自考线性代数经管类04184历年真题及答案资料

全国2008年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题(本大题共1()小题，每小题2分，共20分)

.设A为三阶方阵且|A|=-2则|3A「A|=(D)

-108B.-12C.12D.108

13AZ|=3^|A『=27x(-2)2=108.

3%|+kx2-x3=0

2.如果方程组,4X2-x3=0有非零解，则公(B)

4X2+kx3=0

A.-2B.-1C.1D.2

3&—1

4-1

04-1=3=12(Z+1)=0,k=—\.

4k

04Z

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是(D)

A.AB=BAB.(A+B)-1=A~l+B-'

C.|A+8RA|+|8|D.(A+B)T=AT+BT

4.设A为四阶矩阵，且|A|=2,则|A*|=(C)

A.2B.4C.8D.12

|A*|=|A|*AF=23=8.

5.设夕可由向量%=(1,0,0),a2=(0。1)线性表示，则下列向量中夕只能是(B)

A.(2,1,1)B.(-3,0,2)C.(1,1,0)D.(0-1,0)

。cXj+k2a2~,0,k?)♦

6.向量组%,%，…，鬼的秩不为$($22)的充分必要条件是(C)

A.%，％，…，%全是非零向量

B.a1，％，全是零向量

C.%,。2,…,％中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D.中至少有一个零向量

%,。2,…,%的秩不为S=%,。2,…,见线性相关.

7.设4为"小〃矩阵，方程AX=O仅有零解的充分必要条件是（C）

A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关

AX=O仅有零解or（A）="oA的列向量组线性无关.

8.设A与B是两个相似”阶矩阵，则下列说法错误的是（D）

A.|A|=|31B.秩(A)=秩(B)

C.存在可逆阵P,使pTAP=8D.AE-A=AE-B

-100-

9.与矩阵A=010相似的是（A）

002

1-

100110100101

A.020B.010C.110D.020

001_002002001

有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似.

10.设有二次型/（和工2，巧）=才一只+后，则/（X1,电,马）（C）

A.正定B.负定C.不定D.半正定

当王=1,电=0,》3=0时，/>0；当玉=0,々=1,》3=0时/<0.总之，/有正有负.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.若=o,则&=L

122

k1

=2/-1=0,k——.

122

-32~-326一

102

12.设4=01,B=,则AB=010

010_

14142

飞2-326-

-102

AB=01010

010~

14142

~200--1/200-

13.设4=010,则A-'=010

0220-11/2_

-200100--200100--1001/200-

010010010010010010

0220010020-210010-11/2

14.设A为3x3矩阵，且方程组/Lv=O的基础解系含有两个解向量，则秩（A）=1

秩(A)=〃一r=3-2=1.

15.已知4有一个特征值一2,则3=+2E必有一个特征值6.

兀=一2是A的特征值，则;I2+2=（-2产+2=6是3=42+2E的特征值.

16.方程组%+%2—巧=0的通解是用（T，l，°）‘+B（1,0,1）7.

匹=~X2+X3f-p

x2=x2，通解是1+心0.

X3=X3

17.向量组％=(1,0,0),a2=(1,1,0),%=(-5,2,0)的秩是2

(100](100)

110T010,秩是2.

1-520；

<000,

~200-

18.矩阵A=020的全部特征向量是

002

匕(1,0,0)7+22(0，1，0)7+3(0,0，1)73，42,&不全为零)•

(000)西二修

4=4=4=2,AE—A=000,•x=x,基础解系为0.

220，--

0x3=x3

19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且8与A相似，则1281=-16

-200

\2B\=23010=8x(—2)=—16.

001

121

2

20.矩阵A=2-10所对应的二次型是/(x1,x2,x3)=x1-X2+3x；+4X]X2+2匹马.

103

三、计算题（本大题共6小题,每小题9分，共54分）

1200

012。的值.

21.计算四阶行列式

0012

2001

1200120012001200

0120012001200120

解:=-15.

0012001200120012

20010-4010081000-15

321

22.设A=111,求A-.

101

321100-10100

解:111010111010

101001321100

-101001■-20201-21

01001-1->010001-1

00-21-2-100-211-2-1

-1001/2-11/2--1/2

—>01001-1,A-'=0

001-1/211/2-1/2

-110110

23.设A=002B=022,且A,B,X满足(石一3一=求X,X-l.

002003

解：由(E—B-A)7B7X=E,得［8（石一B-A）］7X=石，即(BE—BB」A)7X=E,

200200-1/200

r

(B-A)X=EfX7=(B—A)r020020X=01/20

001001001

24.求向量组%=(-124),。2=(°，3』,2),«3=(3,0,7,14),%=(2,1,5,6),a5=(1-1,2,0)

X]+无2+巧+X4+X5=7

3匹+2X+巧+为-3%=-2

25.求非齐次方程组2的通解.

x2+2X3+2X4+6X5=23

5x)+4X2-3X3+3X4-x5=12

111117]Fl11117

—3211-3-20-1-2-2-6-23

解：A=

0122623foi22623

54-33-112j[0-1-8-2-6-23

1111171Fl11117

0-1-2-2-6-230-1-2-2-6-23

—>

00000-6000

00-6000000000

11110-1-5-16

022602623

—>

001001000

000000000

西=-I6+X4+5%

x2=23-2X4-6X5

x3=0

%4

2-2

26.设A=-21

0-2

2-220

解：|4E—A|二2A—I2=2(2-1)(2-2)-4(2-2)-42=23-3A2-62+8

022

=(23+8)-32(2+2)=(Z+2)(A2-22+4)-32(2+2)

=(/I+2)(A2-5/L+4)=(2+2)(A-l)(A-4),

特征值4=—2,4=1,4=4.

对于4=—2,解齐次线性方程组(zlE-A)x=o：

‘-420、，2-10、，2-10、-10、

AE-A=2-322-32->0-22->0-22

<02-27<02一2)2一2)00;

1

<2-10、0-10-1/2、西=万工3口/2、

—>01-101-101-1x2=X3,基础解系为四=1

0000XX1

e<07e0，3~3<>

对于4=1,解齐次线性方程组(4E-A)x=0：

‘-12o)，一i20、，-120、-12oA(-io-P

AE-A=202->101->021021—>021

20220000

k0bb0,°,

X]

01、-1、

T011/2基础解系为%=-1/2

e0077

fl/2-12(-200、

令2=1-1/2-2，则P是可逆矩阵，使P-AP=010

,।11)(°04,

四、证明题（本大题6分）

27.设是齐次方程组4=0的基础解系，证明%,%+%，%+%+%也是Ax=。的

基础解系.

证:（1）Ax=0的基础解系由3个线性无关的解向量组成.

（2）4，%，。3是A^O的解向量，则g+%0+%+%也是Ar二°的解向量,

（3）设々%+%2（%+%）+%3（%+%+%）=。，则

(匕+后+自)％+氏+自)%+k3a3=0,

kx+%+自=011

由%,%,出线性无关，得，自+自二°，系数行列式0111^0,只有零解

自二0001

Or+a

%]=&2=%3=0，所以­«1+a2>l2+。3线性无关・

由（1）（2）（3）可知，%+。2，。1+。2+。3也是Al=O的基础解系•

全国2008年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一'单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a]la\2a\3

an5a]]+2。]2%3

1.设行列式。二a2]a22a23=3,D1=a,则Di的值为（C

a2l5a2l+2a2223

a3\a32〃33。315%]+2%2。33

A.-15B.-6C.6D.15

5a}}a\3aU2ai2%3

£>i二Cl5a2i

2\々23+2a22〃23=0+2D=6・

5a3|a33a3]2a3?a33

2•设矩阵（心其。丹则（C）

A.a=3,b=—\,c=\,d=3B.a=—i,b=3,c=\,d=3

C.a=3,b=—l,c=O,d=3D.a=-l,Z?=3,c=0,d=3

a+b=2,a—b=4,c=0,d=3a=3,b=—\,c=0,d=3.

3.设3阶方阵4的秩为2,则与A等价的矩阵为(B）

"11]‘111]<1irpiP

A.000B.011C.222D.222

、oooj1333,

、oooj〈（）oo,

4.设A为〃阶方阵，n>2,则|一5川=（A）

A.(—5)〃|A|B.-5|A|C.51AlD.5"|A|

5.设j，则|A*|=(B)

A.-4B.-2C.2D.4

12

|A*|=|A「T=|A|2T==—2.

34

6.向量组%(s>2)线性无关的充分必要条件是(D)

A.均不为零向量

B.%,火，…,4中任意两个向量不成比例

C.%,%,…,巴中任意s-1个向量线性无关

D.%,%,…,见中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示

7.设3元线性方程组=A的秩为2,小，〃2,小为方程组的解，7+%=(2,0,4)、

/+%=(1,—2,1)"则对任意常数公方程组Ax=6的通解为(D)

A.(1,0,2)7+&(1,—2,1)7B.(1,一2,1)「+氏(2,(),4/

C.(2,0,4)7+&(1,—2,19D.(1,0,2)7+4(123)7

r

取Ax=6的特解：77=1(77(+772)=(l,O,2);

Ax=0的基础解系含一个解向量：a=r)2-r)3=(小+/)一(％+rj3)=(1,2,3),.

8.设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是(D)

A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A

一2不是4的特征值，所以|-2E-A|w0,-2E—A可逆.

9.设4=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(4尸必有一个特征值等于(A)

A.-B.-C.2D.4

42

X=2是A的特征值，则(不『=J.是(4尸的特征值.

10.二次型/(七,巧,13，工4)=%：+4+君+X：+2]314的秩为(C)

A.1B.2C.3D.4

’1000)’1000)

01000100

A二f,秩为3

00110011

70011,,0000,

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

%仇a}b2a}b3

11.行列式a2b}a2b2a2b3

a3bla3b2a3b3

行成比例值为零.

nn皿Tf32）

12.设矩阵A=,p=,则AP『=

C；【（）D。/•

1

AP=：；3=

'001、(0-11、

13.设矩阵A=011,则A--110

J1bu00>

(001100、(]1100n<110-101](1000-11]

011010011010-010-110->010-110

；0oj110oj1001100,

11001J0110<00

'122、

14.设矩阵A=2r3,若齐次线性方程组A广。有非零解，则数吠2.

Q45,

122122

t—4—1

|A|=2t3=0t-4-1==2—t=0,r=2.

-2-1

3450-2-1

(1)(I)

15.已知向量组%=1,a2=-2,。3=1的秩为2，则数/=-2

-VI1)W

f11<117、f11r、

1-21—0-3\-t—>0-31-r,秩为2,则f=-2.

一211J)3+00t+2

2

16.已知向量。=（2,1。3）,，0=0,-2,1代）丁,a与P的内积为2,则数仁

(aQ=2,即2—2+0+3%=2,左=2/3.

,(111

17.设向量a=[z>,—^=,—j=为单位向量，则数反0.

IV2V2>

|a|=jz??+g+g=J'，+1=1,b=0.

'0-2-2、

18.己知2=0为矩阵A=22-2的2重特征值，则，的另一特征值为4

-2-22,

4=4=。，4+4+%=°+2+2,所以4=4.

‘1-20、

19.二次型/。］,巧,左3）=工：+2君一5x；-4均々+2犬2》3的矩阵为一221

、。1-

2

20.已知二次型/（xl,x2,x3）=（Jt+l）xj+伏—1）4+（女—2）君正定，则数k的取值范围为2>2.

伏+1>0k>~]

-k-i>0,<k>\,k>2.

k-2>0k>2

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1111

21.计算行列式。=।之0°的值.

1030

1004

1111111111111111

120001-1-101-1-101-1-1

解：一一一=-2

10300-12-1001-2001-2

10040-1-1300-22000-2

01](301?

22.己知矩阵A=1-10,110

12J1。14,

(1)求A的逆矩阵A一1；(2)解矩阵方程AX=g.

T01100、01100、01100

解：(1)1-10010.0-1-1-110-0-1-1-110

I。1200be1200be01-111

’1002-1-1002-1-1,2-1-1\

—>0-10-221.0102-2-1A-l2-2-1

01-11101111

、01-17<-17

/2-1-130n'5-2-2、

(2)X=A'B2-21o4-3-2

[111、一223,

23.设向量a=(1,-1,-1,1),J3=(-1,1,1-V),求(1)矩阵4=&丁月;(2)A2.

1、‘-111-1、

-11-1-1

解：(1)A=aTJ3=,(-1.1,1,-1)=

一11-1-1

UJC11

-111-1-111-P(4-4-44、

1-1-111-1-11-444-4

(2)A2

1-1-111-1-11-444-4

11-11114-4-44,

r

24.设向量组为=(1,-1,2,4),，%=(0,3,1,2)7,%=(3,0,7,14)。6Z4=(1,-1,2,0),求向量组

的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

'1031、"1031、"1031、

-130-103300110

解：(0],%,%，%)=—>

217201100110

2140,、022-4；<0II

向量组的秩为3,是一个极大线性无关组，%=3%+%+0%.

+2巧=-1

25.已知线性方程组-$+々-3/=2,(1)求当a为何值时，方程组无解、有解;

a

2x}-%+5/=

(2)当方程组有解时,求出其全部解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).

fl02-1’102-1、02-1、

解：(41)=-11-32—>01-1101-11

、2-15a)、0—11a+2,,000

(1)”一3时,方程组无解,。=-3时，方程组有解;

(\02-Px\=-1—2与-1

(2)〃二一3时,(A,b)f01-11x2=1+/，全部解为1+k1

0001

;工3=10JI)

87

26.设矩阵A二,(1)求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量;

12

(2)判定A是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵尸和对角阵A,使得PTAP=A.

/—8—7

解：|AE-A|="=下一l(U+9=(2—1)(2—9),特征值4=1,4=9.

—12一2

对于4=1,解齐次线性方程组(AE-A)x=0：

AE-A=(~7一口，卜=一巧，基础解系为对应的全部特征向

-V1。oj辰=々⑴

量为％1%(占是任意非零常数);

对于4=9,解齐次线性方程组(AE-A)x=0：

AE-A=(1.P，基础解系为对应的全部特征向

1-17)(00J卜=々-⑴

量为七%(后是任意非零常数)・

令P=[-lA=f1。)，则P是可逆矩阵，使得

UJl09j

四、证明题(本题6分)

27.设〃阶矩阵A满足A?=儿证明E-2A可逆，且(E—24尸=E-2A.

证：由42=4,得(E—2A)(E—2A)=E—4A+442=E—4A+4A=E,所以E-2A可逆，且

(E-2AV'=E-2A.

全国自考2008年7月线性代数(经管类)试卷答案

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1.设3阶方阵A=[ai'a2'a3],其中ai(i=i,2,3)为A的列向量，且|A|=2,则

间=|[%+3a2,。2,。3]|=(c)

A.-2B.0

C.2D.6

[x।+x2=0

2.若方程组〔kx「X2=°有非零解，则卜二(A)

A.-1B.0

C.lD.2

3.设A,B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是(C)

A.|AB|=|A||B|B.(AB>1=B-1A-1

C.(A+B)-I=A-1+B-1D.(AB)T=BTAT

4.设A为三阶矩阵，且|A|=2,贝”(A*)-1|=(D)

J_

A.4B.l

C.2D.4

5.已知向量组A：叫"2，。3,014中。2'。3'&4线性相关，那么（B）

A,%，。2，。3，。4线性无关B.%，。2，&3，&4线性相关

C.%可由a2，a3，ct4线性表示D.。3,014线性无关

6.向量组…as的秩为r,且则（C）

A.叫"2,…a,线性无关B.%,。2,…j中任意「个向量线性无关

C.%，。2,…a,中任意什1个向量线性相关

D.四，。2,…4中任意口个向量线性无关

7.若A与B相似，则（D）

A.A,B都和同一对角矩阵相似B.A,B有相同的特征向量

C.A-XE=B-XED.|A|=|B|

8.设内，是Ax=b的解，n是对应齐次方程Ax=O的解，则（B）

A.n+%是Ax=o的解B.口+（%、2）是Ax=O的解

C.%+。2是Ax=b的解D.a」a2是Ax=b的解

9.下列向量中与。=（1,1,-1）正交的向量是（D）

A.a'=（1,1,1）B.a2=（-1,1,1）

C.a3=（1,-1,1）D.a4=（0,1,1）

--11■

10.设A=U一2」，则二次型f（xl,*2内1人*是（B）

A.正定B.负定

C.半正定D.不定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.设A为三阶方阵且|A|=3,贝lj12Al=_24.

12.已知a=(L2,3),则|。T叼=0

16-40]

120

030020

002003_

13.设A=，则A*二

14.设A为4X5的矩阵，且秩(A)=2,则齐次方程Ax=O的基础解系所含向量的个数是

3.

aa

15.设有向量%=(1,0,-2),2=(3,0,7),3=(2,0,6).则由，。2，。3的秩是2.

16.方程xl+x2-x3=l的通解是〃=(1,0,。)'+勺+似1,0,1)，

A-]=-(A-E)

17.设A满足3E+A・A2=0,贝lj3

18.设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3,则|A+E|=_24.

19.设Q与B的内积(。，6)=2,IIB11=2,则内积(2a+B,)=—-8.

3-11

02

20.矩阵A」122一所对应的二次型是3玉+2/—2%%2+2%]工3+4%2%3

三、计算题

120000

300000

()01002

000100

000010

21.计算6阶行列式°02001二18

~251F122[X=『-8

41

已知引，一;2,X满足AX+B=C,求X.L3

22.A=UB=L

23.求向量组5=(1,2,1,3),a2=(4,-1,-5--6),。3=(1,一3,-4,-7)的秩和

14114I

2—1—3095

->

1-5-4000

3-6-7000

其一个极大线性无关组.秩为2,极大无关组为内，a2

X,+x2+x3=1

X2-X3=1

2X|+3x+(a+2)x=b+3

24.当a,b为何值时，方程组23有无穷多解？并求出其通解.

a=Tb=（时有无穷多解。通解是〃=（0,1,0）'+%（一2,1,1），

3-1

25.已知A=P"」，求其特征值与特征向量.

特征值几=4,2=10,A=4的特征向量％=10的特征向量左（1，一71

-2-qA“』+31"百

26.设A』T2上求八口.一211-31,3

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.设。为Ax=0的非零解，。为Ax=b（b。。）的解，证明a与B线性无关.

勺&2P-0

Aga+公0）=AO=0

=k}Aa^-k2Ap

=0+

=0f左2=0

证明.+&2P=0->k[a=0->4=0

所以a与。线性无关。

全国2009年1月高等教育自学考试

线性代数试题及答案

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，3,表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩

阵，⑷表示方阵A的行列式，A“表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为n阶方阵，若屋=。，则必有（D）

A.A=OB/2=OC.AT=OD.|A|=O

2.设A,8都是n阶方阵,且⑷=3,|用=-1,则(A)

A.-3BC.D.3

43

3.设A为5X4矩阵，若秩⑷=4,则秩（5Ab为（C）

A.2B.3C.4D.5

4.设向量a（4,-1,2,-2）,则下列向量中是单位向量的是（B）

A.-aB.-acaD.—a

35i25

5.二次型加"2）=5X；+3君的规范形是（D)

C.-y；+y；D.yj+y；

6.设A为5阶方阵，若秩（4）=3,则齐次线性方程组Ax=O的基础解系中包含的解向量的个数是

(A)

A.2B.3C.4D.5

7.向量空间卬=｛（0,和/）卜+），=0｝的维数是（B）

A.lB.2C.3D.4

2

8.设矩阵A二，则矩阵A的伴随矩阵A*=（B）

14

32、3-2'34、3-4、

A.B.C.D.

4L-413L1,

1

02

9.设矩阵A二I,则A的线性无关的特征向量的个数是（D)

003

、0003,

A.lB.2C.3D.4

10.设A,8分别为机X”和矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（H）

是由（A,B）的列向量构成的向量组，则必有（C）

A.若（D线性无关，则（II）线性无关B.若（I）线性无关，则（II）线性相关

C.若（II）线性无关，则（I）线性无关D.若（II）线性无关，则（I）线性相关

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

‘2r

11.设A=(3,1,0),8=-40,则48=(2,3).

[35,

12.己知向量。=(3,5,7,9),£=(-1,5,2,0),如果a+f=£,贝!H三,0,-5,

-9).

13.设4,8为6阶方阵，且秩(A)=6,秩(5)=4,则秩(AB)=4

14.已知3阶方阵A的特征值为1,-3,9,则卜=-1.

15.二次型危1/2^3N)=#+3君+2后-x：的正惯性指数为j___.

16.设A为3阶方阵，若|47|=2,则1-341=-54.

17.己知向量。=(1,2,-1)与向量尸=(0,1,y)正交，则产____2_.

18.设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为

002」)X)=1-2c

010-1:2,则该方程组的结构式通解为「x2=2+c,(c为任意常数)

024；6

、。;x3=3-2c

19.设5为方阵，且四=3,则1。1=81.

[120](7-20]

20.设矩阵A=370