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文档简介

常微分方程练习试卷填空题。1.方程是阶（线性、非线性）微分方程.2.方程经变换，可以化为变量分离方程.3.微分方程满足条件的解有个.4.设常系数方程的一个特解，则此方程的系数，，.5.朗斯基行列式是函数组在上线性相关的条件.6.方程的只与有关的积分因子为.7.已知的基解矩阵为的，则.8.方程组的基解矩阵为．9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.

10.是满足方程和初始条件

的唯一解.

11.方程的待定特解可取

的形式:

12.三阶常系数齐线性方程的特征根是计算题1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程.3.求解方程。4．用比较系数法解方程..

5．求方程的通解.6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解.7．设，，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解.8.求方程通过点的第二次近似解.9.求的通解10.若试求方程组的解并求expAt三、证明题1.若是的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵，使得.2.设是积分方程的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：在上.3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i)

和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)

和没有共同的零点;(iii)

和没有共同的零点.4.试证：如果是满足初始条件的解，那么.答案一.填空题。1.二，非线性2.，3.无穷多4.5.必要6.7.8.9.10.11.证：是基解矩阵，故存在，令，则可微且，易知.所以而，所以,（常数矩阵），故.2.设是积分方程的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：在上.证明：由题设，有，.下面只就区间上讨论，对于的讨论完全一样。因为其中，所以其中,设对正整数有,则有,故由归纳法，对一切正整数，有.而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当时，它,因而函数序列在上一致收敛于.根据极限的唯一性,即得,.3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i)

和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)

和没有共同的零点;(iii)

和没有共同的零点.证明:和的伏朗斯基行列式为

因和是基本解组,故.

若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即

最多只能有简单零点.同理对有同样的性质,故(i)得证.

若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即

与无共同零点.故(ii)得证.

若存在,使得,则同样由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(iii)得证.

4.试证：如果是

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