一次函数的图象性质问题-2021年中考数学经典题型讲练案(解析版)【江苏专用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题06一次函数的图象性质问题

「【考点1】一次函数的图象

L【考点2】一次函数的性质

十【考点3】一次函数图象与系数的关系

—

L【考点4】一次函数图象点的坐标特征

/-------------------------------

一次函数的图象L【考点5】一次函数与几何变换

性质问题【考点6】一次函数与方程、不等式

J【考点7】一次函数交点问题

J【考点8】一次函数解析式问题

J【考点9】一次函数图象与性质问题

【类型10】一次函数与新定义综合问题

【方法指导】

一次函数的具体知识点有:

rK>0,K>0,K>0,RO,K0,攵<0,

b>0b<0b=0b>0/?<0匕=0

大致

1.一次函数小小七

图象4-

的性质。卜7

1■-----*——--

经过、,•、-■、__、、1、—、--、___、二、四

象限四四四

怪1象y随x的增大而增大y随x的增大而减小

性质

(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=。，解出x即可；求与y轴的

2.一次函数交点，只需令x=。,求出,y即可.故一次函数y="+"原0)的图象与x轴的交点

与坐标轴是(一/0),与y轴的交点是(0,b);

交点坐标

(2)正比例函数(后0)的图象恒过点(0,0).

3.一次函数规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知

图象的平它们的k值相同.

移②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.

4.一次函数与二元一次方程/卜卜的解=两个一次函数y=kix+b和y=k2x+b图象的

交点坐标1y=k2X+b

方程组・

(1)函数y=kx+b的函数值y>0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0

的解集.

5.一次函数与

(2)函数y=kx+b的函数值y<0,时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0

不等式

的解集

【题型剖析】

【考点1】一次函数的图象

【例1】(2020•南京一模)已知一次函数y=fcv+b的图象如图所示，则y=-2日-b的图象可能是()

【分析】根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据左、6的符号来判定函数y=-2d-6的图象所

在的象限.

【解析】•.•一次函数y=fcr+3的图象经过二、三、四象限，

：.k<0,h<0.

••・函数y=-2%-b的图象经过第一、二、三象限.

•••因为因V|-2/

所以一次函数y=fcr+b的图象比y=-2kx-b的图象的倾斜度小，

综上所述，符合条件的图象是C选项.

故选：C.

【变式1.1］（2019秋•金湖县期末）已知一次函数），=丘+6,函数值y随自变量x的增大而减小，且幼<0,

则函数的图象大致是（）

【分析】根据一次函数的性质得到*<0，而姑<0,则6>0,所以一次函数y=H+b的图象经过第二、

四象限，与y轴的交点在x轴上方.

【解析】•••一次函数y=fcr+%,y随着x的增大而减小，

：.k<0,

...一次函数）'=依+人的图象经过第二、四象限；

:kb〈0,

：.b>0,

图象与）'轴的交点在x轴上方，

；.一次函数y=fcr+b的图象经过第一、二、四象限.

故选：A.

【变式1.2］（2019秋•高邮市期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=履与y=5的图象大致是（)

【分析】先根据•次函数的性质判断出《取值，再根据正比例函数的性质判断出，〃的取值，二者一致的

即为正确答案.

【解析】A、由函数），=履的图象，得AVO,由），=*-&的图象，得％>0,k值相互矛盾，故A错误；

B、由函数y=履的图象，得k<0,由y=*—我的图象，得大<0,故8正确；

C、由函数y=丘的图象，得％>0,由的图象，得％<0,左值相矛盾，故C错误；

D、由函数y=履的图象的图象经过原点，故。错误；

故选：B.

【考点2】一次函数的性质

【例2】（2020•镇江）一次函数〉=h+3（4力0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是

（）

A.第一B.第二C.第三D.第四

【分析】根据一次函数y=^+3（ZW0）的函数值），随x的增大而增大，可以得到k>0,与y轴的交点为

（0,3）,然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以

解答本题.

【解析】..•一次函数），=履+3（AWO）的函数值y随x的增大而增大，

；/>0,该函数过点（0,3）,

该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

故选：D.

【变式2.1］（2020•姜堰区二模）已知一次函数y=fcv+6,当x的值每减小0.5时，y的值就增加2,则人的

值是（）

A.-8B.-4C.-2D.-I

【分析】根据一次函数y=kx+b,当x的值每减小0.5时，y的值就增加2,可以计算出k的值，从而可

以解答本题.

【解析】设x=aEI寸，y=ak+b,

则当x=a-0.5时;y+2=（.a-0.5）k+b,

故2=-0.5k,

解得，k=-4,

故选：B.

【变式2.2］（2020春•海陵区期末）若一次函数），=履+2的函数值y随x的增大而增大，则（）

A.k<0B.k>0C.k<-2D.k>-2

【分析】由一次函数），=区+2的函数值y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k>0.

【解析】V-次函数y=Ax+2的函数值），随x的增大而增大，

：.k>0.

故选:B.

【考点3】一次函数图象与系数的关系

【例3】（2020春•如皋市期末）若直线y=fcc+k-3经过第二、三、四象限，则Z的取值范围是（）

A.lc<0B.k>3C.k<3D.0<&<3

【分析】根据一场函数图象经过的象限可得出关于左的一元一次不等式组，解之即可得出左的取值范围.

【解析】根据题意得k<0且％-3<0,

所以k<0.

故选：A.

【变式3.1］（2020•如东县二模）已知关于x的一次函数y=fcr+3A+l,不论k为何值，该函数的图象都经过

点P,则点P的坐标为（）

A.（-3,1）B.（1,-3）C.（3,1）D.（1,3）

【分析】当％=0时，得出），=1,把y=l,k=l代入解析式得出x即可.

【解析】♦.•一次函数丫=履+3&+1,不论人为何值，该函数的图象都经过点P,

当k=Q时,y=1.

把y=l,k=l代入y=Ax+3k+l中，可得：x--3.

所以点尸的坐标为（-3,I）,

故选：A.

【变式3.2](2020•常州模拟)已知一次函数y=fcv+6的图象经过点(3,2),若图象不经过第二象限，则A

的取值范围是()

2?22

A.k<^B.k>^C.0<it<4D.YkWl

3333

【分析】由一次函数图象上点的坐标特征可得出6=2-3k,由一次函数图象经过的象限可得出G>0,b

W0,进而可得出关于A的一元一次不等式组，解之即可得出人的取值范围.

【解析】,.•一•次函数y=Ax+6的图象经过点(3,2),

：.2^3k+b,即匕=2-3k.

•.•一次函数的图象不经过第二象限，

二一次函数)=依+人的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限，

：.k>0,bWO,

.(k>0

•・(2-3/c<O'

解得：k>j.

故选：B.

【考点4】一次函数图象点的坐标特征

【例4】(2020春•崇川区校级期末)已知平面上点O(0,0),A(3,2),B(4,0),直线-3m+2

将△04B分成面积相等的的两部分，则机的值为()

A.1B.2C.3D.-1

【分析】设点C为线段的中点，则点C的坐标为(2,0),利用一次函数图象上点的坐标特征可得

出直线y=小-3加+2过三角形的顶点A(3,2),结合直线,，=如-3m+2将△048分成面积相等的的两

部分，可得出直线y=mx-3m+2过点C(2,0),再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值.

【解析】设点C为线段08的中点，则点C的坐标为(2,0),如图所示.

"."y=mx-3/w+2=(x-3)m+2,

.,.当x=3时,y=(3-3)m+2—2,

.,.直线y=/nr-3，〃+2过三角形的顶点4(3,2).

•.•直线y=，ar-3桁+2将△OAB分成面积相等的的两部分，

直线y=，"x-3布+2过点C(2,0),

-3/w+2,

・・"z=2.

【变式4.1](2020春•海陵区期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(7,-1),B(5,1),C(7,

7),D(1,5).若一次函数y=m-5,”+1的图象将四边形ABC。分成面积比为1：3的两部分，则相的

值为()

A.-5或-；B.-4或-、C.-4或-/D.-5或-/

【分析】由已知点可以判断四边形A2C。是菱形，再由将四边形ABC。的面积分成1：3两部分，可知

分割两部分分别是四边形和三角形，进而可知一次函数y="?x-5〃?+l与40、C。的交点是它们的中点，

求得中点坐标，代入解析式即可求得"，的值.

【解析】•••点A(-1,-1),8(5,1),C(7,7),D(1,5).

：.AB2=(5+1)2+(1+1)2=40,8c2=(7-5)2+(7-1)2=40,CO2=(7-I)2+(7-5)2=40,

DA2=(1+1)2+(5+1)2=40,

：.AB=BC=CD=DA,

四边形A8CO是菱形，

・•・一次函数-5m+1一定经过点(5,I),即8点，

当y=mx-5/27+1与AD相交时，

一次函数经过AQ的中点(0,2),

,1

・・〃?=一甲

当y=mx-5/n+l与CD相交时，

，一次函数经过C。的中点(4,6),

••m—■〜5；

故选：D.

【变式4.2］（2020春•无锡期末）如图，一次函数产-看+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,点C

在x轴上，点。为平面内一点，且四边形488为矩形，则点。的坐标为（）

A.（2,-3）B.（4,3）C.（-4,一£）D.（-,-3）

34

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点4,8的坐标，进而可得出OA,的长，由四边

形ABCO为矩形可得出NABC=90°,结合同角的余角相等可得出NOBC=NO48,结合/B0C=NA08

=90°可得出△B0CS/\A08,利用相似三角形的性质可求出OC的长，进而可得出点C的坐标，再利

用矩形的性质（对角线互相平分），即可求出点。的坐标.

【解析】当x=0时，尸一充x0+3=3,

...点B的坐标为（0,3）,08=3；

当y=0时，一9+3=0,

解得：x=4,

...点A的坐标为（4,0）,OA=4.

•••四边形A8CD为矩形，

AZABC=90°.

'：ZOAB+ZOBA=WQ,NOBA+NO8C=90°,

：.ZOBC^ZOAB,

又,.•/8OC=/AOB=90°,

:.△BOCs^AOB,

•竺一丝aiJ2£,3

•,♦点c的坐标为（―*,0）.

又,四边形A8CQ为矩形，A（4,0）,B（0,3）,C0）,

97

.•.点。的坐标为（4一1-0,0+0-3）,即（一，-3）.

44

【考点5]一次函数与几何变换

【例5】（2020春•沐阳县校级月考）如图，直线y=x+6分别与x轴、y轴相交于点M,N,边长为3的正方

形OA8C一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P,若正方形绕着点。旋转一周，则点

)

2V5

A.3-2V2B.3立一3c.—D.3

【分析】首先证明△MOCg/\NOA,推出/MPN=90°,推出P在以例N为直径的圆上，所以当圆心G,

点P,（0,3）共线时，PC到（0,3）的长度最小值.即可得出结论.

【解析】在△MOC和△NOA中，

OA=OC

/.MOC=Z.AON,

OM=ON

:.XMOgXNON（SAS）,

；.NCMO=NANO,

,：ZCMO+ZMCO=90°,NMCO=NNCP,

ZNCP+ZCNP=90a,

NMPN=90°

:.MP1NP,

在正方形旋转的过程中，

同理可证，ZCMO=ZANO,可得NMPN=90°,MP上NP,

在以MN为直径的圆匕

,：M（-6,0）,N（0,6）,

二圆心G为（-3,3）,半径为3VL

连接PG

当圆心G,点P,点（0,3）三点共线时，P到点（0,3）的长度最小，而点P到点（0,3）的距离

为3,

点P到点（0,3）长度的最小值是或-3.

故选：B.

【变式5.1］（2020•锡山区一模）一次函数y=x-6的图象，沿着过点（1,0）且垂直于x轴的直线翻折后

经过点（4,1）,则匕的值为（）

A.-5B.5C.-3D.3

【分析】首先求得点（4,I）关于直线x=l对称的点的坐标，然后将其代入直线方程求得b的值即可.

【解析】由题意,得点（4,1）关于直线x=l对称的点的坐标是（-2,1）,

将其代入一次函数y=x"，得-2-b=L

解得b=-3.

故选：C.

【变式5.2］（2020•海门市校级模拟）如图，直线/：y=-V5x+B与），轴交于点4,将直线/绕点A顺时

针旋转75°后，所得直线的解析式为（）

A.y=V3x+V3B.y—x—y/3C.y--x+y/3D.y—x+y/3

【分析】根据直线解析式求得直线与x轴的夹角，进而求得旋转后直线的斜率，由于经过A点，即可求

得旋转后的解析式.

【解析】由直线/：y=—+g可知，直线与x轴的夹角为60°,

...与y轴的夹角为30°,

，直线/绕点A顺时针旋转75°后的直线与y轴的夹角为45°,

.•.旋转后的直线的斜率为1,

•.•直线/：y=-Kx+K与y轴交于点A,

（0,V3）.

二旋转后的直线解析式为：y=.r+V3,

故选：D.

【考点6】一次函数与方程、不等式

【例6】（2019秋•武进区校级月考）己知一次函数的图象如图，则下列说法：①Y0,b>0；②x

="i是方程近+〃=0的解；③若点A（xi.yi）,B（%2,”）是这个函数的图象上的两点，且xi〈x2；则

④当-1WXW2时，则人=2.其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】图象过第一，二，四象限，可得k<0,b>3可判定①；根据增减性，可判断③④，由图象

与x轴的交点可判定②.

【解析】•••图象过第一，二，四象限，

：.k<0,b>0；

随x增大而减小，

Vxi<X2»

-y2>0；

当-1WXW2时，lWyW4,

，当x=-l时，y=4；x=2时，y=l,

代入y=fc^得就

12k+o=1

解得b=3；

一次函数丁="+。中，令y=0,则工=一也

Ax=一今是方程kx+b=O的解，

K

故①③正确；②④错误，

故选:B.

【变式6.1］（2020•吴江区二模）若一次函数y=fcr+3（X为常数且ZW0）的图象经过点（-2,0）,则关于

x的方程k（x-5）+3=0的解为（）

A.尤=-5B.x=-3C.x=3D.x=5

【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系可得依+3=0的解是x=-2,进而可得x-5=-2,然后

可得x的值.

【解析】•.•一次函数丫=履+3（我为常数且々#0）的图象经过点（-2,0）,

...履+3=0的解是x=-2,

，x-5=-2,

则x=3,

故选：C.

【变式6.2］（2020•如皋市二模）如图，一次函数y=fcv+6（k,b为常数，且kWO）的图象过点4（0,-1）,

B（1,1）,则不等式乙+6>1的解集为（）

C.x>lD.x<i

【分析】利用图象得出答案即可.

【解析】如图所示：不等式"+%>1的解集为：x>l.

故选：C.

【变式6.3］（2020•吴江区三模）在同一平面直角坐标系内，若直线y=2x+l与直线y="-氏的交点在第二

象限，则火的取值范围是（）

A.k<-1B.-l<A:<0C.0<k<\D.k>\

【分析】解析式联立关于x，y的方程组，解方程组得到用k表示x,y的代数式，由于交点在第二象限

则得到关于人的不等式组，求解即可.

fc+1

【解析】解析式联立•解得:x=E

y=kx-k3k

y=k=2

:交点在第二象限

vo

院2，解得-ivyo

.k^2>0

故选：B.

【考点7】一次函数交点问题

［例7］（2020春•如东县期末）已知过点P（/n,km-1）的直线与函数y=|x-3|的图象有两个交点，则k

的取值范围为在此处键入公式。

【分析】由点P（加，km-1）可知：过点P（"?，km-I）的直线恒过点（0,-1）,由于过点P（m,km

-1）的直线与函数y=|x-3|的图象有两个交点，结合图象即可求出女的范围.

【解析】•:点P（如km-1）,

.\m=0时，km-1=-\9

，过点P（"3ktn-1）的直线恒过（0,-1）,

设过点P（〃?，km-1）的直线/为y=kx-1,

当直线/经过点（3,0）时，，则弘-1=0,

.,1

,#=可

•.•过点尸（机，bn-1）的直线与函数），=|x-3|的图象有两个交点，

，直线不能与y=x-3平行，

1

・••一<k<l,

3

1

故答案为：-<k<\.

【变式7.1］（2020•崇川区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y

轴交于点8,与直线y=区交于点。（4,〃），则tan/OCZ?的值为.

【分析】如图1所示，过点。作OG垂直A8于点G,过点C作C。垂直y轴于点D解方程得到8（0,

4),A(2,0),求得器=；,设OG=x,则BG=2x,根据勾股定理得到OG=芈，BG=誓，根据三

BG2。>

角函数的定义即可得到结论.

过点。作OG垂直A8于点G,过点C作CQ垂直y轴于点D

令x=0,解得y=4,

：.B(0,4),

令y=0,解得x=2,

(2,0),

当x=4时，y=-4,

：.n=-4,C(4,-4),

VtanZOBA=

.OG1

••,=一,

BG2

设OG=x,则8G=2x,

则有/+⑵)2=42,

解得x=竽，

•4/^8V写

・・OG=-g—,BG=—g—,

VCD=4,08=8,

BC=V42+82=4A/5,

・12/5

••CO———,

：.tanZOCB=~=^.

故答案为：

【考点8】一次函数解析式问题

【例8】(2019•鼓楼区校级模拟)如图，一次函数的图象经过8、C,A是此图象上一点，AM垂直

于x轴，垂足为M,求：

<1)一次函数〉=匕+匕的解析式；

(2)梯形A8OM的面积S；

(3)NC4M的正弦函数的值.

【分析】(1)利用待定系数法确定函数关系式即可；

(2)设点4的横坐标为4,利用梯形的面积公式解答即可;

(3)根据勾股定理和三角函数解答即可.

【解析】(1)由图象B(0,2),C(-3,0),M(4,0)

・"=2

e,l-3fc4-6=0,

解得卜=3

5=2

；•一次函数解析式为y=|x+2：

(2)由题设点A的横坐标为4

纵坐标y=94+2=竽

：.AM=竽，

・01z.14..40

,•5梯形=《X(2O+y)X4=手

(3)AM〃y轴，

：・/CAM=NCBO,

在RtZ\C05中，OC=3,OB=2

由勾股定理BC=V32+22=V13

3_3/13

.'.sinZ-CAM=sinZ-CBO713=-^3-

【变式8.1](2018•海陵区模拟)如图，直线A8：、=-%-6分别与小y轴交于A(6,0)、B两点，过点

8的直线交x轴的负半轴于点C,且OB：OC=3：1.

(1)求点B的坐标;

(2)求直线BC的函数关系式；

(3)若点P(m,2)在aABC的内部，求小的取值范围.

【分析】(1)把点代入解析式解答即可；

(2)设8C的解析式，利用待定系数法确定函数关系式即可；

(3)把y=2分别代入解答即可.

【解析】(1)将点A(6,0)代入直线A8解析式可得：0=-6-6

解得：b=-6,

直线48解析式为)，=-x+6,

点坐标为：(0,6)

(2),：OB：OC=3：I,

OC=2,

...点C的坐标为(-2,0),

设BC的解析式是y=kx+6,0=-2&+6,

解得:k=3

：.直线BC的解析式是：)，=3x+6；

⑶把y=2代入y=-x+6得x=4；

4

把y=2代入y=3x+6中得x=一手

结合图象可知m的取值范围是一^On<4.

【考点9】一次函数图象与性质问题

【例9】(2020•鼓楼区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线A8：y=kx+4*W0)与x轴，y轴,

交于A、B两点，点C是8。的中点且tan/A5O=3

(1)求直线AC的解析式；

(2)若点M是直线AC的一点，当2s号"时，求点”的坐标.

【分析】(1)根据题意先求B点坐标，且。是80的中点可求C的坐标，根据三角函数求4点坐标，然

后用待定系数法可求

(2)设出例的坐标，以8c为边，表示△8CM的面积，寻求△48M,△A8C,△8CM的面积关系，分

类讨论即可解决.

【解析】(1):直线AB：y=kx+4(20)与x轴，y轴，交于4、8两点

：.B(0,4)

Vtan/LABO—；=第

：.AO=2即A(-2,0)

是80中点

：.C(0,2)

设直线AC的解析式：y=k\x+b

.仅=2

,,(0=-2kx+b

解得：^：2

，直线AC的解析式：y=x+2

(2)V5AAOC=1X2X2=2,且C是。8中点

**•S^,ABM=2S^AOC=4,S&48C=2

设M(x,x+2)

①当M在C点右侧,

*/S&ABM=SMBC+S^BCM

**•4-24-2x2Xx

*'•x=2

：.M(2,4)

②当M在点C左侧，

1

x2X(-%)=2+4

2

.\x=-6

:.M(-6,-4)

(2,4)或(-6,-4)

【变式9.1](2020♦如皋市二模)定义：如图1,已知锐角NAOB内有定点P,过点P任意作一条直线MN,

分别交射线OA，08于点M,N.若P是线段的中点时，则称直线MN是NAOB的中点直线.如图

2,射线OQ的解析式为y=2x(x20)与x轴的夹角为/a,P(3,1),MN为/a的中点直线.

(1)求直线MN的解析式；

(2)若过点P任意作一条直线EF,分别交射线。Q,x轴的正半轴于点E,F,记△MON的面积为5.

MON,ZiEOF的面积为SzxEOF.求证：S八MONWS^EOF.

【分析】(1)如图1,设点M的坐标为：(X0,2X0),作MCLx轴于C,PO_Lx轴于。，根据相似三角形

的性质得到MC=2,即.=2,解方程即可得到结论；

(2)如图2,不妨设PE>PF,过M作MG〃x轴交EF于G,求得/GMP=NFNP,ZMGP=ZNEP,

根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解析】(1)解：如图1,设点M的坐标为：(xo,2xo).

作轴于C,PO_Lx轴于。，

■:MC//PD,

:.丛NPDs/xNMC,

.NPPD

,,NM-MC

:点P是线段MN的中点，PF=\,

，AfC=2,即xo=2,

.*.A0=1,

：.M(1,2),

设直线MN的解析式为y=kx+b,

.(2=k+b

**tl=3k+b'

(k=

解得：Iq2,

直线MN的解析式为y=—3+1；

(2)证明：如图2,不妨设PE>PF,

过例作MG//x轴交EF于G,

则/GMP=NFNP,NMGP=NNEP,

：产是线段MN的中点，

:.PM=PN,

:./\PMG9/\PNMCAAS),

:.S&PMG=SAPNF,

'•S四边形OMGF=S/\MON,

•,•5四边形OMGF<5A.BOF,

二S^MON<SAEOF>

当EF与MN重合时，SAMON=S&EOF,

【变式9.2](2018•宝应县二模)定义:直线y=ar+b与直线y=bx+〃互为“友好直线”.如：直线y=2x+l

与直线y=x+2互为“友好直线”.

3

(1)点M(m,2)在直线y=-x+4的“友好直线”上，则机=_1_；

(2)直线y=4x+3上的一点M(m,〃)又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标；

(3)对于直线y=ox+b上的任意一点MCm,〃)，都有点N(2/n,m-2n)在它的“友好直线”上，求

直线y—ax+b的解析式.

【分析】(1)由“友好直线”可得直线y=-x+4的“友好直线”，代入可得，”的值；

(2)先表示直线y=4x+3的“友好直线”，再分别代入列方程组可得〃的坐标;

(3)先表示直线y=ar+b的“友好直线”，并将点M和N分别代入可得方程组，得：(2b+2a-1)m=

-a-2b,

根据对于任意一点M(〃?，“)等式均成立，则fb+管一1八=°,可得结论.

I—a—2D=0

【解析】(1)由题意得：直线y=-.丫+4的“友好直线”是：y=4x-1,

把(〃?，2)代入y=4x-1中，得：4m-1=2,

3

-

7=4

3

故答案为：-；

4

(2)由题意知，y=4x+3的“友好直线”是y=3x+4,

又・・,点用(他，")是直线y=4x+3上的点，又是它的“友好直线”上的点,

.(4m+3=n

**l3?n+4=九’

二解得｛［「J,

.•.点M(1,7)；

(3)•1点M(加,〃)是直线上的任意一点，

，〃加+。=〃①，

■:点N(2〃?，m-2/?)是直线y=«x+b的“友好直线”上的一点，

即N(2m,m-In)在直线y—bx-^a上

2hm+a=m-2〃②,

将①代入②得，

2bm+a=m-2(arn+b),

整理得：2bm+2am-/n=-a-2b,

(2b+2a-1)m--a-2b,

・・•对于任意一点M(/?/,n)等式均成立，

.(2b+2a—1=0

•t—a—2b=0'

fa=1

解得

•*»y=x-2,

［类型10］一次函数与新定义综合问题

【例10】（2020♦如皋市二模）定义：如图1,已知锐角NAOB内有定点P,过点P任意作一条直线MM分

别交射线。A，03于点M,N.若尸是线段MN的中点时，则称直线MN是NAO2的中点直线.如图2,

射线OQ的解析式为y=2x（x》0）与x轴的夹角为Na,P（3,1）,MN为/a的中点直线.

（I）求直线的解析式；

（2）若过点P任意作一条直线E凡分别交射线OQ,x轴的正半轴于点E,F,记△MON的面积为5乙

MON,△EOF的面积为SAEOF.求证：S&MONWS&EOF.

【分析】（I）如图1,设点例的坐标为：（刈，Zro）,作MCLLx轴于C,轴于。，根据相似三角形

的性质得到MC=2,即加=2,解方程即可得到结论；

（2）如图2,不妨设PE>PF,过M作MG〃x轴交瓦'于G,求得NGMP=NFNP,4MGP=NNEP,

根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）解：如图1,设点M的坐标为：（刈，2ro）,

作A/C_Lx轴于C,PQ_Lx轴于。，

,JMC//PD,

:ANPDsANMC,

.NPPD

•,NM~MC

•点P是线段的中点，PF=l,

；.MC=2,即xo=2,

・・.刈=1,

：.M（I,2）,

设直线MN的解析式为y=h+。，

.C2=fc4-6

*11=3k+b

fk="I

解得：q2,

IT

直线MN的解析式为尸-抖I；

(2)证明：如图2,不妨设

过M作MG//x轴交EF于G,

则NGM尸=NRVP,NMGP=NNEP,

,・/是线段MN的中点，

:,PM=PN,

:.丛PMG迫丛PNM(A4S),

；・S&PMG=SAPNF,

:・S四边形OMGP=Sz\MON,

S四边形OMGF<SABOF，

SAMON<S&EOF,

当EF与MN重合时，S4MoN=S/\E()F,

【变式10.1］（2018•宝应县二模）定义：直线与直线y=fer+〃互为“友好直线”.如：直线y=2x+l

与直线y=x+2互为“友好直线”.

3

（1）点M（m，2）在直线y=-x+4的“友好直线”上，则加=_-_；

'-4―

（2）直线y=4x+3上的一点〃6”，n）又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标;

(3)对于直线)，=方+匕上的任意一点MCm,n),都有点N(2m,m-In)在它的“友好直线”上，求

直线y=or+8的解析式.

【分析】(1)由“友好直线”可得直线y=-x+4的“友好直线”，代入可得m的值：

(2)先表示直线y=4x+3的“友好直线”，再分别代入列方程组可得M的坐标；

(3)先表示直线y=ox+6的“友好直线”，并将点〃和N分别代入可得方程组，得：(26+2〃-1)/”=

-a-2b,

1

根据对于任意一点M(m,〃)等式均成立，则+第-n=°,可得结论.

l—Q—2D=0

【解析】(1)由题意得：直线y=-1+4的“友好直线”是：y=4x-1,

把(加，2)代入y=4x-I中，得：4m-1=2,

m=

故答案为：

4

(2)由题意知，y=4x+3的“友好直线”是y=3x+4,

又・・,点/(加，〃)是直线y=4x+3上的点，又是它的“友好直线”上的点，

.(4m+3=ri

■•137n+4=n'

•••解得｛二二;，

.•.点M(1,7)；

(3)丁点M(加，〃)是直线y=or+b上的任意一点，

卬“+6=〃①，

•・•点N(2/n,m-2n)是直线y=or+b的“友好直线”上的一点，

即N(2/w,m-2〃)在直线丁=法+〃上

•\2bm^a=in-2〃②,

将①代入②得，

2hm+a=m-2(am+b),

整理得：2bm+2am-m=-a-2b,

(2b+2〃-1)m=-a-2b,

・・•对于任意一点MCm,〃)等式均成立，

.(2b+2Q-1=0

•LQ-2b=0'

（a=1

解得b=w，

,_1

•・y-x-2•

【达标检测】

选择题（共8小题）

1.（2020•镇江）一次函数y=fcc+3（Z#0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（）

A.第一B.第二C.第三D.第四

【分析】根据一次函数y=Ax+3&W0）的函数值），随x的增大而增大，可以得到k>0,与y轴的交点为

（0,3）,然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以

解答本题.

【解析】•••一次函数），="+3（ZW0）的函数值y随x的增大而增大，

，k>0,该函数过点（0,3）,

,该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

故选：D.

2.（2020•泰州）点P（a,b）在函数y=3x+2的图象上，则代数式6a-2A+1的值等于（）

A.5B.3C.-3D.-1

【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3。-6=-2,代入2（3a-b）+1即可.

【解析】•••点P（〃，h）在函数y=3x+2的图象上，

b—3a+2,

则3a-b=-2.

：.6a-2b+l=2（3a-h）+1=-4+1=-3

故选：C.

3.（2020•太仓市模拟）若点4Gn,n）在一次函数y=3x+6的图象上，且3，〃-">2,则6的取值范围为

（）

A.b<-2B.b>-2C.b<2D.b>2

【分析】由点A的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出3;〃+b=〃，再由3m-“>2,即可得出

b<-2,此题得解.

【解析】•••点4Cm,〃）在一次函数y=3x+b的图象上,

3m+b—n.

3m-n>2,

，-b>2,即b<-2.

故选：A.

4.（2020•兴化市模拟）若点（“，3）在函数y=2x+l的图象上，则〃?的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征.把点（m,3）代入函数解析式中求，〃即可.

【解析】把点（加，3）代入函数y=2x+l,

得2/7/+1=3,

解得：m—\.

故选：C.

5.（2。2。•张家港市校级模拟）已知mb,c为正实数,且等二a+ca+b「一一

~T=T=k，则直线产6+31）

一定不经过（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

,一一一b+cQ+Ca+b

【分析】由“,b,，为正实数，且丁=k=丁=k可得出k>0,Hl>0,再利用一次函数图象

与系数的关系,可得出直线（k+1）经过第一、二、三象限，进而可得出结论.

【解析】b,c为正实数，且竺=Q+Ca+b

---=----=k

ab

：.k>0,

"+1>0,

二直线），=履+（HI）经过第一、二、三象限，

直线y=Ax+（Hl）一定不经过第四象限.

故选：D.

6.（2020•常州二模）在平面直角坐标系xO），中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y=|x|-3

的图象上的“好点”共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】分及x<0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出

结论.

【解析】设函数y=|x|-3的图象上的“好点”的坐标为（x,），），

当x20时，则y—x-1,所以，x（%-3）=1,

解得：制=宜烂(不合题意，舍去)，》2=与豆；

当x〈0时，则y=r-3,所以，x(-x-3)=1,

解得.-3-V5-3+75

函数y=M-3的图象上的“好点”共有3个.

故选：C.

7.(2020•涪城区模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-3,0),3(3,0),若在直线>=-》+加上

存在点尸满足乙4尸8=60°,则m的取值范围是()

A.V6-5V3<m<V6+5V3B.-V6-5A/3<w<V6+5V3

C.V3-2V6<m<V3+25/6D.-V3-2A/6<m<V3+2A/6

【分析】作等边三角形ABE,然后作外接圆，求得直线y