25届（新教材QG版）数学新考案磨尖课01抽象函数

磨尖课01抽象函数不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用Ff一次函数1.对于正比例函数fx=kx2.对于一次函数fx=kx二次函数3.对于二次函数fx=a4.对于幂函数fx=xn，其对应的抽象函数为5.对于指数函数fx=ax(a>6.对于对数函数fx=logax(a>0三角函数7.对于正弦函数fx=sinx8.对于余弦型函数fx=cosωx9.对于正切函数fx=tanx磨尖点一抽象函数求值典例1（一题多解）已知函数fx的定义域为R，且fx+y+fxA.−3 B.−2 C.0[解析]（法一：赋值法）因为fx+y+fx−y=fx⋅fy，令y=0，可得即fx+2+fx=fx+1因为f2=f1−f0=1−2因为22除以6得到的余数为4，所以∑22k=（法二：原函数法）fx+y+fx−y=所以fx的一个周期为6，且f1=1,f2=−1,f3=−所以∑22k=对于抽象函数的求值，常常利用恰当的赋值解答问题，在赋值时要注意观察变量与所求问题之间的关系，把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量，这是解决抽象函数求值问题的常用策略.当然，也可以通过找对应的初等函数，达到快速解题的效果.1.（一题多解）设函数y=fx的定义域为0,+∞，fxy[解析]（法一：赋值法）令x=2,y=4，则f8=f2+f4=3，令x（法二：原函数法）由函数fx的定义域为0,+∞，且fxy=fx+fy，设函数fx=2.（一题多解）已知定义在R上的函数fx满足f1=1，且f[解析]（法一：赋值法）令x=y=1，则f2（法二：原函数法）由fx+y=fx+fy+1磨尖点二抽象函数的性质典例2[2023·新高考Ⅰ卷]（一题多解）（多选题）已知函数fx的定义域为R，fxy=A.f0=0C.fx是偶函数 D.0为f[解析]（法一：赋值法）fxy对于A，令x=y=0，则对于B，令x=y=1，则f1对于C，令x=y=−1，则f1=f−1+f−1=2f−1，则f−1=0，令y（法二：原函数法）因为fxy=y2fx+x2fy，当对于A，f0=0对于B，f1=1对于C，因为函数fx的定义域为R，且fx的图象关于y轴对称，所以fx对于D，当x>0时，fx=x2lnx，则f'x=2xlnx+x2⋅1x=x2lnx+1，令f对于抽象函数的性质的证明及综合问题，一般需要紧扣题干条件，反复赋值找到fx与f−x,fx1与f1.[2024·广州校考]（一题多解）（多选题）已知定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fA.f0=0 C.fx在[1,2]上的最大值为f[解析]（法一：赋值法）令x=y=0，则f0令y=−x，则f0=fx+设x1<x2，则x1−x2<0，由题意可得fx1−x2>0fx−1>0等价于fx−1>f0，因为fx为R上的减函数，所以（法二：原函数法）定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy，当x<0时，fx2.（一题多解）已知定义域为I=−∞,0∪0,+∞的函数fx（1）求证：fx（2）设当x>1时,①求证：fx在0②求不等式fx[解析]（法一：赋值法）（1）取x1=x2=取x1=x2=−取x1=x，x2=−（2）①设x1>x2>0，则x1x2>1，由当x②由fx是偶函数且在0得不等式fx−1即x−1解得x≠0且x≠1,x>13