常微分方程在数学建模中的应用论文

PAGEPAGE1目录TOC\o"1-8"\f\h\z\u摘要 11引言 22常微分方程的发展概况 23数学建模简介 34常微分方程和数学建模结合的特点 35常微分方程在数学建模中的应用 35.1建立微分方程的方法 45.2市场价格模型 55.3广告模型 75.4人口预测模型 95.5混合溶液的数学模型 115.6振动模型 125.7教育问题模型 166总结 19参考文献 20常微分方程在数学建模中的应用摘要常微分方程是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科.它是研究连续量变化规律的重要工具，是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁.在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆；天文学家通过常微分方程的计算，预见了海王星的存在.随着工业化的进展，常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要作用.计算机和计算技术的发展,使微分方程的求解突破了经典方法的局限,迈向数值计算和图像模拟,这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效手段,也使得建立数学模型显得尤为重要.本文主要从市场价格模型、广告模型、人口预测模型、混合溶液的数学模型、教育问题模型来论述常微分方程在数学建模中的应用。关键字：常微分方程；数学建模；市场价格模型；广告模型；人口预测模型；混合溶液的数学模型；教育问题模型代入初值条件，解得所以，导弹的运动轨迹如下图1所示：图1由上图可知，当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中，被击中的时间为。对于建立微分方程的方法，除了以上例子所举出的利用运用已知规律的方法外，还有微元法、机理分析法（模拟近似法）等。5.2市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型假设在某一时刻,商品的价格为,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格的变化率与需求和供给之差成正比,并记为需求函数,为供给函数（为参数）,于是其中为商品在时刻的价格,为正常数.若设,,则上式变为 ①其中均为正常数,其解为.下面对所得结果进行讨论:（1）设为静态均衡价格,则其应满足,即 ,于是得,从而价格函数可写为,令,取极限得 这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格,则动态价格就维持在均衡价格上,整个动态过程就化为静态过程；（2）由于,所以,当时,,单调下降向靠拢；当时,,单调增加向靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.5.3广告模型在商品销售中，很少有像上例中讲的仅靠商品自身做广告，而是要靠各种媒体大肆宣传。虽然说“只要是美的，人人喜欢”，“酒香不怕巷子深”，但是人们已越来越认识到广告的作用。本模型就从数学角度探讨广告与销售量的关系，并指出广告在商品的不同销售阶段的差异。无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视，常可看到、听到商品广告。随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人们的重视。商品广告确实是调整商品销售量的强有力手段，然而，你是否了解广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些为推销商品作广告的企业极为重要。下面我们介绍独家销售的广告模型。我们假设：1.商品的销售速度会因作广告而增加，但这种增加是有一定限度的，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于它的极限值，当速度达到它的极限值时，无论再作何种形式的广告，销售速度都将减慢。2.自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减小。3.令表示时刻商品销售速度；表示时刻广告水平（以费用表示）；为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限；为衰减因子，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度，为常数。问题中涉及的是商品销售速度随时间的变化情况：商品销售速度的变化=增长-自然衰减。为描述商品销售速度的增长，由模型假设1知商品销售速度的净增长率应该是商品销售速度的减函数，并且存在一个饱和水平，使得。为简单起见，我们设为的线性减函数，则有，其中用表示响应系数，即广告水平对商品销售速度的影响能力，为常数。因此可建立如下微分方程模型：。从模型方程可知，当或时，都有 。为求解该模型，我们选择一个广告策略。在时间段内，用于广告的总费用为，则，代入模型方程有。令，，则有。其解为。若令，则。当时，模型为，其通解为，而时，所以。故。的图形如图3-1所示。图2图35.4人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.1马尔萨斯（Malthus）模型英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为,并设时刻的人口为,于是这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样,,,于是.这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.2逻辑Logistic模型马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而就越大）,并假设将增长率等于,即净增长率随着的增加而减小,当时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当,,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；（2）当时,,这说明是时间的单调递增函数；（3）由于,所以当时,,单增；当时,,单减,即人口增长率由增变减,在处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富,的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,,又当人口总数为时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得,即,从而得,即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.5.5混合溶液的数学模型设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.设时刻容器内的盐量为kg,考虑到时间内容器中盐的变化情况,在时间内容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为,注入的盐水中所含盐量为,时刻容器内溶液的质量浓度为,假设到时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为,这样即可列出方程,即.又因为时,容器内有盐kg,于是得该问题的数学模型为这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为.下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:时刻容器内溶液的质量浓度为,且当时,,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量注入质量浓度为的溶液（指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为,原来的初始质量为,=0时溶液的体积为,在d时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即,其中是流入溶液的质量浓度,为时刻容器中溶液的质量浓度,于是,有混合溶液的数学模型该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.5.6振动模型振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为的物体,试研究其振动规律.假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移及初始速度下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在时刻的位置坐标为,即时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为,为阻尼系数；（5）当质点有位移时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为,其中为劲度系数；（6）在振动过程中受外力的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得图4,①图4这就是该物体的强迫振动方程.由于方程①中,的具体形式没有给出,所以,不能对式①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.1无阻尼自由振动在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力作用.此时方程①变为 ,令,方程变为,特征方程为 ,特征根为 ,通解为 ,或将其写为其中,,.这就是说,无阻尼自由振动的振幅,频率均为常数.2有阻尼自由振动在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为,令,,方程变为,特征方程为,特征根.根据与的关系,又分为如下三种情形：(1)大阻尼情形,>.特征根为二不等实根,通解为(2)临界阻尼情形,.特征根为重根,通解为这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间的变化规律分别如图5和图6所示.图5图6(3)小阻尼情形,<.特征根为共轭复根,通解为将其简化为其中振幅随时间的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随时间的变化规律见图7.3无阻尼强迫振动在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐力,此时,方程①化为图7,,根据是否等于特征根,其通解分为如下两种情形：（1）当时,其通解为,此时,特解的振幅为常数,但当接近于时,将会导致振幅增大,发生类似共振的现象；（2）当时,其通解为,此时,特解的振幅随时间的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频率等于物体的固有频率时,将发生共振.4阻尼强迫振动在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力的作用,并设,方程①变为,特征根,则不可能为特征根,特解为,其中,,还可将其化为,由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当时,,若很小,则仍会有较大的振幅；若比较大,则不会有较大的振幅.5.7教育问题模型改革开放以来，我国的教育取得了深远的发展，教育理念也发生了重大的变化，比如高等教育逐步采取了收费制度并相对完善了资助政策。高等教育经费转变为由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成，一方面减轻了国家的负担，另一方面也符合当下“谁获益谁出资”的大众看法。然而学费多少合适也随之成为一个敏感而又复杂的问题。现在我国各重点高校普通专业学费大约为4000-6000元，这样的标准是否合适？现在的问题就是如何综合考虑家庭可支付能力和学校的教学质量，提出一个合理的收费标准。学费过低会影响学校的教学质量，过高又会超过很多家庭的可支付能力，本文给出的模型要对以上两项做到统筹兼顾。首先，我们看到现在有些高校由于收入与支出的不平衡而出现了大额的银行欠款，进而影响到其在社会中的声誉。很多教师和学生在通过比较后会选择声誉较好的学校教学或求学，因此上面提到的这类高校的教学质量显然会出现严重的下滑。所以高校教育学费的制定，首先要考虑的是保证学校的收支平衡问题。同时，大学收益的增加对其教学质量是有正相关的作用的。其次，高校学费的制定必须考虑到家庭的可承受能力，而每个家庭的收入是不尽相同的。这样，学费越高，就有越多的家庭无力支付这笔费用，它们之间可以认为是一个负相关的函数。这样看来，建立两个目标函数进行最优规划是一个不错的选择，但两个目标的权重却难以确定。权衡之下，我们希望让家庭的可支付能力在学校的收益中得到体现，两个函数合并，模型会简单很多。实际情况中，虽然现行学费不低，但高校入学率却居高不下。究其原因，国家助学贷款起到很大作用。为简化模型，本文把需要申请助学贷款的学生与因无力支付学费而放弃学业的学生归为一类，然后建立一个高校收益的模型。这样我们就可以把家庭的支付能力与高校的收益联系起来，进而通过对该模型的分析，确定一个合适的学费标准。由于该问题实在太大，所以在模型的建立过程中，大量合理的假设是必不可少的，一些为了模型的简化做出的数据的适当忽略也是情有可原的。学校的总支出与学生人数存在函数关系。学校的年固定支出与在校生人数无关。3、学校每年所接受的社会捐赠等收入与的数目与在校人数无关。4、将因家庭经济原因而申请助学贷款的学生和因无力承担高校费用而辍学的学生同归为因高校收费过高而无力承担的一类。5、高校教育投入的多少完全量化了培养质量的高低。1.模型一考虑边际成本的收费模型假设高校的非固定成本与学生数存在函数关系，设关系式为（1）其中,c,d是待定常数，N是高校的学生数，B是高校的非固定成本。该式表明，高校的非固定成本是随着在校生人数的增加而增长的。边际成本是非固定成本对学生数的导数，公式为：,（2）式中，Fm是边际成本确定的培养一个学生需要的非固定成本。该式确定了高校需要为每位学生投入的人均非固定成本。考虑到高校的固定成本投入，得到最优学费标准为：,(3)其中，T是高校的固定成本，F是生均最优学费标准。上面的结果明显忽略了一些很重要的影响因素，如国家生均拨款、社会救助和区域经济状况，于是必须对上面的（3）进行改进。改进方法是在方程的右边减去一个待定常数a，常数a由上面提到的各因素决定。模型为：，（4）其中，a为待定常数，表示国家和社会对学生的平均补助。该式表明，高校中人均所承担的费用应是人均非固定成本与人均固定成本之和减去国家和社会平均给每位学生补助的款项。2.模型二基于盈亏平衡的学费模型考虑到学校和家庭的利益，通过学校所收学费的盈亏情况，建立一个相应的盈亏模型。在把需借助国家助学贷款才能维持学业的学生看做与因无力支付学费而放弃学业的学生当做因高校收费过高而无力承担的同一类后，我们可以确定在校生数与学费之间存在一个简单的函数关系：,（5）式中，b是待定常数，e是学费弹性系数，其中e＜0.该式表明，高校的在校生人数是随着收费的增加而减少的。学费收入为：（6）高校总收入为：,(7)将（5）带入（1），得高校非固定成本：,(8)当总收入和非固定成本达到平衡时，学费最合理，得：即，（9）3.模型三考虑各方利益最大化的模型高等教育的学费必须兼顾高校的发展和家庭的可支付能力两个方面，最优学费应该在保证尽量多的学生入学的同时尽量增加学校的收益，以使学校能有一定的资金用于学校的软硬件建设，提高教学质量。本文假设学费弹性系数e是学费F的函数，且衡小于零。则（6）可以改为：,(10)对（10）两边取对数，然后关于F求导，得：,(11)由于在H关于F的导数值为零时，高校收益取得极大值。因此令,化简得：,(12)解上述微分方程，得：,(13)对（5）取对数，得：,(14)将（14）带入（13），化简得,(15)得到保证学生数的情况下的最优学费：其中，N0是可接受学生数，k为积分常量。4.层次分析模型从学校教学质量、学校利益、学生利益三个方面综合选取指标对以上三个学费制定方案模型进行综合评价。设对k个决策目标进行m项指标综合评价，其指标集Aij(i=1,2,…，m;j=1,2,…，k)，再对其进行如下标准化取值：，其中，,.目标值：，其中，为第i个指标的权重，Bj是根据层次分析模型计算出来的第j个决策目标的目标值。目标值越大，该学费制定方案越优。6总结本文列举了大量的数学建模实例，通过实例可以发现，在生物学、经济学、化学、物理学等各个学科中，都能找到常微分方程的影子。微分方程作为数学科学的中心学科，已经有300多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解提