专题04解三角形小题常考题型归类（考题猜想8题型）

专题04解三角形小题一．正余弦定理解三角形1．（2324高一下·江苏南京·月考）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，且，所以，即，所以由余弦定理得.故选：D2．（2324高一下·福建泉州·期中）已知中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理得，由正弦定理得.故选：A3．（2324高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则b的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由正弦定理角化边得，又，所以①，由余弦定理得②，联立①②求解得，所以.故选：D4．（2324高一下·湖南·期中）设的内角的对边分别为，已知，且，则角（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，由正弦定理，得，或.又.故选：B.5．（2324高一下·重庆万州·期中）在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，两式相减，得，由正弦定理，得，即，因为，所以.故选：A.二．三角形解的个数问题1．（2324高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（

）A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定【答案】C【解析】由正弦定理，得，解得，因为，所以，又因为，所以或，故此三角形有两解.故选：C.2．（2324高一下·福建厦门·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定【答案】A【解析】由，得，又，，故只能为锐角，即，故该三角形只有一解．故选：A.3．（2324高一下·辽宁·期中）在中，，，，则“恰有一解”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，得，方程的判别式，①，解得．当时，转化为，解得符合题意；当时转化为，解得不符合题意；②，且两根之积，可得有一正根和一负根，负根舍去，此时有一解，此时；③，且两根之积，解得，当时，，解得符合题意；当时，解得不符合题意；故若有一解，则或，故“恰有一解”，是“”的必要不充分条件故选：B．4．（2324高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，过作于，如下图示，则，可得时，三角形有两解.当，即时，三角形不存在；当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；故选：B5．（2324高一下·河南周口·月考）在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，，过作于，则，以为圆心，为半径画圆弧，要使有两个解，则圆弧和边应该有两个交点，故且，即，解得．故选：B.三．三角形的形状判断1．（2324高一下·浙江·月考）已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在中，由正弦定理可得：，由，可得：，所以，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以为直角三角形，故“”是“为直角三角形”的充分条件；若为直角三角形，设，，则，所以，所以，所以“”不是“为直角三角形”的必要条件；即“”是“为直角三角形”的充分不必要条件.故选：A.2．（2324高一下·山东·期中）在中，若，则这个三角形是（

）A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为，由正弦定理可得，化简可得，即，即，所以或，即或者，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：A3．（2324高一下·云南丽江·月考）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（

）A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由及正弦定理可得，得，故（舍去）或，即，又，所以，因，，得，故，故是等边三角形，故选：B4．（2324高一下·江苏盐城·月考）已知中，角的对边分别是，若，则是（

）A．钝角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，结合正弦定理可得，所以，又因为是的内角，故，所以是等边三角形.故选：B.5．（2324高一下·河南安阳·期中）（多选）已知的内角所对的边分别为下列说法错误的是（

）A．若，则是等腰三角形B．若，则是直角三角形C．若，则是直角三角形D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】对于A项，由和正弦定理，，即，故得或，即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误；对于B项，因，由余弦定理，，代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误；对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)，因,则,代入(*),得，因，，则，故,即C项正确；对于D项，若是等边三角形，则,即必成立，故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误.故选：ABD.四．三角形的面积与周长问题1．（2324高一下·云南·月考）在中，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为，角是锐角，所以，由余弦定理，，解得，所以的面积.故选：B.2．（2324高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角的对边分别为，若，，边上的高等于，则的面积为（

）A． B．9 C． D．【答案】A【解析】由，即，得，所以.故选：A.3．（2023·内蒙古赤峰·二模）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（

）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【解析】，由正弦定理得，，又，所以，因为，所以，故，因为，所以，由三角形面积公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周长为.故选：B4．（2324高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为．【答案】【解析】在中，由正弦定理得由余弦定理得因为为的内角，则，所以因为的外接圆的半径为由正弦定理得所以由余弦定理得即因为所以当且仅当时取等号，故的面积所以面积的最大值为5．（2324高一下·重庆渝中·期中）在中，角对应的边分别为，已知，且，则，的面积为．【答案】/0.5【解析】因为，在中，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以；因为在中，由正弦定理，即，所以，所以，所以，所以，所以或（舍），因为的面积为．五．三角形的外接圆问题1．（2324高一下·江西·月考）在中，，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得的外接圆的半径，所以的外接圆的面积．故选:．2．（2324高一上·甘肃定西·开学考试）如图，内接于，若，，，则的半径是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】中，由余弦定理知，，则，由正弦定理，外接圆半径为R，则，所以的半径是.故选：A3．（2324高一下·江苏镇江·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，又是中点，所以，又，所以，即，解得（负值舍去），所以，则，所以，即，所以的外接圆面积为，故选：A.4．（2324高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，满足外接圆的半径为，则．【答案】3【解析】因为，所以，因为，所以，所以，，所以，又因为，所以，从而，又外接圆的半径为，所以由正弦定理得．5．（2324高一下·福建莆田·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则外接圆半径为.【答案】【解析】由及正弦定理得，即，即，由，则，所以，因为，所以，所以，所以由正弦定理得，的外接圆半径为.六．解三角形在几何中的应用1．（2324高一下·山西·月考）已知非直角三角形，是的重心，，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】因为是的重心，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以.故选：D2．（2324高一下·重庆·期中）内角对应边分别为．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】连结，因为，根据正弦定理得，则，即，且外接圆半径，即在中，，，所以，且，在中，，所以.故选：B3．（2324高一下·江西抚州·期中）已知中，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得D为BC中点，因为，故，在中，由正弦定理，①，在中，由正弦定理，②，两式相除可得，；设，而，可得，则.故选：D.4．（2324高一下·重庆·期中）如图，已知，，为边上的两点，且满足，．则当取最大值时，的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设，分别记的面积为,则①②由①，②两式左右分别相乘，可得：.故得：.设，在中，由余弦定理，，因，则，当且仅当时，等号成立，此时，因，故，取得最大值，此时的面积等于.故选：C5．（2324高一下·江苏·月考）（多选）如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（

）A．B．C．四边形面积的最大值为D．四边形面积的最大值为【答案】ABC【解析】因为，由正弦定理得，即，因为，可得，所以，又因为，可得，所以，所以为等边三角形，可得，，所以A、B正确；设，在中，由余弦定理得，且，可得，所以四边形的面积为，当时，四边形的面积最大，最大值为，所以C正确，D错误.故选：ABC.七．解三角形与向量结合1．（2324高一下·吉林长春·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，即，由余弦定理可得.因为，所以，故选：D.2．（2324高一下·吉林白城·月考）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，向量，且，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，所以，因为，所以，故选：C.3．（2324高一下·重庆渝中·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，又的面积，且，则（

）A．64 B．84 C．69 D．89【答案】C【解析】由，得，所以，则，即，即，又，即，又，得，联立、、，解得，则，即，由，平方知，所以.故选：C.4．（2324高一下·内蒙古赤峰·月考）中，、、分别是内角、、的对边，若且，则形状是（

）A．有一个角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形C．等腰直角三角形 D．不能确定三角形的形状【答案】C【解析】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，于是得是等腰三角形，即，令直线交于点，则是边的中点，，而，因此有，从而得，所以是等腰直角三角形.故选：C5．（2324高一下·四川眉山·月考）设向量满足，与的夹角为，则的最大值为【答案】4【解析】如图所示，设因为，所以，因为，所以，，，所以四点共圆,因为，，所以，由正弦定理知，即过四点的圆的直径为4，所以||的最大值等于直径4.八．正余弦定理的实际应用1．（2324高一下·湖南·月考）某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】A【解析】由余弦定理可得，则.故选：A2．（2324高一下·江苏盐城·月考）高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在B､C处分别测得雕塑最高点的仰角为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（

）（参考数据）A．4.92 B．5.076 C．5.91 D．7.177【答案】C【解析】在中，由正弦定理得：，所以，在中，；故选：C.3．（2324高一下·河南商丘·月考）北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑——人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征.某学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．故选：A4．（2324高一下·辽宁·期中）2023年下半年开始，某市加快了推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为，基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（

）A． B． C．40km