2024届陕西省铜川市高三第三次模拟考试数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3陕西省铜川市2024届高三第三次模拟考试数学试题（理）一､选择题1.已知集合，若，则实数的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗依题意，由，可得，当时，符合题意，A正确；当或2时，不符合集合中元素的互异性，从而排除项；当时，，从而排除项.故选：A.2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，得，所以在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选：B.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，令，解得，依题有，即，双曲线方程为，从而，从而的焦点坐标为.故选：A.4.已知甲种杂交水稻近五年的产量数据为，乙种杂交水稻的产量数据为，则下列说法错误的是（）A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差〖答案〗D〖解析〗对于A，甲种的样本极差，乙种的样本极差，A正确；对于B，甲种的样本平均数，乙种的样本平均数，B正确；对于C，甲种的样本中位数为10.0，乙种的样本中位数为10.0，C正确.对于D，甲种的样本方差，乙种的样本方差，D错误.故选：D5.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在上单调递减，解得.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故选：A.7.已知为正实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若，根据糖水不等式可得，即充分性成立；若，则，即且，故，即必要性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：C.8.已知函数，则下列说法中不正确的是（）A.的最小正周期为B.的最大值为C.在区间上单调递增D.〖答案〗C〖解析〗依题意，则函数的最大值为，最小值正周期为，从而可排除选项.，，根据三角函数的性质可知，当，即时函数单调递减，当，即时函数单调递增，故在区间上不可能单调递增，应选C项.为偶函数，从而，从而可排除D选项.故选：C9.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（）A. B.C.函数的周期为2 D.〖答案〗D〖解析〗为奇函数，，又为偶函数，，故A项错误.即函数的周期为4，即C项错误.由，令，得，即B项错误.又，所以D项正确.故选：D10.在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，易知点都在截面内，且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，所求面积.故选：D.11.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.取的中点，连接，又，则.由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.设球的半径为，则，且，从而，即，当点在线段内（包括端点）时，有，可得，从而，即球心在线段的中点，其半径.当点在线段外时，，解得（舍）.故所求外接球的体积.故选：C12.已知为椭圆的左､右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知及平面几何知识可得圆心在的角平分线上.如图，设圆与轴的切点分别为，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，公切点也在的角平分线上，则，所以，由椭圆的定义知，则，，，.又圆与圆的面积之比为圆与圆的半径之比为3，所以，即，故椭圆的离心率.故选：A二､填空题13.有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有__________种.〖答案〗240〖解析〗先从5名学生中选2人组成一组，有种方法，然后将4组学生分配到4个景点，有种方法，由分步计数原理知共有种不同的游玩方式.故〖答案〗为：240.14.已知点为外接圆的圆心，且，则_________.〖答案〗〖解析〗由，得，由为外接圆的圆心，得，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故.故.故〖答案〗为：15.已知的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理得，又因为，所以，因为，可得，所以又因为为的一条中线，可得，所以，即，解得或（舍）.由余弦定理得.故〖答案〗为：.16.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗的定义域为，，令，得.令，则.令，则，即，即当时，单调递增；当时，单调递减.，又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，作出的草图如图，由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.三､解答题（一）必考题17.已知数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）若，求正整数的最大值.解：（1）当时，，当时，，，两式相减，得，，显然也符合上式，数列的通项公式为.（2）由（1）知，，解得.正整数的最大值为15.18.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲､乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.甲､乙获得冠军的概率分别记为.（1）判断甲､乙获得冠军的实力是否有明显差别（若，则认为甲､乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；（2）用表示教师甲的总得分，求的分布列和数学期望.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为，甲获得冠军可以表示为：,因两两互斥，故教师甲获得冠军的概率，则教师乙获得冠军的概率，，，甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.（2）易知的所有取值为，，，，，则的分布列为：-15015300.0960.3520.4080.144.19.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上（包括端点）的动点，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面的夹角为，求的值.（1）证明：；连接交于点，连接，四边形是正方形，为的中点，是的中点，，平面平面平面.（2）解：易知两两垂直，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则.，设，则..设平面的法向量为，则，令，则.又直线与平面的夹角为，，解得..20.过抛物线焦点的直线交于两点，若直线垂直于轴，则的面积为2，其中为原点.（1）求抛物线的方程；（2）抛物线的准线上是否存在点，使得当时，的面积为.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：由抛物线，可得焦点为，因为直线垂直于轴，不妨设，代入，可得，所以，又因为的面积为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：由（1）知抛物线的焦点为，准线方程为，设点，当直线的斜率等于0时，不符合题意；故可设直线的方程为，联立方程组，消去得，可得，且，因为，所以，所以，所以，因为，原点到直线距离，所以，解得，所以，所以存在点，符合题目要求.21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在零点，求实数的取值范围.解：（1）当时，，所以.这得到，，所以所求切线是经过且斜率为的直线.故所求切线方程为，即.（2）设，则，所以当时，当时.从而在上递增，在上递减，故，这得到.若，则，从而取值恒为负，故没有零点，不满足条件；若，则有，及.从而由零点存在定理可知存在零点，满足条件.综上，的取值范围是.（二）选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设是曲线上的两点，且，求面积的最大值.（1）解：曲线的参数方程为（为参数），即（为参数），平方相加，可得，即，又由，可得，所以曲线的极坐标方程为.（2）解：由（1）知曲线的标准方程为，可得曲线是以为圆心，半径为5的圆，且过原点，因为，可得过圆心，且为直角三角形，所以，所以，当时，等号成立，所以面积最大值为.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若正数满足，证明：.（1）解：不等式等价于或或，解得或或.不等式的解集为.（2）证明：由（1）可得的图象如下所示：所以，即，方法一：，当且仅当时，等号成立.方法二：，即，当且仅当时，等号成立.陕西省铜川市2024届高三第三次模拟考试数学试题（理）一､选择题1.已知集合，若，则实数的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗依题意，由，可得，当时，符合题意，A正确；当或2时，不符合集合中元素的互异性，从而排除项；当时，，从而排除项.故选：A.2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，得，所以在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选：B.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，令，解得，依题有，即，双曲线方程为，从而，从而的焦点坐标为.故选：A.4.已知甲种杂交水稻近五年的产量数据为，乙种杂交水稻的产量数据为，则下列说法错误的是（）A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差〖答案〗D〖解析〗对于A，甲种的样本极差，乙种的样本极差，A正确；对于B，甲种的样本平均数，乙种的样本平均数，B正确；对于C，甲种的样本中位数为10.0，乙种的样本中位数为10.0，C正确.对于D，甲种的样本方差，乙种的样本方差，D错误.故选：D5.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在上单调递减，解得.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故选：A.7.已知为正实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若，根据糖水不等式可得，即充分性成立；若，则，即且，故，即必要性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：C.8.已知函数，则下列说法中不正确的是（）A.的最小正周期为B.的最大值为C.在区间上单调递增D.〖答案〗C〖解析〗依题意，则函数的最大值为，最小值正周期为，从而可排除选项.，，根据三角函数的性质可知，当，即时函数单调递减，当，即时函数单调递增，故在区间上不可能单调递增，应选C项.为偶函数，从而，从而可排除D选项.故选：C9.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（）A. B.C.函数的周期为2 D.〖答案〗D〖解析〗为奇函数，，又为偶函数，，故A项错误.即函数的周期为4，即C项错误.由，令，得，即B项错误.又，所以D项正确.故选：D10.在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，易知点都在截面内，且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，所求面积.故选：D.11.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.取的中点，连接，又，则.由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.设球的半径为，则，且，从而，即，当点在线段内（包括端点）时，有，可得，从而，即球心在线段的中点，其半径.当点在线段外时，，解得（舍）.故所求外接球的体积.故选：C12.已知为椭圆的左､右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知及平面几何知识可得圆心在的角平分线上.如图，设圆与轴的切点分别为，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，公切点也在的角平分线上，则，所以，由椭圆的定义知，则，，，.又圆与圆的面积之比为圆与圆的半径之比为3，所以，即，故椭圆的离心率.故选：A二､填空题13.有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有__________种.〖答案〗240〖解析〗先从5名学生中选2人组成一组，有种方法，然后将4组学生分配到4个景点，有种方法，由分步计数原理知共有种不同的游玩方式.故〖答案〗为：240.14.已知点为外接圆的圆心，且，则_________.〖答案〗〖解析〗由，得，由为外接圆的圆心，得，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故.故.故〖答案〗为：15.已知的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理得，又因为，所以，因为，可得，所以又因为为的一条中线，可得，所以，即，解得或（舍）.由余弦定理得.故〖答案〗为：.16.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗的定义域为，，令，得.令，则.令，则，即，即当时，单调递增；当时，单调递减.，又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，作出的草图如图，由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.三､解答题（一）必考题17.已知数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）若，求正整数的最大值.解：（1）当时，，当时，，，两式相减，得，，显然也符合上式，数列的通项公式为.（2）由（1）知，，解得.正整数的最大值为15.18.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲､乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.甲､乙获得冠军的概率分别记为.（1）判断甲､乙获得冠军的实力是否有明显差别（若，则认为甲､乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；（2）用表示教师甲的总得分，求的分布列和数学期望.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为，甲获得冠军可以表示为：,因两两互斥，故教师甲获得冠军的概率，则教师乙获得冠军的概率，，，甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.（2）易知的所有取值为，，，，，则的分布列为：-15015300.0960.3520.4080.144.19.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上（包括端点）的动点，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面的夹角为，求的值.（1）证明：；连接交于点，连接，四边形是正方形，为的中点，是的中点，，平面平面平面.（2）解：易知两两垂直，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则.，设，则..设平面的法向量为，则，令，则.又直线与平面的夹角为，，解得..20.过抛物线焦点的直线交于两点，若直线垂直于轴，则的面积为2，其中为原点.（1）求抛物线的方程；（2