25届（新教材QG版）数学精练案基础课31数列的概念及其通项公式

5也可联系8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD⎳FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD⎳FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；5也可联系基础课31数列的概念及其通项公式课时评价·提能基础巩固练1.观察数组2,2，3,4，4,8，5,A.9,128 B.10,128 C.[解析]由题可知,数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2.因此第8个数组为2+7,28，即2.[2024·北京模拟]若Sn是数列{an}的前n项和，SnA.26 B.18 C.22 D.72[解析]∵Sn=2n23.[2024·甘肃月考]已知Sn为数列{an}的前n项和，且SnA.an=2n B.an=[解析]当n≥2时，Sn当n=1时，a1=S1=21+4.已知数列{an}满足an+1=A.15 B.25 C.35[解析]因为a1=25<12，所以a2=45,a3=355.记Tn为数列{an}的前n项积，已知1TA.163 B.154 C.133[解析]令n=1,则T1=43,又Tn=a1a2a3⋯an,所以6.设数列{an}的通项公式an=n2A.−2,+∞ B.[−2,+∞) C.[解析]由数列{an}是单调递增数列，即n+12+bn又数列{−2n+1}是单调递减数列，所以当n=1时，−2n+1取得最大值，7.若数列{an}满足a1=2，an+1A.16 B.−16 C.6[解析]当n=1时，a2=1+a11−a1=−3；当n=2时，故数列{an}是以∴a∴T10=T8.“斐波那契数列”又称“兔子数列”，该数列{an}满足a1=1，a2A.G B.G+1 C.−G[解析]由an=ana2由①+②得a1化简得a1+a2综合提升练9.（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项公式可能是（ABD）.A.an=−C.an=2[解析]对n=1，2，3，4依次进行验证，可知C不符合题意.故选10.（多选题）下列四个选项中错误的是（ACD）.A.数列23,34,45,56B.数列所表示的函数图象是一群孤立的点C.数列1，−1，1，−1，⋯与数列−1，1，−D.数列12,14，⋯，[解析]对于A，当通项公式为an=nn+1时，a1=对于B，由数列的通项公式以及n∈N∗可知，数列的图象是一群孤立的点，故B对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故C错误；对于D，数列12,14,⋯,12n是递减数列，故D错误.11.已知在数列{an}中，an=n[解析]an=n+178n>0，即当n≤6时，an+1≥an所以a6或a7最大，所以n=612.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2−12n，数列[解析]由题意知，数列{an}的前n所以a1当n≥2时，当n=1时，所以an当1≤n≤3时，an<0，所以∣a数列{an}的前n所以Tn当1≤n≤3时，Tnn=−2n+12；当n≥4时，由对勾函数的性质，当n=4时，Tnn综上所述，Tnn应用情境练13.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图，这是一组蜂巢的截面图.其中第一幅图有1个蜂巢，第二幅图有7个蜂巢，第三幅图有19个蜂巢，按此规律，以fn表示第n幅图的蜂巢总数，则fn[解析]由图中规律可知，f2f3f4f5…因此当n≥2时，所以fn=6=6=3经检验当n=1时，符合fn=14.高斯是德国著名的数学家，是近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则称y=[x]为“高斯函数”，例如：[−2.5]=−3，[2.7]=2.已知数列{an}满足a[解析]由an+2+2an=3an+1，得an+2−an+1=2an+1−an.又a2−a1=2，所以数列{an+1−an}构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1−创新拓展练15.（双空题）定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作等积数列的公积.已知数列{an}是a1=2，公积为−6的等积数列，则a3=[解析]因为数列{an}是等积数列，a1所以a2=−3，a3=所以数列{an}的前n当n=2k时，有k个2，k个所以S2k=2k−当n=2k+1时，有k+