第十章时间数列分析

第十章时间数列分析1第一节时间数列概述一、时间数列的概念时间数列是指将某种统计指标的不同数值按照时间先后顺序排列而形成的数列,也称时间序列或动态数列。利用时间数列,可以描述现象随时间发展的状态和结果;可以研究现象发展变化的方向、速度和趋势;探索现象发展变化的数量规律及预测未来;对有关的不同时间数列进行对比或不同空间的同类时间数列进行对比,是对经济社会现象进行统计分析非常重要的方法2二、时间数列的种类时间数列按其指标形式不同,可以分为:绝对数时间数列相对数时间数列平均数时间数列其中,绝对数时间数列是基本数列,其余两种数列是派生数列。3(一)绝对数时间数列绝对数时间数列是将同一总量指标在不同时间的数值按时间先后顺序排列而成的一种时间数列。它反映经济社会现象在各个不同时间达到的绝对水平及其发展变化情况。由于总量指标按其反映的时间状态不同,可以分为时期指标和时点指标,所以绝对数时间数列又分为:时期数列时点数列41.时期数列时期数列是将某个时期指标在不同时期的指标数值按时期先后顺序排列而成的绝对数时间数列。时期数列有以下特点:(1)数列中各个指标数值可以相加。时期数列中的每一个指标值表示在一段时期内现象发展过程的总量,它们相加后的数值表示现象在更长时期内发展的总量。(2)数列中各指标数值的大小与其时期长短有直接的联系。时期的长短,主要根据研究目的来决定。(3)数列中的每个指标数值,通常是通过连续不断的登记取得的。52.时点数列时点数列是将某个时点指标在不同时点的指标数值按时间先后顺序排列而成的绝对数时间数列。时点数列有以下特点:(1)数列中各个指标数值不能相加。时点数列中每一指标数值是现象在某一确定瞬间的数量表现。相加后,不仅会发生重复计算,而且也无法说明这个数值是属于哪一个时点上现象的数量,没有实际意义。(2)数列中每个指标数值的大小与其间隔长短没有直接的联系。在时点数列中,两个相邻的时点间的距离叫“间隔”。间隔的长短,主要根据研究的目的和现象在时间上变化的大小来决定6(二)相对数时间数列相对数时间数列是将同一性质相对指标在不同时间的数值按时间先后顺序排列而成的时间数列。它反映经济社会现象之间相互联系的发展过程。

(三)平均数时间数列平均数时间数列是将同一性质平均指标在不同时间的数值按时间先后顺序排列而成的时间数列。它反映现象一般水平的发展趋势。注意：各相对指标值不能相加，相加后没有实际意义。注意：各指标值一般不能相加，计算序时平均数时可相加7三、编制时间数列的原则编制时间数列的目的是要通过对数列中各个指标数值进行动态分析,来研究经济社会现象的发展变化过程及其在数量上的规律性。因此,保证数列中各个指标数值的可比性,是编制时间数列的基本原则。间隔期一致原则经济内容相同原则编制时间数列原则总体范围一致原则计算方法计量单位统一原则8第二节时间数列的水平指标一、发展水平与平均发展水平(一)发展水平时间数列中的每个指标数值叫发展水平。发展水平是计算其他动态分析指标的基础。设发展水平为：a0,a1,a2,…，an

最初水平a0最末水平an

中间水平a1,a2,…，an-1

报告期水平currentlevel基期水平baselevel9(二)平均发展水平（序时平均数、动态平均数）平均发展水平是将经济社会现象在不同时间上的数量差异抽象化,从动态上说明现象总体在一段时间内发展的一般水平,是根据时间数列来计算的。序时平均数与一般平均数的异同比较共同点不同点反映现象的形式反映现象的本质序时平均数都反映现象的一般水平动态同现象不同时间上的差异一般平均数静态同时间不同总体单位之间的差异10二、序时平均数的计算根据时间数列中各期发展水平的不同,计算序时平均数也有不同的方法。其中,根据绝对数时间数列计算序时平均数的方法是最基本的方法。11序时平均数相对数时间数列计算序时平均数平均数时间数列计算序时平均数绝对数时间数列计算序时平均数序时平均数的计算方法间隔相等连续时点间隔不等连续时点间隔不等间断时点间隔相等间断时点由时点数列计算由时期数列计算由序时平均数计算由一般平均数计算由时点数列计算由时期数列计算由时期时点数列间隔期相等间隔期不相等12(一)根据绝对数时间数列计算序时平均数1.根据时期数列计算序时平均数时期数列中各项指标数值可以相加,所以,可采用简单算术平均法,即以时期数除数列中各项指标数值之和求得其序时平均数。用公式表示为:其中:代表序时平均数;αi代表各其发展水平(i=1,2,…,n);n代表时期数。2.根据时点数列计算序时平均数时点数列一般都是不连续数列。但是,如果时点数列的资料是逐日记录,而又逐日排列的。这时就可以把它看作是连续时点数列13(1)根据连续时点数列求序时平均数。连续时点数列：间隔相等间隔不等间隔相等的连续时点数列：是以日为间隔编制的。可用简单算术平均法,即用时点个数除各时点值的总和求其序时平均数。计算公式为:间隔不等的连续时点数列：被研究现象不是逐日变动的,则可根据整个研究时间内每次变动的资料,用每次变动持续的间隔长度为权数,对各时点水平加权,应用加权算术平均法计算序时平均数。计算公式为:14例：某小城市公安局5月份登记的暂住人口数如下：1～10日5463人，11～20日5786人，21～31日5228人。试求5月份的平均暂住人口人数。解：5月份平均暂住人口人数是：15间隔不相等的间断时点数列计算序时平均数

(2)根据间断时点数列求序时平均数。间断时点数列：间隔相等间隔不等间隔不相等的间断时点数列计算序时平均数间隔相等的间断时点数列序时平均数16

例：某仓库测量某产品，每周末库存

第一周

二

三

四五

55kg

53515456试求该仓库某产品这个月的平均重量。

解：17例：某厂2009年库存钢材(单位：吨)资料如表，求该厂2009年各月钢材平均库存量。月份1月1日5月31日9月1日12月31日符号a1a2a3a4钢材平均库存量（吨）1313013136131401314118时间1月初2月初6月底10月初12月底病人数140110155123138例：某医院2009年的住院病人资料如表所示：试求：(1)1月份平均住院病人数。

(2)这年的平均住院病人数。解：

(1)1月份的平均住院病人数是：19v(二)根据相对数时间数列计算序时平均数根据相对数时间数列计算序时平均数的基本方法是,先计算构成相对数时间数列的分子数列与分母数列的序时平均数,然后再将这两个序时平均数对比求得。设代表分子数列的序时平均数;代表分母数列的序时平均数;代表相对数时间数列的序时平均数。则

20v1.由两个时期数列相应项对比形成的相对数时间数列计算序时平均数分子、分母资料齐备计算序时平均数公式21掌握比值、分母资料、缺分子资料计算序时平均数公式掌握比值、分子资料、缺分母资料计算序时平均数公式22公式间隔相等的连续时点数列计算序时平均数间隔相等的间断时点数列计算序时平均数公式2.由两个时点数列相应项对比形成的相对数时间数列计算序时平均数23公式3.由两个不同性质数列对比而形成的相对数时间数列计算序时平均数分子为时期数列、分母为时点数列计算序时平均数24公式分子为时点数列、分母为时期数列计算序时平均数25(三)根据平均数时间数列计算序时平均数由一般平均数所组成的平均数时间数列,实质上也是两个绝对数时间数列相应项对比所形成的。其分子数列是总体标志总量数列,分母是总体单位总量数列。因此,与相对数时间数列一样,先应分别计算分子数列和分母数列的序时平均数,然后进行对比,就可求得一般平均数时间数列的序时平均数v26(一)增长量含义:增长量是某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。它是报告期水平与基期水平之差,反映报告期比基期增长的水平。三、增长量和平均增长量公式27逐期增减量累积增减量公式公式28逐期增减量与累积增减量关系总累积增减量等于各期逐期增减量之和两相邻累积增减量之差等于相应的逐期增减量年距增减量29(二)平均增减量含义——说明某种现象在一定时期内每期平均增加或减少的数量。公式（水平法）30第三节时间数列的速度指标速度指标平均发展速度平均增长速度增长速度发展速度增长1%的绝对值31(一)发展速度含义——发展速度是表明经济社会现象发展程度的相对指标。它根据两个不同时期的发展水平对比而得,说明报告期水平已发展(或增加)到基期水平的若干倍一、发展速度和增长速度公式32环比发展速度——各期水平与上一期水平之比表明现象的逐期发展速度。公式定基发展速度——各期水平与某一固定基期水平之比。表明该现象在较长时期内总的发展速度。因此,也叫总速度。公式环比发展速度与定基发展速度的关系由于采用的基期不同,发展速度可分为定基发展速度和环比发展速度。33（二）增长速度含义——增长量与基期水平之比。表明经济社会现象增长程度的相对指标,说明报告期水平比基期水平增加了若干倍公式34增长速度种类：由于采用的基期不同,增长速度可分为定基增长速度和环比增长速度。公式环比增长速度35公式定基增长速度36（三）增长1%的绝对值增长含义——1%的绝对值是指在基期水平的基础上,每增长一个百分点所代表的实际数量。它是把相对指标与总量指标结合运用的一种派生指标。公式37(四)应用发展速度和增长速度指标应注意的几个问题(1)发展速度与增长速度在涵义上有严格区别。“增加到”是指发展速度,“增加了”则是增长速度。后者系指净增加的百分数或倍数,不包括基数。(2)发展速度和增长速度不仅说明现象发展和增长的程度,同时也说明发展的方向。发展速度大于1,则增长速度为正值,说明现象的发展方向是上升的;反之则说明是下降的。(3)在绝对数时间数列中,若中间水平有负数出现,则不宜和很难用速度指标进行分析,此时可用增长量指标。(4)在作为比较的基期数值极小时,一般不宜用速度指标进行分析v38二、平均发展速度与平均增长速度(一)平均速度指标的意义和作用平均速度可分为平均发展速度和平均增长速度两种。平均发展速度就是一定时期内各环比发展速度的序时平均数,说明某种现象在一个较长时期内逐年平均发展变化的程度。平均增长速度是各环比增长速度的序时平均数,说明某种现象在一个较长时期内逐年平均增长变化的程度。平均增长速度与平均发展速度具有密切的联系,即平均增长速度=平均发展速度-1(或100%)v39平均速度指标是对经济社会现象进行动态分析的重要指标,可用来反映我国国民经济各个时期和社会发展各个阶段中的一般发展情况和增减情况,是编制和检查国民经济和社会发展计划的重要依据之一。v40(二)平均发展速度的计算方法在实际统计工作中,计算平均发展速度常用的方法有——几何平均法、方程法1.几何平均法(水平法)v411.几何法(水平法)公式三个变形公式(二)平均发展速度的计算方法在实际统计工作中,计算平均发展速度常用的方法有——几何平均法、方程法422.方程式法(累计法)公式步骤43(三)计算和应用平均速度时应注意的问题(1)正确选择计算平均速度的方法。应用几何平均法和方程式法求平均速度,它们的数理根据、计算方法、应用条件是不相同的。前者的侧重点是从最末水平出发进行研究,而后者则侧重从各期发展水平的累计总和出发进行研究。(2)要结合具体研究的目的适当地选择基期,注意计算平均速度指标所依据的基本指标在整个研究时期的同质性。(3)用计算出的分段平均速度和突出的速度指标补充说明总平均速度。第四节长期趋势的测定v44平均增长速度含义——某现象在一段较长时间内逐期平均增长的程度。公式45第四节长期趋势的测定一、时间数列的变动因素及组合方式(一)时间数列的变动因素社会经济现象的发展变化是多种因素综合影响的结果。按它们的性质和作用不同,可以分解为长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四种。1.长期趋势(T)长期趋势是指现象在一个较长时期内沿着某一方向所表现出的持续稳定发展变化的趋势。这一方向可以是上升趋势,或下降趋势,也可以是一种水平趋势,都称为长期趋势。462.季节变动(S)季节变动原指现象受自然因素的影响,在一年内随着四季的更替而发生的春、夏、秋、冬较有规律的变动。现在,季节变动的概念是指在一定时期内(一般指一年)有规律的周期性变动。v473.循环变动(C)循环变动指若干年(季或月)为一周期的有一定规律的周期性波动。循环变动不同于长期趋势,因为它不是朝单一方向的持续发展,而是呈现出一种近乎规律性的循环交替波动。循环变动也不同于季节变动。季节变动通常以一年内季、月等为周期;循环变动的规律是一种自由规律,周期长短很不一致,一般有：长周期波动大循环;中周期波动的中循环;短周期波动小循环波动。v484.不规则变动(I)不规律变动亦称剩余变动或随机变动,它是时间数列中除了上述三种变动之外剩余的一般变动,是各种偶然的(或突发性的)因素如战争、自然灾害以及无法预料和具体解释的随机性因素影响的结果。不规则变动与时间无关。v49(二)时间数列的组合方式上式四种变动因素按一定的方式组合形成一种研究模式,称为时间数列传统模式或经典模式,一般分为加法模式和乘法模式。1.加法模式若四种变动因素是相互独立的,则可以加法模式组成时间数列,其形式为:Y=T+S+C+I式中:Y为绝对数时间数列;T为长期趋势也是绝对数指标,与Y同单位,S、C、I为季节变动、循环变动和不规则变动对长期趋势所产生的偏差,或是正值,或是负值。这种模式,季节性影响在循环变动的各个阶段都是相同的。50若四种变动因素是相互交错影响的关系,则可用乘法模式组成时间数列,其形式为:Y=T×S×C×I式中:Y、T均为绝对数指标;S、C、I则是比率,或称为指数,表示季节变动、循环变动和不规则变动对长期趋势影响增加或减少的百分比。实际应用中,无论哪种模式,并非四种变动俱在,往往在一个数列中仅包含其中部分因素。在社会经济统计中,主要采用乘法模式,从而形成以下几种不同组合方式:Y=T×IY=T×S×IY=T×S×C×Iv51二、长期趋势的测定(一)研究长期趋势的意义

研究长期趋势的目的：首先在于通过测定和分析过去一段相当长的时期内客观现象持续向上增长或向下降低的发展趋势,来认识和掌握现象发展变化的规律性。其次,通过分析现象发展的长期趋势,探求这种趋势的类型,对现象未来进行预测。最后,测定长期趋势,便于消除原有时间数列中长期趋势的影响,以便更好地研究季节变动等问题。为了反映现象发展变化的长期趋势,必须对反映现象发展变化情况的时间数列进行修匀。修匀时间数列的统计方法相当多,但各方法的基本思路和实质都是要消除偶然因素引起的随机波动对时间数列的影响,从而使时间数列所反映现象的长期趋势明显地显示出来。现将几种主要的常用方法分别叙述如下。52(二)移动平均法

移动平均法是对原有时间数列进行修匀的较为简单的常用方法,它是采用逐项递移的办法分别计算一系列移动的序时平均数,形成一个新的派生序时平均数时间数列。在这个派生的时间数列中,短期的偶然因素引起的变动被削弱,从而呈现出现象在较长时间的基本发展趋势。v53(三)最小平方法最小平方法的数理根据是:通过数学模型,对时间数列所反映的现象长期发展趋势配合一条较为理想的趋势线。这条趋势线必须满足下述两点要求:最小平方法可用于配合直线,也可用于配合曲线。在应用过程中,必须根据被研究现象发展变化情况,即可根据原有时间数列反映出来的现象变动的特点,经过仔细分析后,确定应配合趋势线的类型。具体作法是,根据原时间数列的数值,在直角坐标上绘制散点图,根据散点图的特点来确定应配合直线还是曲线。

∑(y－yc)=0∑(y－yc)2=最小值541.趋势直线的配合

——当现象的发展表现为每期按大致相同的增减变化，则其发展基本趋势属于直线型。直线趋势方程一般形式yc=a+b·tt—各发展时期；a,b—未知参数，待求。55求参数a、b步骤：（1）利用极值原理，求偏导

∑(y－yc)2=最小值=M

M=∑[y－(a+bt)]2M——=∑2（y－a－bt)（－1）=0

（对a求偏导）aM——=∑2（y－a－bt)（－t）=0

（对b求偏导）B

56

(2)整理

(3)求出a、b57

(4)简便方法令∑t=0，则有58yc=a+b·t+c·t2t—各发展时期；a,b,c—未知参数，待求。

2.二次趋势曲线的配合按最小平方法得出由下列三个标准方程联立的关于a、b、c、的三元一次标准方程:

59令∑t=0，则∑t3=0，有60求出a、b、c61指数曲线方程一般形式yc=abtt—各发展时期；a,b—未知参数，待求。3.指数曲线的配合

——若现象的发展每期大致相等的增减速度增减变化，即各期的环比增减速度大致相等，则其发展趋势基本上是指数曲线型。62（曲线方程两边取对数

lgy=lga+tlgb设

y′=lgy,A=lga,B=lgb,有

y′=A+Bt

利用最小平方法建立标准方程组，求出A、B

∑y′A=———n∑ty′B=———

∑t2

查反对数表求得a、b值。∑y′lga=———n即∑ty′lgb=———

∑t2求参数a、b步骤：63分析现象发展的长期趋势,除可根据所绘制的散点图以确定拟合趋势线的类型外,还可大致按下述原则考虑,如果时间数列逐期增长量大致相同,可拟合直线;如果时间数列二次差(二级增长量)大体相同,可拟合抛物线;当时间数列所示的各期环比速度大体相同时,可拟合指数曲线。v64第五节季节变动、循环变动和不规则变动的测定(一)研究季节变动的意义有许多经济社会现象,由于受到自然条件和社会条件的影响,在一个年度之内会出现季节性变化,比较典型的例子是农业生产。而农业生产的季节性,又影响到农产品加工工业生产的季节性及农产品购销、运输等活动的季节性。自然季节的变化、人们的社会生活习惯以及国家的某些制度规定也使得不少经济社会活动带有明显的季节性特点。广义季节变动的概念：泛指某些经济社会现象在一个较长时间的发展变化过程中,呈现出的有规律性的周期变动。即各周期的长短是相等的,各周期的变化情况是大体相同的。例如,时令性商品销售量的变动情况,是以年为周期,各年内的变动情况大体相同;城市公共交通客运量是以日为周期,每日内变动情况大体相同,等等。65测定季节变动的方法很多,大体上可以分为两类;一是在不考虑长期趋势的影响情况下适用的方法;一是在考虑长期趋势影响情况下适用的方法。前者的运用比较简单,常用的是按月(季)平均法。后者在运用时,应先剔除长期趋势的影响,然后再测定季节变动,常用的是移动平均趋势剔除法。无论应用哪种方法,都需要具备至少五年以上各月(季)发展水平的资料。v(二)季节变动的测定测定661.按月(季)平均法如果一个按月(季)编制的时间数列包含着季节变动,但没有明显的上升或下降的长期趋势,就可应用按月(季)平均法测定其季节变动。一般分以下几个步骤:（1）计算各该年的月(季)平均数。（2）计算各年同月(季)平均数。（3）计算整个时间数列总的月(季)平均数。（4）分别计算各月(季)的季节比率。季节比率又称为季节指数,其v672.移动平均趋势剔除法为了准确地描述现象的季节变动,应当先测定现象的长期趋势,然后设法排除长期趋势的影响,才能计算出比较准确的季节比率。移动平均趋势剔除法就是按照这样的思路,来测定既包含季节变动,又包含着长期趋势的时间数列所反映的客观现象季节变动的有效方法之一。v68二、循环变动的测定(一)研究循环变动的意义

循环变动存在于很多经济和社会现象中。例如,一种产品的寿命一般要经历由试制、成长、成熟和衰退直至被其他新产品所替代这样一种循环过程。一些国家,由于存在周期性经济波动,许多与此有联系的经济社会现象也往往存在相应的循环变动。认识和掌握事物循环变动的规律,预见下一个循环周期可能出现的各种影响,充分利用有利的时机,防其不利因素的影响,对一个国家把握经济波动,进行宏观调控制定经济政策都有着重要的现实意义。v69(二)循环变动的测定测定循环变动最常用的方法是剩余法。这种方法的基本思想是,先从原数列中分解出长期趋势和季节变动,再以原数列除以趋势分量和季节分量,剩余循环和不规则分量,再通过平均的方法消除不规则分量,最后得到只剩循环变动的新数列。v70三、不规则变动的测定对不规则变动也可采用上述剩余法进行测定,即利用已经计算得到的循环变动与不规则变动资料(C·I),除以循环变动指数C。不规则变动I=C·I/C将不规则变动指数绘成曲线。可以看出它是一条围绕着100%微小波动的曲线(见图）v71v图10-5不规则变动指数图72第六节长期趋势及季节指数的计算机实现下面我们根据表10-11、表10-14的数据运用spss软件分别实现时间序列直线趋势模型的拟合和季节指数的测定。一、长期趋势直线模型的拟合首先根据表10-11的数据,实现时间序列直线趋势模型的拟合。(一)操作步骤(1)建立数据文件,并输入数据。定义“旅客发送量”变量,并将各年度旅客发送量按时间顺序输入。(2)定义时间格式,即对数据的所属时间进行界定。点击Data→Definedates,即可出现Definedates对话框,根据数据性质,可选择Years格式,初始年份可定义为1994。v73(3)绘制折线图,观察各年度数据的趋势。点击Graph→Consequence,出现SequenceCharts对话框(见图10-6)。将旅客发送量添加到Variables中,年度变量(Year)添加到时间标签(TimeAxisLables)中,点击OK,即可输出如下的折线图(见图10-7)。v74v图10-6SequenceCharts(时间序列图)对话框图75v10-7旅客发送量趋势直线76(4)求解直线趋势方程。从上面折线图可以看出,旅客发送量的长期趋势接近于一条直线。点击Analyze→Regression→Linear,出现LinearRegression(线性回归)对话框(见图10-8)。将旅客发送量添加到因变量(dependent)框中,将Year添加到自变量(independent)框中。点击OK,输出结果(见表10-18、表10-19、表10-20)。v77v图10-8LinearRegression(线性回归)对话框78(二)结果分析1.模型摘要(modelsummary)根据表10-18所示,此模型可决系数R2(RSquare)=0.963,调整后的R2(AdjustedRSquare)=0.959。估计标准误差(Std.ErroroftheEstimate)为30.277。表10-18模型摘要表ModelRRSquareAdjustedRSquareStdv792.方差分析(anova)根据表10-19所示,模型的回归(Regression)平方和(SumofSquares)为217471.645,残差(Residual)平方和为8250.355,MeanSquare表示平均方差。模型F检验的值为237.232,伴随概率为0.000。表10-19模型方差分析表Model3.模型系数(coefficients)根据表10-20可知,趋势方程为:Yt=524.18+44.464t对模型进行t检验,t值对应的伴随概率为0,证明在99%的概率水平下模型变量旅客发送量与时间存在线性关系(这个结果与本题样本数量过少有关)。表10-20模型系数表v80二、季节指数的测定下面我们根据表10-14的数据,计算各月季节指数。(一)操作步骤(1)建立数据文件,并输入数据。定义产量变量,并将表中60个产量数据按时间顺序输入。(2)定义时间格式,即对数据的所属时间进行界定。点击Data→Definedates,即可出现Definedates对话框,根据本题数据性质,可选择Years,month格式,初始年份本题未明确,可定义为1,表明第1年;同理,初始月份也定义为1。执行本操作后,如图10-10所示,数据文件增加了三个新的变量,分别为YEAR,MONTH和DATE,即各数字都对应所属年度、月度及日期(年度、月度结合)v81v图10-9Definedates(定义时间)对话框82v图10-10定义时间后的数据文件83Analyze→TimeSeries→SeasonalDecomposition,弹出SeasonalDecomposition对话框,添加产量到Variable(s)框内,点击OK,即可输出结果(见表10-21)。v84v图10-9Definedates(定义时间)对话框85v图10-10定义时间后的数据文件Analyze→TimeSeries→SeasonalDecomposition,弹出SeasonalDecomposition对话框,添加产量到Variable(s)框内,点击OK,即可输出结果(见表10-21)。86(3)计算季节调整指数。点击Analyze→TimeSeries→SeasonalDecomposition,弹出SeasonalDecomposition对话框,添加产量表10-21到Variable(s)框内,点击OK,即可输出结果(见)。v(二)输出结果输出结果见表10-21。表10-21各月度季节比率图10-11

87(二)输出结果输出结果见表10-21。

88思考与练习1.什么是时间数列？怎样编制时间数列？2.时间数列有几种？它们之间是个什么关系？3.为什么时间间隔长短对时点总量指标动态数列无直接关系？4.