2024届山东省日照市高三下学期校际联考（三模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3山东省日照市2024届高三下学期校际联考（三模）数学试题一、选择题1.若复数z满足（为虚数单位），则（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗因为，所以，，所以故选：D.2.设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗抛物线的焦点为，准线方程为，到轴的距离是4，故到准线的距离是，故点到该抛物线焦点的距离是.故选：A.3.设等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.36 C. D.18〖答案〗B〖解析〗，故选：B.4.已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为和是单位向量，所以又因为，所以，所以，所以，又，所以向量与向量的夹角为.故选：B.5.已知，，，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为；，根据正弦函数的单调性知：，故选：A.6.从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，共有种取法，三次都不重复的取法有种，由加法原理和乘法原理，出现重复编号卡片的概率.故选：B.7.某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），若，则S占地球表面积的百分比约为（）A26% B.34% C.42% D.50%〖答案〗C〖解析〗设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，线段交圆于，如图，则，，，，则，又，所以设地球表面积为，则所以．故选：C．8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗中，由余弦定理可得：，整理可得，又，则，，，则，可得，则，即，故选：C.二、选择题9.数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中，满足关系式，则（）A.B.若数据，则C.数据，的平均数为D.若，数据不全相等，则这组数据的相关系数为1〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，因为，故，所以B正确；对于C中，由，其平均数为，所以C错误；对于D中，若，数据不全相等，则这组数据都分布在直线上，根据样本相关系数的概念，可得相关系数为1，所以D正确.故选：ABD.10.在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则（）A.方程在上有三个根B.C.在上单调递增D.对任意，都有〖答案〗AC〖解析〗分析正方形顶点的运动状态可知，当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，作出函数的图象如下图所示：由图知：函数的图象与直线在上有三个交点，即方程在上有三个根，A正确；函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，B错误；函数在上单调递增，C正确；由图象知：，，，D错误.故选：AC.11.已知函数部分图象如图1所示，，分别为图象的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图象与轴的交点，与轴的交点为，此时.将绘有该图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示，折叠后，则（）A.B.在上单调递增C.在图2中，上存在唯一一点，使得平面D.在图2中，若是上两个不同的点，且满足，，则的最小值为〖答案〗BD〖解析〗设函数的最小正周期为，则，又，平方得，即，所以，即，因为，解得，故，即，所以，则，可得，又因为函数在附近单调递减，且，所以，故A错误；对于B选项，因为，当时，，此时单调递增，B符合题意；对于C选项，在平面内，过点作交轴于，交于，在平面上，过作平行于的直线交于，此时，面，故C错误；对于D选项，若，均在上，由可知，平行于轴，此时，若，均在上，作于点，则，又，又，从而面，面，故，而，因此，在图1中作直线，则为与的交点，不妨设，为与在轴右侧最近的两个交点，则此时最小值为，若，不在同一个面上，此时，故D正确.故选：BD.三、填空题12.已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________.〖答案〗〖解析〗由题意设圆心角、弧长、半径分别为，则，解得，所以该扇形的面积为.故〖答案〗为：.13.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为________．〖答案〗〖解析〗设，则，又由椭圆定义，得，所以又因为，所以，所以．故〖答案〗为：.14.在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗由，整理得，即在圆心，半径为1的半圆上.，令，则，又，所以，当时，，则为单调递增，当时，，则为单调递减，综上可知，在处取得极大值，也是最大值，即，于是，即，当且仅当时，等号成立，所以曲线的一条切线为，数形结合可知，当分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值，即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即的最小值为.过圆心与垂直的直线方程，所以，当且仅当即时取到最小值.综上所述，，而恒成立，所以，则的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.在五面体中，，.（1）求证：；（2）若，，，点到平面的距离为，求二面角的余弦值.（1）证明：因为，，所以，因为，，所以，因为平面平面，平面，所以.（2）解：由于平面，，所以，平面，故，又因为平面，，平面，所以，又，，，平面，所以平面由于，则，故，故为等腰直角三角形，所以，，如图以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建系，则，，，，，设平面的法向量为，则，平面的法向量为，因为，，所以，即令，则，设成的角为，由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为16.电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.（1）已知该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”.（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）.（2）已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为，求的分布列及数学期望.参考数据：若，则，，（1）解：（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布可得，，因为，则该同学能被评为“反诈标兵”.（ii）设全校参与本次竞赛的人数为，“反诈达人”的概率为：则，解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为人.（2）解：由题意知，男生了解“反诈”知识的概率为，女生了解“反诈”知识的概率为，随机变量的所有可能取值为，可得所以随机变量的分布列为012345所以，期望为.17.已知函数，，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，对，，求正整数的最大值.解：（1）函数的定义域为，求导得，①当时，有，此时函数在区间上单调递减；②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增；当时，，此时函数在区间上单调递减.所以当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）当，时，恒成立，等价于恒成立，设，，则，当时，有，函数在上单调递增，且，，则存在唯一的，使得，即，当时，，；当时，，，函数在上单调递减，在上单调递增，设，则当时，，函数在上单调递减，又因为，所以.所以正整数的最大值是3.18.已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，.（i）求证：为定值；（ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围.（1）解：设双曲线C：由题意得，，则，，所以双曲线的方程为.（2）（i）证明：如图：设，，，由与，得，即，将代入的方程得：，整理得：①，同理由可得②.由①②知，，是关于的一元二次方程的两个不等实根.显然，由韦达定理知，所以为定值.（ii）解：由，即，整理得：，又，不妨设，则，整理得，又，故，而由（2）知，，故，代入，令，得，由双勾函数性质可知，在上单调递增，所以的取值范围是，所以的取值范围为.19.对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．（1）写出的所有可能值；（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．（1）解：由已知，，，∴，由于，∴可能值为．（2）解：∵，当时，，当时，，，，∵是的生成数列，∴；；；∴在以上各种组合中，当且仅当时，才成立．∴．（3）证明：共有种情形．，即，又，分子必是奇数，满足条件的奇数共有个．设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项．由于，不妨设，则，所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有．∴共有种情形，其值各不相同．∴可能值必恰为，共个．即所有可能值集合为．山东省日照市2024届高三下学期校际联考（三模）数学试题一、选择题1.若复数z满足（为虚数单位），则（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗因为，所以，，所以故选：D.2.设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗抛物线的焦点为，准线方程为，到轴的距离是4，故到准线的距离是，故点到该抛物线焦点的距离是.故选：A.3.设等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.36 C. D.18〖答案〗B〖解析〗，故选：B.4.已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为和是单位向量，所以又因为，所以，所以，所以，又，所以向量与向量的夹角为.故选：B.5.已知，，，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为；，根据正弦函数的单调性知：，故选：A.6.从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，共有种取法，三次都不重复的取法有种，由加法原理和乘法原理，出现重复编号卡片的概率.故选：B.7.某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），若，则S占地球表面积的百分比约为（）A26% B.34% C.42% D.50%〖答案〗C〖解析〗设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，线段交圆于，如图，则，，，，则，又，所以设地球表面积为，则所以．故选：C．8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗中，由余弦定理可得：，整理可得，又，则，，，则，可得，则，即，故选：C.二、选择题9.数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中，满足关系式，则（）A.B.若数据，则C.数据，的平均数为D.若，数据不全相等，则这组数据的相关系数为1〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，因为，故，所以B正确；对于C中，由，其平均数为，所以C错误；对于D中，若，数据不全相等，则这组数据都分布在直线上，根据样本相关系数的概念，可得相关系数为1，所以D正确.故选：ABD.10.在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则（）A.方程在上有三个根B.C.在上单调递增D.对任意，都有〖答案〗AC〖解析〗分析正方形顶点的运动状态可知，当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，作出函数的图象如下图所示：由图知：函数的图象与直线在上有三个交点，即方程在上有三个根，A正确；函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，B错误；函数在上单调递增，C正确；由图象知：，，，D错误.故选：AC.11.已知函数部分图象如图1所示，，分别为图象的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图象与轴的交点，与轴的交点为，此时.将绘有该图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示，折叠后，则（）A.B.在上单调递增C.在图2中，上存在唯一一点，使得平面D.在图2中，若是上两个不同的点，且满足，，则的最小值为〖答案〗BD〖解析〗设函数的最小正周期为，则，又，平方得，即，所以，即，因为，解得，故，即，所以，则，可得，又因为函数在附近单调递减，且，所以，故A错误；对于B选项，因为，当时，，此时单调递增，B符合题意；对于C选项，在平面内，过点作交轴于，交于，在平面上，过作平行于的直线交于，此时，面，故C错误；对于D选项，若，均在上，由可知，平行于轴，此时，若，均在上，作于点，则，又，又，从而面，面，故，而，因此，在图1中作直线，则为与的交点，不妨设，为与在轴右侧最近的两个交点，则此时最小值为，若，不在同一个面上，此时，故D正确.故选：BD.三、填空题12.已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________.〖答案〗〖解析〗由题意设圆心角、弧长、半径分别为，则，解得，所以该扇形的面积为.故〖答案〗为：.13.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为________．〖答案〗〖解析〗设，则，又由椭圆定义，得，所以又因为，所以，所以．故〖答案〗为：.14.在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗由，整理得，即在圆心，半径为1的半圆上.，令，则，又，所以，当时，，则为单调递增，当时，，则为单调递减，综上可知，在处取得极大值，也是最大值，即，于是，即，当且仅当时，等号成立，所以曲线的一条切线为，数形结合可知，当分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值，即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即的最小值为.过圆心与垂直的直线方程，所以，当且仅当即时取到最小值.综上所述，，而恒成立，所以，则的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.在五面体中，，.（1）求证：；（2）若，，，点到平面的距离为，求二面角的余弦值.（1）证明：因为，，所以，因为，，所以，因为平面平面，平面，所以.（2）解：由于平面，，所以，平面，故，又因为平面，，平面，所以，又，，，平面，所以平面由于，则，故，故为等腰直角三角形，所以，，如图以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建系，则，，，，，设平面的法向量为，则，平面的法向量为，因为，，所以，即令，则，设成的角为，由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为16.电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.（1）已知该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”.（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）.（2）已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为，求的分布列及数学期望.参考数据：若，则，，（1）解：（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布可得，，因为，则该同学能被评为“反诈标兵”.（ii）设全校参与本次竞赛的人数为，“反诈达人”的概率为：则，解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为人.（2）解：由题意知，男生了解“反诈”知识的概率为，女生了解“反诈”知识的概率为，随机变量的所有可能取值为，可得所以随机变量的分布列为012345所以，期望为.17.已知函数，，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，对，，求正整数的最大值.解：（1）函数的定义域为，求导得，①当时，有，此时函数在区间上单调递减；②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增；当时，