2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第14讲 二次函数y=ax^2+bx+c的图像解析版

第14讲二次函数y=ax2++bx+c的图像

知识一、二次函数了=以l+机）2+4的图像

二次函数y=4（x+/n）2+&（其中。、用、k是常数，且。片0）的图像即抛物线

y="（x+机『+Z,可以通过将抛物线y=奴?进行两次平移得到.

这两次平移可以是：先向左（相>0时）或向右（机<0时）平移网个单位，再向上（k>0

时）或向下（％<0时）平移闺个单位.

利用图形平移的性质，可知：抛物线y=“（x+/n）2+A（其中。、〃八k是常数，且。=0）

的对称轴是经过点（-",0）且平行于〉轴的直线，即直线x=-机；抛物线的顶点坐标是

{-tn,k）.抛物线的开口方向由。所取值的符号决定，当a>0时，开口向上，顶点是抛

物线的最低点；当。<0时，开口向下，顶点是抛物线的最高点.

题型探究

【例1】说出抛物线y=2(x+l『-3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛

物线y=2%2通过怎样的平移得到的.

【答案】抛物线，=2（x+l）-3的开口向上、对称轴为直线x=—1、顶点坐标为（-L-3）,

由抛物线y=2』先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到.

【解析】抛物线）'=2（x+l）-3,a=2>0,所以开口向上，m=-l,k=-3,则顶点坐标是（-1,

-3）,对称轴为直线户-1,另外根据平移口诀：上加下减、左加右减，则丫=2（工+1）2-3由

抛物线丫=2/先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到.

瓦【例2】已知二次函数y=—（x-iy+4.

（1）画出函数图像的草图；（2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标;

（3）根据图像，说出x取哪些值时，函数值）=0,y>0,3<0.

【答案】(1)图像见解析；(2)(3,0)(-1,0)(0,3)(3)x=3或-1时y=0-l<x

<3时y>0当x<-l或x>3时y<0

【解析】（1）图像如下:

（2）当y=0时，一。一D2+4=°,解得制=3,及=-1,则抛物线与x轴的交点坐标为（3,0）,

(-1,0),当x=0时，y=-1+4=3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3).

(3)当x=3或-1时y=0；当-l〈x<3时y>0；当x<-l或x>3时y<0.

举一反三

1.二次函数y=T(x+4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是()

A.向上，直线x=4,(4,5)B.向下，直线x=-4,(-4,5)

C.向上，直线x=4,(4,-5)D.向上，直线x=-4,(-4,5)

【答案】D

【解析】

解：二次函数y=5(x+4)2+5,

'.・〃=一＞0

，该函数图象的开口向上，对称轴是直线工=-4,顶点坐标为(-4,5),

故选：D.

2.（2020•山东青岛市•九年级期末）将抛物线y=9先向左平移1个单位，再向上平移1个单

位，得到的抛物线为（）

A.y=(x-1)2-1B.y=(x-1)2+1C.y=(x+1)2+lD.y=(x+l)2-1

【答案】c

【解析】

解：抛物线y=N先向左平移1个单位，再向上平移1上个单位得y=(x+l)2+i.

故选：c.

3.(2019•上海市天山初级中学九年级期中)对于函数y=g(x-l)2+2,下列结论正确的是

()

A.在直线x=-l的左侧部分函数的图像是上升的

B.在直线x=-l的右侧部分函数的图像是上升的

C.在直线x=l的左侧部分函数的图像是上升的

D.在直线x=l的右侧部分函数的图像是上升的

【答案】D

【解析】

函数y=g(x-iy+2中”=3>0,所以此抛物线开口向上，因为对称轴x=l的右侧部分函数

的图像是上升的，故选：D.

4.（2021・重庆巴蜀中学九年级月考）在抛物线y=-2（x-l）2+左图象上有三点

（一&,yj,（3,%）,（石,％）,贝IJX、必、必的大小关系是

【答案】

【解析】

解：在二次函数y=-2(x-l)2+/,对称轴x=l,

在图象上的三点(-石，X),(3,%)，(石，X)，

|-^-1|>|3-1|>|75-1|,

则％、上、%的大小关系为：%>%>其.

故答案为：

aa

5.已知二次函数y=«(x+|)2-l的图像在直线x=-1的左侧部分是下降的,那么«的取值范

围是.

【答案】。＞0

【解析】

33

•.•二次函数y=a(x+])2-1的图象在直线x=--的左侧部分是下降的,

3

即在直线X=-万的左侧部分，y随x的增大而减小,

，。＞0,

故答案为：。＞0.

6.当两条曲线关于某直线/对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线/的对称曲线，如果抛物

线弓：卜=/一2尤与抛物线6关于直线》=-1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为

【答案】y=(x+3)2-l

【解析】

解：C]:y=彳2_2x=(x-l)--1,

二顶点坐标是P(1T),

点P(l-l)关于直线x=—l对称的点是P(—3,—l),

2

C2:y=(x+3)-l.

故答案为：y=(x+3)--I.

7.(2021•云南九年级期末)已知二次函数的图像以点A(-L4)为顶点，且过点8(2,-5).

(1)求该函数的解析式;

(2)直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围.

【答案】(1)y=-x2-2x+3-,(2)x<-l

【解析】

(1)设二次函数的解析式为y=a(x-〃)2+&.

由题知：〃=—1,k=4,则y=a(x+l)~+4,

又•.•二次函数图像过点8(2,-5)

-5=a(2+lY+4,

・••二次函数的解析式为：y=-(x+l)~+4=-x2-2x+3.

(2)由(I)知当xv-l时，丁随工的增大而增大.

知识二、二次函数歹="2+叔+。的图像

1.配方法

y=ax2+bx+c=a(x2+—x+—)

222

=aX+^X+(A)-(A)+£1=g+々)2+4.

,a2a2aa\2a4Q

由此可见：函数y="/+bx+c的图像与函数y=a/的图像的形状、开口方向均相同,

只是位置不同，可以通过平移得到.

抛物线丁=0%2+6；+£:的对称轴是直线尤=—二，顶点坐标是（-二，匕）.

2a2a4a

当a〉0时，开口向上，顶点为最低点（最小值）；当。＜0时，开口向下，顶点为最高点

（最大值）.

2.二次函数y=ax2+云+c图象的画法

（1）描点法（五点绘图法）：

步骤：1）利用配方法将二次函数丁=。尤2+笈+。化为顶点式），=〃（*+机）2+&；

2)确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;

3)在对称轴两侧，左右对称地描点画图。

(2)平移法:

步骤：1）利用配方法将二次函数化为顶点式y=a（x+，"）2+k确定其顶点为（-m,k）；

2）作出y=a?的图像;

3）将抛物线y=a?的图像平移，使其顶点平移到（-m,k）.

3.二次函数y=ax2+辰+（、的图像与性质

函数二次函数y=。尤2+0x+c⑶b、c为常数，a/0）

a>0a<0

V

图象Jhx

\L

U*/PV

开口方向向上向下

bh

对称轴直线工=一2直线x=—2

2a2a

b4ac-b2b4ac-b2

顶点坐标(,)(,)

2a4a2a4。

b①当x<—2时，y随X的增大而增大；

①当x<---时，y随x.的增大而减小；

2a2a

增减性

bh

②当尤>一二时，y随工的增大而增大；②当x>---时，y随工的增大而减小；

2a2a

4ac-b24ac-b2

最大（小）值

4。4a

4.二次函数的图象与各项系数之间的关系

字母的符号图象的特征

字

a>0开口向上

a

a<0开口向下

ab>O（a,b同号）对称轴在y轴左侧

b

ab<O（a,b异号）对称轴在y轴右侧

c=0过原点

cc>0与y轴交于正半轴

c<0与y轴交于负半轴

b2-4ac=0与X轴一个交点

b2-4ac

b2-4ac>0与X轴两个交点

b2-4ac<0与X轴没有交点

总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.

题型探究

【例31用配方法把下列函数解析式化为y=a(x+my+k的形式.

(1)y=x2+4x；(2)y=-3/+6x-8.

【答案】(1)y=(x+2)、4：(2)y=-3(x-l)2-5.

【解析】(I)J=X2+4X+4-4=(X+2)2-4；

(2)y=-3(x2-2x+l-l)-8=-3(x2-2x+l)-5=-3(x-l)2-5.

［例4］二次函数），=以2+bx+c图像上部分点的坐标满足下表:

X-3-2-101

y-3-2-3-6-11

则该函数图像的顶点坐标为

【答案】（-2,-2）.

【解析】；x=-3、x=-l时的函数值都是-3,.•.函数图像的对称轴为x=-2,

.••顶点坐标为(-2,-2).

【例5】二次函数y=2/-5x+2的对称轴为,顶点坐标为

二次函数丫=：》-2+2/的对称轴为,顶点坐标为

【答案】直线x=9,顶点信21；直线x=-9,顶点双

4（48）8I832

【解析】抛物线尸++法+c（。/0）的对称轴是直线x=-（,

顶点坐标是（-2,丝」_），把。、6、C分别代入可得对称轴和顶点坐标.

2a4a

【例6】（2021•湖北襄阳市•九年级期中）如图所示的二次函数y=法+c的图象中,

刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）tr-4ac>0；（2）2a>b；（3）a-b+c>0；

（4）a+6+c<0.你认为其中错误的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

•.•抛物线与X轴有两个交点,

A=fe2-4ac>0，所以(1)正确;

,・•抛物线的开口向下,

:.a<G

抛物线对称轴x=-3>0,

za

：,2a<b,所以（2）错误;

=时,y>0,

/.ci—b+c>0,所以(3)正确;

=l时，y<0,

a+b+c<0,所以(4)正确;

故选:A.

・^举一反三

1.（2021・湖南长沙市•八年级期末）已知二次函数y=ar2+fer+c（白加）的图象如图所示，有

下列4个结论：①出?。＞0；②。2V4ac；③9a+3A+cV0；④2cV3b.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

解：①函数对称轴在y轴右侧，则必<0,c>0,故①错误，不符合题意;

②抛物线与x轴有两个交点，则按-4ac>0,所以按>4ac,故②错误，不符合题意;

③x=3时，y=9a+3Z?+cV0,故正确，符合题意;

IQ>

④函数的对称轴为:x=1>故b=-2a,—④③知9a+3b+cV0,代入得----FC<0,

22

故2c<3b正确,符合题意;

故选：B.

2.（2021•上海中考真题）将抛物线丫=以2+法+°（4*0）向下平移两个单位，以下说法错误

的是（）

A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与），轴的交点

不变

【答案】D

【解析】

将抛物线了=奴2+法+c(aHO)向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x

的变化情况不变；与y轴的交点改变

故选D.

3.（2021・上海九年级专题练习）把二次函数了=0?+灰+。（”=0）的图像先向左平移1个

单位，再向下平移2个单位，得到二次函数），=2/+3》+1,则以。、c的值分别为（）

A.a=2,b=\,c=2B.a=2,b=-i,c=2

C.a=-2,b=l,c=-2D.a=-2,b=-1,

【答案】B

【解析】

解：•.•将新二次函数y=2d+3x+l向上平移2个单位，再向右平移1个单位,

得到的解析式为＞=2（%-1）2+3（工一1）+1+2=2/一*+2,

则a,b,c的值分别为。=2,/?=-1,c=2,

故选B.

4.二次函数），=加+法+4"0）中的x和y满足下表:

X012345

y60-20616

利用函数图象，求当1<%<5时，y的取值范围是（)

A.0<y<16B.0<y<16C.-2<y<16D.-2<y<16

【答案】D

【解析】

解：由表可知，函数的顶点坐标是：（2,-2）,开口向上,

当l<x<5时，y的取值范围是：-2Sy<16.

故选：D.

5.（2019・上海市民办新北郊初级中学九年级期中）在同一直角坐标系中，函数y=，刈+〃z和

y=-m：2+2x+2的图象可能是（）

y

D.

【答案】D

【解析】

A：由函数y的图像可知加<0,即函数y=-mf+2x+2开口应向匕与图像不符,

故A错误;

B、由函数y=的图像可知a<0,函数丫=-32+2》+2的对称轴

x=-^=-^-=-<o,则对称轴应在y轴的左侧与图像不符，故B错误;

2a—2mm

C：由函数y=的图像可知机＞0,即函数）=-加/+2》+2开口应向下，与图像不符,

故c错误;

D：由函数y=w+机的图像可知力＜0,即函数y=Tn/+2x+2开口向上，函数

y=s、2x+2的对称轴.4r-嗫4＜°'则对称轴应在,轴的左侧与图像相符，

故D正确;

故选：D.

6.已知抛物线y=-d+4x+c经过点(4,3),那么下列各点中，该抛物线必经过的点是()

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,5)

【答案】B

【解析】

解：；抛物线'=-尤2+4*+<:经过点(4,3),

3=—16+16+c,

・•・物线的解析式为：y=—f+4x+3,

：x=0时，y=3,

抛物线必经过的点是(0,3).

故选：B.

7.（2020・上海九年级二模）如果抛物线y=（a-l）--l（〃为常数）不经过第二象限，那么

的取值范围是

【答案】a<\

【解析】

•..抛物线y=（a-1）/-1为常数）不经过第二象限,

又由表达式知其顶点坐标为（0,-1）,

此图像开口向下，即a-l<0,

・・a<1,

故答案为：a<l.

8.（2019•上海中考模拟）将二次函数>=2丁+4犬-1的解析式化为y=a（x+，〃）2+k的形式,

并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.

【答案】开口方向：向上;点坐标：(-1.-3);称轴：直线x=-l.

【解析】

解：j=2（x2+2x）-1,

y=2(x2+2x+l)-2-l,

y=2(x+l)--3,

开口方向：向上，顶点坐标：(-1,-3),对称轴：直线x=-l.

，总结

1.知识清单:

(1)配方法把二次函数一般式化为顶点式;

(2)二次函数y=a(jc+m)2+k的图像的画法与性质;

(3)二次函数丫=加+法+c的图像与性质;

(4)二次函数图像与系数a、b、c的关系.

2.总结：

（1）对比几种二次函数的图像与性质，重点在开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最

值;

（2）熟记二次函数图像位置与系数a、b、c的正负以及a、b、c有关代数式的关系;

（3）正确理解顶点坐标的意义，并掌握函数图像的平移规律.

课后作业

1.下列抛物线中，顶点坐标为（2,1）的是（)

A.y=(x+2)?+lB.y=(x-2)2+lC.y=(x+2)2-lD.y=(x-2)2-l

【答案】B

【解析】

解:y=(x+2)?+l的顶点坐标是故选项A不符合题意,

y=(x-2)?+l的顶点坐标是(2,1),故选项B符合题意,

y=(x+2)2-1的顶点坐标是(-2,-1),故选项C不符合题意,

y=（x-2）2-l的顶点坐标是（2,-1）,故选项D不符合题意,

故选:B.

2.（2020・上海）Z为任意实数，抛物线（x-k）2-k（存0）的顶点总在（）

A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上

【答案】B

【解析】

解：\'y=a(x-k)2-k.(存0),

.•.抛物线的顶点为（&,-k）,

为任意实数,

，顶点在y=-x直线上,

故选：B,

3.对于抛物线y=-（x+2>+3,①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=-2；③图象不经

过第一象限；④当x>2时，y随x的增大而减小.下列结论中正确结论的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

y=-(x+2)2+3,

・•・抛物线开口向下、对称轴为直线x=-2,顶点坐标为（-2,3）,故①、②都正确;

在y=-(x+2)2+3中,令y=0可求得x=-2+G<0,或x=-2-y/3<0,

抛物线图象不经过第一象限，故③正确;

•.•抛物线开口向下，对称轴为x=-2,

...当x>-2时，y随x的增大而减小,

.•.当x>2时，y随x的增大而减小，故④正确;

综上可知正确的结论有4个,

故选A.

4.（2021•山东九年级期末）平面直角坐标系中，将抛物线y=-2龙2先向左平移2个单位,

再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是（)

A.y=-2(x+2)2+1B.y=-2(x+2)2-1

C.y=-2(x-2)2+lD.y=-2(x-2)2-1

【答案】B

【解析】

解：将抛物线y=-2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达

式是：y—-2(x+2)2-1.

故选：B,

5.（2021・上海九年级专题练习）己知二次函数》="2+云+°（〃00）的图象如图所示，那么〃、

满足（)

A.6F>0,c>0B.6f>0,c<0C.〃V0,C>0D.aVO,c<0

【答案】c

【解析】

解：•.•二次函数图象开口向下,

a<0,

:二次函数图象与y轴的正半轴相交,

0(),

故选：C.

6.(2020・上海九年级一模)沿着x轴正方向看，抛物线y=-(x-1)2在对称轴侧的

部分是下降的（填“左”、“右”）.

【答案】右.

【解析】

解：•..抛物线>=-（X-1）2,

.••该抛物线的对称轴为x=l,当x<l时，y随x的增大而增大，当x>l时，y随x的增大

而减小,

在对称轴右侧的部分是下降的,

故答案为：右.

7.（2021.上海九年级专题练习）如图，抛物线的对称轴为直线x=l,点P、。是抛物线与x

轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点尸的坐标为（4,0）,那么点。的坐标为

【答案】(-2,0).

【解析】

解：；抛物线的对称轴为直线x=l,点P的坐标为(4,0),

.,.点。的横坐标为1x2-4=-2,

.••点。的坐标为(-2,0).

故答案为：(-2,0).

8.（2019・上海江湾初级中学九年级三模）已知抛物线y=2/_4x+5,将该抛物线沿x轴翻

折后的新抛物线的解析式为.

【答案】y=-2x2+4x-5

【解析】

解：抛物线y=2x2-4x+5=2（x-I）2+3,其顶点坐标是（1,3）,将该抛物线沿x轴翻折

后的新抛物线的顶点坐标是（1,-3）,抛物线开口方向与原抛物线方向相反，所以新抛物

线的解析式为y=-2(x-I)2-3.

BPy=-2x2+4x-5.

故答案是：y=-2x2+4x-5.

9.(2015・上海九年级一模)如果抛物线y=(a+3)Y-5不经过第一象限，那么。的取值范围

是

【答案】a<-3

【解析】

试题分析：因为抛物线y=(a+3)V-5的对称轴是y轴且不经过第一象限，所以抛物线开口

向下，所以a+3<0,所以a<—3.

10.(1)己知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在x轴上，则&=

【答案】4或一8

【解析】

•.,抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在x轴上,

.'.△=b2-4ac=[-(a+2)]2-36=(a+2)2—36=0,

解得：a=4或-8.

故答案为：4或-8.

（2）己知抛物线y=Y-（。+2）尤+9为常数）的顶点在y轴上，则，尸

【答案】-2

【解析】

抛物线》=冰2+瓜+。（其中a、b、c是常数，且a/0）的对称轴是直线

》=-3，顶点坐标是（-二，生心.），与y轴交点为（o,，），

2a2a4a

・\。+2=0,

a=-2；

故答案是-2.

11.已知抛物线y=ar2+fev+c的对称轴为直线x=2,且经过点（3,0）,

则a+%+c=

【答案】0.

【解析】方法一：由抛物线的对称性可知，图像过(1,0),代入解析式得a+0+c=0；

方法二：由题意得，2a，解得|,a+b+c=Q.

9a+3b+c=01c=3〃

12.(2021.上海九年级专题练习)如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数

图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点现将抛物线G：y=(x-l)2-l

向右平移得到新抛物线Cz，如果“平衡点”为(3,3),那么新抛物线G的表达式为

［答案］y=(x-5)2-l.

【解析】

解：抛物线y=(x-l)2-l向右平移火(4>0)个单位