常微分计算题及解答

PAGE1PAGE5《常微分方程》计算题及答案PAGE1PAGE5计算题（每题10分）1、求解微分方程。2、试用逐次逼近法求方程通过点(0,0)的第三次近似解.3、求解方程的通解4、求方程组的通解5、求解微分方程6、试用逐次逼近法求方程通过点(1,0)的第二次近似解。7、求解方程的通解8、求方程组的通解9、求解微分方程10、试用逐次逼近法求方程通过(0,0)的第三次近似解.11、求解方程的通解12、求方程组的通解13、求解微分方程14、试用逐次逼近法求方程通过点(0,0)的第三次逼近解.15、求解方程的通解16、求解方程的通解17、求方程组的通解18、解微分方程19、试用逐次逼近法求方程满足初始条件的近似解：.20、利用逐次逼近法，求方程适合初值条件的近似解：。21、证明解的存在唯一性定理中的第次近似解与精确解有如下误差估计式：。22、求初值问题在区域的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、51、52、53、54、55、56、57、58、59、60、61、62、63、64、65、66、求微分方程的通解。67、求的通解。68、求微分方程的通解。故方程的通解为17、解：化简有它的系数矩阵是特征方程或为2-1=0（2¹）特征根1=±1原方程对应于1=-1的一个特解为y1=e-t,x1=e-t对应于2=1的一个特解为y2=et,x2=3et原方程组的通解为18、解：因所以为全微分方程将其分组原方程可写成方程的通解为19、解：20、解：零次近似解为一次近似解为二次近似解为21、证：由及迭代列得设则由归纳法知，对任意次近似解，估计式（1）成立。22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定义区间为其中。这里，从而，即得解的定义区间为。2）求初值问题的二次近似解则二次近似解为3）由误差估计公式其中L是李普希兹常数。因为，可取，则有即第二次近似解在存在区间上的误差不超过。23、解：方程可化为作变换，代入方程得到进一步化简，得两边积分得代回原变量，得原放通解24、解：令，代入原方程得这是齐次方程，再作变换，则方程化为将变量分离，得两边积分得代回原变量，得通解此外，即也是解，它包含在上述通解中。25、解：首先求线性齐次方程的通解。分离变量，得，两边积分得设原方程通解为，代入原方程，得到两边积分得于是，所求方程的通解为。26、解：若对调与的地位，即可把方程化为这是以为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程的通解。分离变量，得，两边积分得为求得原方程通解，设，代入原方程，得两边积分得所以，所求方程的通解为。27、解：若对调与的地位，即可把方程化为这是以为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程的通解。分离变量，得，两边积分得令，代入原方程，得两边积分得所以，所求方程的通解为。28、解：原方程为，令，代入上式得（1）上式两边同乘，并整理得，两边积分得这样，得到线性方程（1）的通解为代回原变量，得原方程通解此外，出现在分母位置，不可取0。29、解：因为，所以有因此方程为全微分方程。取，得于是方程的通解为。30、解：这里，于是因此这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到即所以，方程的通解为31、解：这里，于是因此这是一个全微分方程。即所以，方程的通解为。32、解：这里，经计算知这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到即，所以，方程的通解为。33、解：将方程改写为这里所以这是一个全微分方程。取，得于是方程的通解为。34、解：，

所以，这样，方程有积分因子原方程两端乘以，得到全微分方程即，原方程的通解为。35、解：，

于是得到然，所以，方程有积分因子于是原方程可化为即，因而，方程的通解为36、解：令，则，代入方程得两边积分得，从而将方程降为一阶方程将变量分离，易求得其通解为。37、解：特征方程为，因式分解为特征根为，故所求通解为。38、解：特征方程为，因式分解为特征根为，故所求通解为。39、解：特征方程为，特征根为，故所求通解为。40、解：特征方程为，因式分解为特征根为，故所求通解为.41、解：特征方程为，特征根为（二重），故所求通解为.42、解：特征方程为，因式分解为特征根为（二重），，故所求通解为.43、解：特征方程为，即特征根为（四重），故所求通解为.44、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于不是特征根，故已知方程有形如的特解。将代入已知方程，比较系数得即，因此，已知方程的通解为。45、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于都不是特征根，故已知方程有形如的特解。将代入已知方程，比较系数得即，因而，所求通解为。46、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于3不是特征根，故已知方程有形如的特解。将代入已知方程，比较系数得即，因此，已知方程的通解为。47、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于不是特征根，故已知方程有形如（1）的特解。求出（2）（3）将（1）、（2）、（3）代入已知方程，比较系数得即，因此，已知方程的通解为。48、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，故通解为由于是一重特征根，所以已知非齐次方程有形如的特解。将代入已知方程，得即，因此，所求通解为。49、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为（二重）。=1\*GB3①若，此时齐次方程的通解为过由于1不是特征根，故已知方程有形如的特解。将代入已知方程，得，即所以，时已知方程的通解为。=2\*GB3②若，此时齐次方程的通解为过由于1是二重特征根，故已知非齐次方程有形如的特解。将代入已知方程，得，即所以，时已知方程的通解为50、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为（二重），故齐次方程的通解为由于2是二重特征根，1和0不是特征根，故已知非齐次方程有形如的特解。将代入已知方程，得即，因此，所求通解为。51、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为因为0是一重特征根，故已知非齐次方程有形如的特解。将代入已知方程，得所以，所求通解为。52、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为（三重），故通解为由于是三重特征根，所以已知非齐次方程有形如的特解。将代入已知方程，得即，因此，所求通解为。53、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以对应齐次方程的通解为由于不是特征根，所以已知方程有形如的特解。将代入已知方程，得因此，所求通解为。54、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于不是特征根，所以已知方程有形如的特解。将代入已知方程，得因此，所求通解为。55、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为因为由于不是特征根，故已知方程有形如的特解。将代入已知方程，得因此，所求通解为。56、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于不是特征根，故已知方程有形如的特解。将代入已知方程，得因此，所求通解为。57、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于不是特征根，所以已知非齐次方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得因此，所求通解为。58、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以对应齐次方程的通解为I）若，由于是一重特征根，故已知方程有形如的特解。将代入已知方程，得所以，时所求通解为。II）若，此时已知方程有形如的特解。将代入已知方程，得所以，时所求通解为59、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为，因为而0是一重特征根，不是特征根，故已知方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得因此，所求通解为。60、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于是一重特征根，故已知方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得因此，所求通解为。61、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于0是一重特征根，不是特征根，所以已知方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得因此，所求通解为。62、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为由于是一重特征根，故已知方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得因此，所求通解为。63、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为因为是一重特征根，所以已知方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得因此，所求通解为。64、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为因为是一重特征根，而不是特征根，故已知方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得因此，所求通解为。65、解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为因为一重特征根，故已知方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得因此，所求通解为。66、解：设原方程化为分解得和由得解由得积分之得或者故方程的全部解为和.67、解：令原方程化为即积分得到.68、解：令则代入原方程得：化简得解得故通解为.69、解：（解法一）将原方程重新改写为由于令方程化为分离变量可得即或者两边积分.（解法二）由于方程两端关于是二次齐次函数，故可作变换代入方程后得消去不显含，令得到伯努利方程令所以两边积分因此通解为或者改写.70、解：原方程对应齐次方程特征方程为，所以对应齐次方程通解为自由项是单重特征根，。自由项不是特征根。故令代入原方程两端比较系数得故方程的通解为.71、解：相应齐次方程的特征方程为故，齐次方程的通解为。非齐次方程的特解可令为。故即得,代入(1)得.所以.故原方程的通解为.。72、解：设代入后得到满足其特征方程，齐次方程的通解为。设特解为。满足解得于是所以原方程的通解为。73、解：令，则原方程化为。即。特征方程为通解为或。74、解：令，则原方程化为，特征根为。自由项不是特征根，故特解自由项不是特征根，故特解。设。代入方程后通解为或者。75、解：（解法一）由两端对求导，得可将原方程化为特征方程为，齐次方程通解为。自由项不是特征根。设代入方程解得其通解为（为任意常数）原方程的通解为。（解法二）也可由代入原放后得方程以下解法同解法一。76、解：由（2）式解得（3