因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故选：C8．A【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.【详解】由，得，因此数列为公比为5，首项为的等比数列，故，进而根据累加法得，由于，又，因此，则，故，所以.故选：A9．ABD【分析】根据已知条件，推出，即可得到数列的单调性，从而判断A、B、D，再利用作差法判断C．【详解】因为，所以，，故，故A、B正确；，，所以单调递增，则，所以，则，故C错误；，故D正确.故选：ABD．10．ACD【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角判断AB；由判断C项；利用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项．【详解】连接交于点，连接，由正方形，得，又八面体的每个面都是正三角形，则三点共线，且平面，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，对于A，，则，所以异面直线与所成角大小为，A正确；对于B，，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，于是，又平面与平面所成的二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为，B错误；对于C，因为，即为此八面体外接球的球心，因此此八面体一定存在外接球，C正确；对于D，设内切球的半径为，，八面体表面积则八面体的体积为，又八面体的体积为，因此，解得，所以内切球的表面积为，D正确．故选：ACD【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：.11．AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心12．/0.4【分析】根据给定条件，求出事件和事件含有的基本事件数，再借助古典概率公式计算即得.【详解】依题意，事件含有的基本事件数为，事件含有的基本事件数为，所以.故答案为：13．【分析】由题意转化为，再利用导数转化为求函数的值域，即可求解实数的取值范围.【详解】由题意可知，无解，即，设，，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，所以函数的值域是，所以实数的取值范围是.故答案为：14．【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出B，再分奇偶求出，分组求和即可得解.【详解】因为，，成等比数列，所以，即,又，所以，即，由知，所以，，为偶数，，为奇数，所以.故答案为：15．(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.【详解】（1）根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得，因为，所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.16．(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.（2）,所以故所以，.17．(1)极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2），设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【详解】（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且，由是的中点，故，且，则有、，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则有、、，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，分别取，则有、、，，即、，则，故平面与平面的夹角余弦值为；（3）由，平面的法向量为，则有，即点到平面的距离为.19．(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.【详解】（1）由已知有，故的方程为.当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.故，从而，.（2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.从而根据韦达定理，另一根，相应的.所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.所以.这就得到，.所