高中三年级上学期数学《离散型随机变量的方差》教学设计

《7.3.2离散型随机变量的方差》教学设计（一）教学内容本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主要学习离散型随机变量的方差（二）学情分析1.认知基础：本节课是学生已经学习了随机变量分布列的基础，刚刚学习了随机变量的数学期望计算的基础上，进一步学习随机变量的方差.2.认知障碍：阅读理解是本节课学生的认知难点.（三）教学目标（1）通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.（2）会求离散型随机变量的方差、标准差.（3）会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.（四）教学重难点：重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求解难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.（五）教学过程教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图关于智力的性别差异，目前研究较多，而且结论各异，但基本一致的结论有两方面：第一，男女智力的总体水平大致相等，但男性智力分布的离散程度比女性大，即很聪明的男性和很笨的男性都比女性多，智力中等的女性比男性多；第二，男女的智力结构存在差异，各自具有自己的优势领域．男性的知觉能力较强，尤其是空间知觉能力，男性明显优于女性．女性的听觉能力较强，特别是对声音的辨别和定位，女性明显优于男性．男性偏于抽象思维，喜欢数学、物理和化学等学科．女性长于形象思维，喜欢语文、历史、人文地理等学科．一般地，女性比男性口语发展早，在语言流畅性及读、写、拼等方面均占优势，但男性在语言理解、言语推理等方面又比女性强．如何定量地描述智力分布的离散程度呢？情景导学，激发学生的学习兴趣教学环节：自学新教材，提炼知识要点教学内容师生活动设计意图一、知识要点方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn①方差D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_____________________.②称eq\r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．(2)方差的性质：D(aX＋b)＝．二、知识点的精准理解和深化探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？表1X678910P0.090.240.320.280.07表2X678910P0.070.220.380.30.03E(X)=8;E(Y)=8因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。探究2：怎样定量到离散型随机变量取值的离散程度?我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的,一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢?问题1.某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？X1234P4321问题2.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？反映这组数据相对于平均值的集中程度的量一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：Xx1x2…xnPp1p2…pn则称为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称σ(X)=DX因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:因为D(Y)<D(X)(等价地，)，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。问题3：方差的计算可以简化吗？D

=问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？提问学生自学看教材的知识要点，从中发现学生理解的薄弱点学生回答并分析，教师补充完善：射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。离散型随机变量取值的方差随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。问题3：方差的计算可以简化吗？离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)=D(X)而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即D(aX)=a2D(X),因此，D(aX+b)=a2D(X).因材施教，根据学生预习的结果，引导下一步教学发挥学生的主观能动性，暴露学生思维，教师精准指导从而建立方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。加深学生对方差的理解和运用，发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素教学环节：例题剖析教学内容师生活动设计意图例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。解：随机变量

E(X【跟踪训练1】已知η的分布列为η010205060P12121(1)求η的方差及标准差;(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示：收益X/元-102概率0.10.30.6表1收益X/元012概率0.30.40.3表2（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。（2)股票A和股票B投资收益的方差分别为D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。【跟踪训练2】.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？师生共同分析后学生计算，教师展示解答，纠正学生中不规范的问题，总结一般方法:方法总结：方差的计算方法方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).学生到黑板上做，其余学生在练习本上写过程，做完教师讲解评价解:(1)∵E(η)=0×13+10×25+20×115+50×215+60D(η)=(0-16)2×13+(10-16)2×25+(20-16)2×115+(50-16)+(60-16)2×115=∴D(η)=(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1536.方法总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.3.下结论.依据均值和方差做出结论.解：(1)题目可知，投资项目A和B所获得的利润Y1和Y2的分布列为：所以;解：(2)由(1)可知，说明投资A项目比投资B项目期望收益要高；同时，说明投资A项目比投资B项目的实际收益相对于期望收益的平均波动要更大.因此，对于追求稳定的投资者，投资B项目更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承担风险的投资者，投资A项目更合适.通过典例剖析，让学生体会方差的一般方法，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。教学环节：课堂检测1．给出下列四个命题：①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．则正确命题应该是()A．①④ B．②③ C．①② D．③④2．把下面X的分布列填写完整：并完成问题其中p∈(0,1)，则E(X)＝________，D(X)＝________.X01PP3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=,b=.

X-1012Pabc14.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下,甲保护区:X0123P0.30.30.20.2乙保护区:Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平.发一张小卷子，当堂10分钟测验，交上来批改，其中1-3必做，4根据具体学生接受情况和课堂时间选做1.D2.解析：而由已知分布列的性质有p＋x＝1，x=1-pE(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：1-p；p；p(1-p)3.解析:由题知a+b+c=1112,-a+c+16=0,12×a+12×c+22×1解得a=512,b=14.4.解:甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的