§2.3　第1课时　一元二次函数与方程

第1课时一元二次函数与方程第二章§2.3二次函数与一元二次方程、不等式1.能熟练运用十字相乘法分解因式.2.掌握一元二次函数的表达式与图象.3.理解一元二次函数与一元二次方程的关系.学习目标同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之，秦九韶等大家都耳熟能详的名字，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌.既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了，实际上，对于求解一元二次方程方法很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法，请同学们看下面的问题1.导语随堂演练课时对点练一、十字相乘法因式分解二、一元二次方程三、一元二次函数与图象内容索引一、十字相乘法因式分解例1

分解下列因式：(1)x2＋4x＋3；解x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3).(2)5x2－6x＋1；解5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1).(3)m2＋2mn－3n2；解m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n).(4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0).解ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1).反思感悟(1)判定能否使用十字相乘法分解因式时，使用Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘.(2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止.跟踪训练1

(1)因式分解：x2＋3x－10＝____________.解析(x＋5)(x－2)x2＋3x－10＝(x＋5)(x－2).(2)因式分解：x2－(a2＋a＋1)x＋a2(a＋1).解由题意，利用十字相乘法，可得x2－(a2＋a＋1)x＋a2(a＋1)＝(x－a2)[x－(a＋1)].二、一元二次方程问题1

请同学们写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式以及根与系数的关系？例2

求下列方程的根：(1)x2＋3x＋2＝0；解x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)＝0，∴x＝－1或x＝－2.(2)x2＋x－1＝0；解对于x2＋x－1＝0，由Δ＝1－(－4)＝5>0，(3)ax2＋(a＋1)x＋1＝0(a≠0).解ax2＋(a＋1)x＋1＝(ax＋1)(x＋1)反思感悟求一元二次方程的根需注意：(1)首先要把方程变成一般形式.(2)注意方程有实根的前提条件是Δ＝b2－4ac≥0.(3)注意a，b，c应包含各自的符号.(4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别.(5)对求出的根进行化简.解由根与系数的关系得，三、一元二次函数与图象问题2

一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？提示①当Δ>0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，此时，二次函数与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标.②当Δ＝0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根x1＝x2，此时，二次函数与x轴有1个交点，x1(x2)即为交点的横坐标.③当Δ<0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，此时，二次函数与x轴没有交点.例3

已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是A.k<4 B.k≤4C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3√解析由题意可知k－3≠0，且(k－3)x2＋2x＋1＝0有实数根，∴Δ＝4－4(k－3)≥0，即k≤4，综上，k≤4且k≠3.延伸探究1.若把例题中的“二次函数”去掉，求k的取值范围.解此时k－3可以为0，故此时应选B.2.若函数与x轴有两个交点，求k的取值范围.解Δ>0，故有k<4且k≠3.3.若函数与x轴无交点，求k的取值范围.解Δ<0，故有k>4.反思感悟(1)会通过Δ＝b2－4ac的符号判断二次函数的图象与x轴交点的个数.(2)二次项含参时，要注意题目中是否强调是二次函数，如没有强调，需分类讨论.跟踪训练3

已知y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是A.a<α<β<b

B.a<α<b<βC.α<a<b<β

D.α<a<β<b√解析设y1＝(x－a)(x－b)，则y1向上平移2个单位长度得到y的图象，由图易知a<α<β<b.1.知识清单：(1)十字相乘法因式分解.(2)一元二次方程.(3)一元二次函数与图象.2.方法归纳：观察法，图象法.3.常见误区：二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论.课堂小结随堂演练1.若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为A.5 B.－5 C.11 D.－111234√解析由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24.12342.函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是A.(－1,4) B.(－1，－4)C.(1，－4) D.(1,4)√解析由y＝－(x－1)2＋4得函数的顶点坐标为(1,4).1234√解析∵关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，∴k≠0且Δ＝(－1)2－4k≥0，123414解析方程x2－4x＋1＝0的两根为x1和x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，课时对点练基础巩固1234567891011121314151.已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是16解析∵关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22＋4a＝0，解得a＝－1.√2.若非零实数a，b，c满足9a－3b＋c＝0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为A.3 B.－3 C.0D.无法确定12345678910111213141516√解析把x＝－3代入方程ax2＋bx＋c＝0，得9a－3b＋c＝0，即方程一定有一个根为x＝－3.12345678910111213141516解析∵x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－1.√12345678910111213141516√解析设方程2x2－7x＋m＝0的两实数根分别为α，β.又∵方程2x2－7x＋m＝0的两实数根互为倒数，1234567891011121314155.下列一元二次方程有两个不相等的实数根的是A.(n－25)2＝0 B.y2＋1＝0C.x2＋3x－5＝0 D.2m2＋m＝－116√解析A项，(n－25)2＝0，所以n＝25；B项，y2＋1＝0，所以y2＝－1，没有实数根，C项，x2＋3x－5＝0，Δ＝32－4×(－5)＝29>0，所以方程有两个不相等的实数根，D项，2m2＋m＋1＝0，所以Δ＝1－4×2×1＝－7<0，所以方程没有实数根.123456789101112131415166.(多选)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式x3－xy2，取x＝20，y＝10时，用上述方法产生的密码可能是A.201010 B.203010C.301020 D.201030√√√12345678910111213141516解析由于x3－xy2＝x(x＋y)(x－y)，所以取x＝20，y＝10，则x＋y＝30，x－y＝10，所以用上述方法产生的密码可以是203010,301020,201030.123456789101112131415167.二次函数y＝x2－12x＋27的对称轴是______.x＝6123456789101112131415168.对于实数x，y，定义一种运算

：x

y＝x－2y，若关于x的方程x(a

x)＝2有两个相等的实数根，则实数a＝________.4或－4123456789101112131415169.阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2＋(m＋n)x＋mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2＋(m＋n)x＋mn＝(x＋m)(x＋n).例如：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3).运用上述方法分解因式：(1)x2＋6x＋8；解x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)；(2)x2－x－6；解x2－x－6＝(x＋2)(x－3)；12345678910111213141516(3)x2－5xy＋6y2；解x2－5xy＋6y2＝(x－2y)(x－3y)；(4)请你结合上述的方法，对多项式x3－2x2－3x进行分解因式.解x3－2x2－3x＝x(x－3)(x＋1).1234567891011121314151610.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件.(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；解由题意得，销售量＝250－10(x－25)＝－10x＋500，则w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000.12345678910111213141516(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大.解w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.∵－10<0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x＝35时，wmax＝2250，故当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.123456789101112131415综合运用16√解析∵a，b是方程4x2－4x＋m＝0(m<0)的两根，∴b*b－a*a＝b(1－b)－a(1－a)＝b(a＋b－b)－a(a＋b－a)＝ab－ab＝0.1234567891011121314151612.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深是多少尺？A.11 B.12C.13 D.14√12345678910111213141516解析设BC＝x，则AC＝x＋1，AB＝5，在Rt△ABC中，52＋x2＝(x＋1)2，解得x＝12.13.在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是12345678910111213141516√1234567891011121314151614.已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是_____________.x1＝1，x2＝212345678910111213141516解析∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，∴根据抛物线的对称性知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0)，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2.拓广探究1234567891011121314151615.(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列选项正确的是A.abc>0B.3a>2bC.m(am＋b)≤a－b(m为任意实数)D.4a－2b＋c<0√√√12345678910111213141516解析∵抛物线开口向下，∴a<0，∴b＝2a，∴b<0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc>0，∴A正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，抛物线与x轴的一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－3,0)和(－2,0)之间，∴当x＝－2时，y>0，12345678910111213141516∴4a－2b＋c>0，∴D错误；∵b＝2a，∴2b－3a＝4a－3a＝a<0，即2b<3a，∴B正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴当x＝－1时，y有最大值，∴am2＋bm＋c≤a－b＋c(m为任意实数)，∴m(am＋b)≤a－b(m为任意实数)，∴C正确.1234567891011121314151616.阅读理解：(1)特例运算：①(x＋1