【柯西不等式在不等式证明中的体现探究8000字（论文）】

柯西不等式在不等式证明中的体现研究目录1．前言 11.1研究背景 11.2研究意义 11.3研究价值 22.柯西不等式及其证明 22.1柯西不等式的结构魅力 22.2柯西不等式的变式魅力 32.3柯西不等式的证明魅力 72.4柯西不等式证明不等式的魅力 123.柯西不等式在数学中所体现的教育价值 153.1接受数学文化内涵的熏陶 153.2数学思想的培养 16总结 19参考文献 20摘要：柯西不等式是一种解决不等式证明问题时的实用性工具，我们可以使用柯西不等式处理一些十分困难的不等式证明问题.柯西不等式是四大经典不等式之一，它对丰富学生的知识面，扩宽学生的视野，拓展学生思维空间都有着重要的作用.在解决不等式证明时，能够适当地对不等式进行常数拆分，调换某些项的次序，添项等方法来构造出柯西不等式，从而证明不等式，突出柯西不等式的优越性.在柯西不等式的证明、形式、教育价值，使学生依次感受它的对称美、简洁美、和谐美.关键词：柯西不等式；不等式；魅力；体现中图分类号1.前言1.1研究背景柯西不等式在数学中又称柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz不等式）,在高中数学中是四大经典不等式（均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式）之一,柯西不等式在现代数学希尔伯特空间理论、概率论与数理统计、经典实分析与复分析、数值分析、微分方程定性理论及其应用中发挥着重要的作用,所以柯西不等式在数学领域中有着非常重要的地位.柯西不等式首先提出者是由LouisCauchy（路易斯·柯西）在1821年研究数学分析有关“流数”等相关问题时总结整理而成的,并结合自身经验写出了关于柯西不等式最原始最基本的第一篇论文,奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-LouisCauchy）是十九世纪最伟大的法国数学家之一,为现代严谨的数学分析奠定了基础.现在所使用的柯西不等式是在1888年由数学家Schwarz（施瓦茨）独立发现并总结得到的.柯西不等式不仅单纯使用于数学诸多领域中,而且在工程、物理、计算机科学等许多领域的都发挥着不可替代的作用.这一切的一切为后来众多数学家甚至其他领域的科学家对于丰富和发展柯西不等式奠定了坚实的基础，并为柯西不等式的发展指明了方向，促使柯西不等式快速走向成熟，对数学分析的发展具有重要意义.1.2研究意义柯西不等式在解决不等式证明问题时，突显出重要的指导意义.在证明不等式的相关问题中，柯西不等式拥有着非常广阔的用途，在大学数学中，对于有关数学问题的处理和研究颇有重要的价值.在高等数学和其他相关数学领域中，柯西不等式极其重要.巧妙地运用柯西不等式可以解决很困难的不等式证明的数学问题.但是，目前，柯西的不等式研究主要关注高级数学及其解决方案的应用.虽然它为著名的不等式之一，但是柯西不等式应与中学数学教学紧密联系在一起，为了便于提高学生的数学技能提供捷道.值得庆幸的是,在新课程的变革下，柯西不等式陆续地被纳入选修系统，目前，学生课堂和教科书中，都有柯西不等式的烙印.另一方面，它被视为有价值性的内容，它可以扩大学生的知识面，扩宽学生的视野，拓展学生的思维空间都有重要的作用，也给学习者迎来了新的探索意义.1.3研究价值随着柯西不等式在学生新的课本和课堂中的引入，不等式证明的重点就是我们灵活地运用柯西不等式解决其证明，而常常忽视了柯西不等式在高中数学中的教育价值的发现.除此之外，相关研究还缺乏系统性.虽然关于它们的各种变形和使用技巧性的文章有许多，但是，对于它等号成立的条件尤其没有得到太多的重视.然而对于柯西不等式魅力的发现，在某种程度上是极其可贵的.现目前，柯西不等式普遍存在于高中数学中，但对柯西不等式应用挖掘的深度不够，以至于这个缘由，这便要我们通过深入探索其内在含义，尤其在现在新引入的课程和发现的内容上深化，以方便为高中数学教学提供一些基准.2.柯西不等式及其证明2.1柯西不等式的结构魅力柯西不等式的三角形式：,等号成立条件：.柯西不等式的向量形式：柯西不等式的概率论形式：.柯西不等式的积分形式：.[1]而柯西不等式的一般形式：对于任意实数则等号成立的条件是：当且仅当(为常数).[2]通过观察以上四种不同形式的柯西不等式，我们进而能够清晰直观的观察出，它等号左右两边的元素是如此统一，结构上是多么对称和谐.进一步我们从第四个柯西不等式的一般形式总结得到，柯西不等式各元素平方和的乘积大于等于各元素乘积之和的平方.再次让我们感受到柯西不等式结构上的简洁美、对称美，深刻再次展现出柯西不等式结构上的有序、确定性的魅力所在.2.2柯西不等式的变式魅力为了更加方便使用，我们还可以把柯西不等式写成下面形式：（2.1）变式1:对于任意的实数,则：变形思路:在公式(2.1)中令,则可得到变式1.等号成立：当且仅当时.[3]该变式能让我们了解共性的、本质性的事物之间是可以迁移、转换的，让我们达到进一步认识基本数学公式的目的，有利于我们思维品质的提升.变式2：,则等号成立:当且仅当时.[3]变形思路:在公式(2.1)中用替换,用替换,则两边同时除以,所以可得到变式2.此变式在考验我们利用换元的思维方式的转变，让我们在解决类似数学问题时变得更加方便和快捷.变式3:设同号且不为,则等号成立:当且仅当时.[4]变形思路:在公式(2.1)中用替换,用替换,则两边同时除,所以可得到变式3.当时,变式3就相当于同理，变式3中与变式2蕴含着相同的魅力，即换元思想的运用.变式4:设同号且不为,则变形思路:在公式(2.1)中用替换,用替换,所以可得到变式4.[2]推广1:该不等式中令得推论1:若则当且仅当为常数时取等号.推论2:若则当且仅当时,取等号.推广2:赫尔德不等式设满足则等号成立的充分必要条件是[4]证明由Young不等式,得等号成立的充分必要条件是也就是[4]推广3:闵可夫斯基不等式对时，则当且仅当时,等号成立.证明由赫尔德不等式,得所以不难知,当且仅当时,等号成立.注:(1)Young不等式的一种表现形式是其中在变式4中，我们可以通过不断地变换条件、形式等进一步将问题进行推广，这可以让我们在变化、联系中寻求规律，从而训练我们的发散思维.2.3柯西不等式的证明魅力柯西不等式有各种各样的类型，在不同的数学分支中都有着极其广泛的应用。在不同的数学分支它有不同的形式和内容,但其本质是不变的,这充分体现了数学各分支间的关联性、渗透性和统一性.[11]柯西不等式的证明过程是揭示各个量之间关系的过程；是对不等式内涵以及交融知识的会晤.下面是它的几种证明，[5]后三种均为它比较经典的证法.证法1（数学归纳法）当时，不等式显然成立.设时而[6]此种证法可以让我们从“感性”推向“理性”，掌握巩固数学基础原理，但稍不留神容易出错，往往犯下不完全归纳的毛病.证法2（判别式法）由于是关于的二次三项式，且保持非负，故判别式，所以.[7]换种说法为:当全为时，则不等式显然成立.当不全为时，类比一元二次方程判别式结构，构造函数因为对于任意即当且仅当此时等号成立，即证.[5]下面我们再以柯西不等式的另外三种表现形式为例，重点突出利用判别式法证明柯西不等式的魅力，以下是它的另外三种形式及其证明：公式1有当且仅当存在不全为零的常数使时，等式成立.公式2有当且仅当存在不全为零的常数使时，等式成立.公式3对于任意若则有当且仅当存在不全为零的常数使时，等式成立.以上的三个公式，我们可以看出它们的表现形式极为相似，这些公式的左右两边的结构和各个变量之间涉及到的运算是多么地对偶、和谐和统一.[12]公式1到公式3虽然涉及的数学对象不同，但其本质都反映了不同变量间的某种不等的关系且等式成立都体现了它们之间的线性关系，在不同的领域，它的证明方法灵活多样但其不等式均与有着极其类似的地方，所以我们可以构一个非负二次函数，利用法即可证明.[12]类似地在公式1中，显然，根据积分性质有，则其判别式即结论得证.在公式2中，假设在公式3中，假设利用，立得结论得证.[12]以上均为判别式法证明柯西不等式，从它在各种形式上的证明，我们不难看出，判别式法证明与其他证明不同，它严谨而简捷、证明不容易出错.它是我们进行“数学探究”的极好材料,对于培养学生的思维品质，领悟数学思想方法，认识知识间的联系，促进学生的创造性思维是非常难得可贵的.”[12]以上的三个公式，我们可以看出它们的表现形式极为相似，这些公式的左右两边的结构和各个变量之间涉及到的运算是多么地对偶、和谐和统一.[12]证法3（配方法）[13]所以当且仅当即时等号成立.配方法证明柯西不等式是一种“配凑”，“添”，“拆”的方法，它可以改变原有式子的结构，从而能以更加简捷的方式去求解问题，比一般方法证法较为简单和快捷.证法4（归一化法）若或，原命题显然成立，且等号成立.若不全为，且不全为，就令，，则原命题的式子可以化为，容易证明这是成立的，因为等号成立的条件：当且仅当这时有这样的存在，使归一化证明柯西不等式不同于其他证法，它能够定量结果，并且在条件稍有改变的情况下，它证明出的结果所受影响都比较小，但它也是证明柯西不等式的一种比较简便、准确的证明方法.2.4柯西不等式证明不等式的魅力例2.4.1已知都是正数，且，求证：分析在此题中，我们看到不等式左边有平方和，由此我们能够想到柯西不等式的一般式，所以我们可以把本题构造成一个柯西不等式的结构，从而把此题简单化，进一步突出了柯西不等式是解决不等式证明问题时的一种实用性工具.这个不等式证明考验我们的观察、分析能力，有助于培养我们的联想思维.这样利用原有公式解题更能激发我们的学习兴趣，更能在牢牢把握基础知识上学会学以致用，举一反三.证明由柯西不等式得即又即则则另证由基本不等式有：因为正数满足设(其中)因为.所以所以例2.4.2设,满足,试证:分析不等式中含分母并且平方和，由此我们便想到去除分母，即左边乘于，就可以构造出一个柯西不等式结构，即证明如下，进而可以让我们把问题给简单化，进一步快速解决此类不等式问题.证明由柯西不等式知:又因为所以所以原不等式成立.例2.4.3设a，b为非负数且，求证:分析此题中，此不等式与柯西不等式较为相似，而它只是一维的表现形式，则我们可以互换一下的位置，接着用柯西不等式解决问题，使其证明更加简捷.证明又因为,所以故原不等式成立.例2.4.4（2012年福建卷（理））已知函数.且的解集为.求m的值；若，且，求证.分析由可得，.由于“1”的特殊性、任意的多项式的值乘上1后都不会发生变化，所以可以利用这个条件来证明不等式.[8]在本例中，我们可以发现，证明不等式时若利用柯西不等式这个得力工具，在不知如何下手时候，可以启发新思路，同时解法上也非常简洁.本例中，我们可以体会式于变形的巧妙性，通过变形之后可直接使用柯西不等式从而得出最值，深切感受利用柯西不等式的优越性.[8]证明由柯西不等式得综上所述，简介：利用柯西不等式证明不等式的一种经常使用的方法，比如把不等式的常数拆分或对其增加项，把不等式改变为柯西不等式的结构，又或者重新排列不等式某些项的次序，根据问题选择不同的方法使其更容易解决相关不等式证明问题.若用其他方法证明不等式不如构造出柯西不等式证明不等式方便和简洁.凑系数是当所需证明的不等式的两边都只含有一个因式时且其中一边还有一个系数是，我们要依照所需证明的不等式的一边代数式子中的系数，凑出和这个系数相关的数字式子，也就等同于创造了应用柯西不等式的条件.例如常数“1”就可以n个的和，“1”在柯西不等式的形式下有非常大的用处.[9]3.柯西不等式在数学中所体现的教育价值3.1接受数学文化内涵的熏陶普通高中数学课程标准规定，“基础课程概念”作为“数学是人类文化的重要组成部分”.因此，数学课程要充分反映出数学的历史、应用和发展趋势，数学在社会发展中的作用，社会发展在促进数学发展中有着非常重要的作用，比如在数学思想体系、美学、数学的价值和数学的创新精神等方面有着明显的体现.因此，数学课程应帮助学生理解数学在人类文明发展中的作用，为了使学生渐渐形成正确的数学概念.然而，在高中的数学教学往往忽视了对学生的数学历史教育.但随着新课程改革的不断深入，数学史教育给学生迎来了一个新的机遇.因此，对学生进行数学历史教育和对数学学习的兴趣就突出放在教材的每个地方.在学生对于柯西不等式内容课程的学习中，教师可以结合教材穿插有关柯西生活的阅读材料并加以使用.多媒体介入添入有关柯西的数学斗争和名人评级的历史，不仅这只能帮助学生掌握柯西不等式在解决问题中的应用，而且还受到数学史的教育，于是就提升了他们对学习数学的兴趣.著名的数学史学家和教育家数学家史密斯说：“如今，数学史已变得无可否认地重要.”站在数学的方向思量，看出了它在大众教育中起着极其重要的价值.所以，一门知识得了解它的数学史.然而，教师教学过程中，柯西不等式在数学史中的关键被视为一种不常见而核心的内容，它可以激发学生学习数学的兴趣.3.2数学思想的培养在中学教科书中的数学内容大致能够划分为两个方面：一个是表面知识，另一个是深度知识.表面知识阔概为：概念、性质、定律、公式、定理及一些常规数学知识，便构成了深度知识的基础.学生通过教科书直接学习前人总结的相关知识，学习并掌握前人的基础理论，从而继续学习相关的深层知识.在表面知识学习扎实后，能为后面深层知识的学习打下铺垫作用.学生在教师引导学习基础知识为前提下，继续研究深层次知识，进一步丰富学生的数学知识水平.事实上,有一部分教师在教授学生知识的时候只注重表面、粗浅的知识讲授,却没有融入数学高级的科学知识传授方法,这种教学仅仅教会学生基本知识，而不能提高学生的专业知识水平,它不利于学生对高层次知识的掌握,使学生停留在学习上的一个初级阶段.为此,数学教学"思想"应从低级到高级、从简单到复杂循序渐进的培养学生的思维方式,让学生更能接受和学习新知识,提升学生解决数学问题的能力,进而形成良好的数学素养.柯西不等式的引入,恰好应用该种数学思想,因为柯西不等式涵盖多种数学思想方法，更能让广大学生所接受.转化思想:转换包括通过演绎归纳，将未知和复杂的问题转换为已知，换位我们熟悉简单的问题，以便我们可以顺利解决问题.按照现代教科书的准则，注重使用著名的公式被视为学生使用创新性思维的工具.鲜为人知，培养学生的数学变革性思维固然重要，因为它是解决许多数学问题时亘古不变的常用方式.柯西不等式在培养学生数学转换思维中发挥着极为重要的作用.下面有几种固定的转换方法：问题情境的转换，即必须从未知情况解决的问题转换为熟悉，直观，简单的问题特殊和通用转换，集合和图形转换，参数和消除转换，强转换和弱转换，等效转换和非等效转换的条件.言而简之，就是各知识间的方法转变.由于柯西方不等式的研究在中学教科书中没有出现应用柯西不等式的例子，为此，研究了中学不等式与数学之间的联系，并进一步提供了具有代表性的示例，其中体现了数学教学中的“转化”思想.我们放眼在柯西不等式的左右面，我们研究了隐含条件和结论以及转化信息，这对于学生思维方式的培养有重要作用.因此，我们需要在学习和思想上进一步地发展中，需要我们重视知识的背景和发展.然而，在收集联想转换的例子当中.我们的思想层次需要由低到高，由模仿到创新，渐渐掌握数学思维方法.数形结合思想:如同他重要的不等式一样，柯西的不等式在数学当中，拥有着深刻的背景和意义.尤其关键的是，使学生掌握柯西不等式的几何背景有利于学生掌握它的本质.然而对于更复杂的不等式，以柯西不等式为例：对于它的发现更多是定量的定义，透视它的几何背景往往是在证明完成后经过直观定义而得到深层次理解.西方不等式的教学中把数字和形式的两个方面都反映出来，在共性的内容上，西方教学很重视数字和形式相互转化.详细的步骤是：根据数字的结构特征，构造与之相互交融的几何图形，最后使用几何图形进行处理问题.用于解决数学问题或将图形转换为代数信息的图形的特性，进一步把要解决的形状问题转换为对代数问题之间关系的摸索.例如，柯西不等式在数量和形式上的应用有：距离问题，三角形问题，平面向量问题，空间几何和函数最大值问题等方面.联想思想:它是一种心理现象，能够从当前感知的事物的属性中去记住事物的相似性或者共同属性.它对数学技能和思维的发展具有积极意义，还有助于提升学习者解决问题的速度和能力.在解决或证明一道数学问题时，假若不清楚使用哪一种方法便于解决，我们可以使用猜测联想思想，其次进一步研究并发现哪一种方法有实效性和可行性，再次让问题便能顺利得到解决.最普通解决问题的经验为最合理的联想提供了最为准确的猜测的方案，但观察、检测和准确利用此方法去解决数学问题是关键之处，这也可以为挖掘数学问题的间接条件提供便捷，进一步往往使用它们来使问题得到方便的解决.类比思想是指利用已有的知识、经验，进而将未知、不熟悉的问题与已解决的熟悉问题或相似的东西进行对比，最后以有目的性的、创造性的去解决问题.倘若学生在有关内容之前就有很深刻的认知，于是他们就可以很迅速地观察出来并进行类比。教学过程的思维方式在学生学习新课程和解决相关问题有很大的益处.在学生学习柯西不等式时，类比学思想在关于柯西不等式的课本上有两个方面：首先，柯西不等式的二维形式在教科书中给出，并且不等式通过平面向量法得到证明，即类似于柯西不等式的向量形式；西方不平等的二维形式类似于一般形式.这两个类比过程都很重要，而且对学生独立探索的意愿具有很大的促进作用.辩证思维作为哲学的核心构成元素.起始，辩证思维即逻辑推理的一种形式，它包括在思想，自然和历史三个领域中的哲学阐述.辩证思维让我们了解并改变了世界.当然，实际上，哲学中的辩证思维是指以相互矛盾的观点来看待事物以引导问题的处理，进而深化了数学本质.在学生的理解和掌握上，对于改善学生解决问题的能力具有珍贵的借鉴意义和深远影响力.为了促进学生辩证思维的认识，教师要对学生进行明确的指引和开导.对于学生辩证思维能力的形成，在我看来，运用柯西不等式解决不等式证明问题时是一种很重要的技巧.首先我们从观察柯西不等式的结构，尤其多留意等号不等式成立条件，这是一种对立统一的概念.在课堂过程中，教师可以增设一个解决数学测验问题的公平竞争环境，让学生积极参与其中，这有助于鼓励学生养成矛盾的辩证思维.然而，寻找柯西不等式等号成立的条件经常性没有得到更多的重视.换句话说，这一探索过程它可以培养学生使用辩证推理解决问题的能力，并提升他们对事物本身实质性的理解.但是定位柯西不等式等号成立条件有着很重要的探索价值.柯西不等式的学习