初中数学竞赛定理大全

欧拉（Euler）线:

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角

形的欧拉线;

且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

外心重心重心垂心

2.00厘米4.00厘米

九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个

点共圆，这个圆称为三角形的九点圆;

其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径

的一半。

OA=1.07厘米

OB=1.07厘米

0Kl=2.43厘米

BD=4.87厘米

费尔马点:

已知P为锐角^ABC内一点，当NAPB=NBPC=NCPA=120°时,

PA+PB+PC的值最小，这个点P称为4ABC的费尔马点。

BP+CP+APBE+CE+AE

10.90厘米11.51厘米

BE=3.45厘米

ZBPC=120°CE=5.00厘米

ZCPA=120°AE=3.06厘米

NAPB=120°BP=4.93厘米

CP=3.63厘米

AP=2.33厘米

海伦(Heron)公式：

海伦(Heron)公式：

1

在△ABC中，边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,若p=,(a+b+c),

则ZkABC的面积S=Jp(p—a)。—b)Q—c)

AB=4.00厘米

BC=6.09厘米

1CA=50。厘米

—■(AB+BC+CA)=7.54厘米

p=7.54厘米

AD=3.27厘米

._______________________1

Vp(p-AB)(p-BC)-(p-CA)=9.94厘米--BCAD=9.94厘米

塞瓦(Ceva)定理:

在aABC中，过^ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别

交边BC、CA、AB与点D、E、F,则(BD/DC)•(CE/EA)•(AF/FB)=1；其逆亦真。

密格尔(Miquel)点：

若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点,

构成四个三角形，它们是^ABF、AAED>ABCE>△DCF,

则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔冈U(Gergonne)点:

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F,

则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松（Simson）线：

已知P为^ABC外接圆周上任意一点，PD±BC,PE±ACPF±AB,D、

E、F为垂足，

则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割：

把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)

与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

AC2=14.0厘米

C

CBAB=14.0厘米

AB

帕普斯(Pappus)定理：

已知点Ai、A2、A3在直线11上，已知点Bi、B2、B3在直线12上，

且AiB2与A2B1交于点X,A1B3与A3B1交于点Y,A2B3于A3

B2交于

点Z,则X、Y、Z三点共线。

笛沙格(Desargues)定理:

已知在△ABC与△ABC中，AA'、BB'、CC三线相交于点。，

BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z,则X、Y、

Z三点共线；其逆亦真

摩莱(Morley)三角形：

在已知aABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA>AB相邻的每两

线相交于点D、E、F,则4DEF是正三角形,

这个正三角形称为摩莱三角形。

帕斯卡（Paskal）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G,边BC、EF

延长线交于点H,边CD、FA延长线交于点K,则H、G、K三点共线。

托勒密（Ptolemy）定理：

在圆内接四边形中，AB•CD+AD•BC=AC•BD

（任意四边形都可！哇哈哈）

斯图尔特（Stewart）定理：

设P为aABC边BC上一点，且BP：PC=n：m,则

m•(AB2)+n,(AC2)=m,(BP2)+n,(PC2)+(m+n)(AP2)

PCAB2+BP-AC2=310.87厘米

PC-BP2+BP-PC2+(BP+P^AP2=310.87厘米3

BP=3.69厘米

PC=4.35厘米

AB=4.57厘米

AC=7.72厘米

AP=4.75厘米

梅内劳斯定理：

在^ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线

截于点X、Y、Z，贝NBX/XC)•(CY/YA)•(AZ/ZB)=1

阿波罗尼斯(Apollonius)圆

一动点p与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以

定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波

布拉美古塔(Brahmagupta)定理：

在圆内接四边形ABCD中，AC-1-BD,自对角线的交点p向一边作垂线,

其延长线必平分对边。

BF=4.27厘米

CF=4.27厘米

GD=4.15厘米

GC=4.15厘米

C(托动)

BC：

广勾股定理:

在任一三角形中，

(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在

此边上的影射乘积的两倍.

(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在

此边延长上的影射乘积的两倍.

加法原理:

做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有Ml种不同的方法，在

第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的

方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。

比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，

1：火车ki

2：飞机k2

3：轮船k3,那么从北京-上海的方法N=ki+k2+k3

乘法原理:

做一件事，完成它需要分成n个步骤，

做第一步有ml种不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，……,做第n步有m・n不同的方法.那么完成这件

事共有N=ml,m2•m3…mn种不同的方法.

正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形

外接圆的直径)

这一定理对于任意三角形ABC,都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径)

余弦定理：

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们

夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C,则满足性质：

a2=b2+c2-2bc•CosA

b2=a2+c2-2ac•CosB

c2==a2+b2-2ab,CosC

CosC=(a2+b2-c2)/2ab

CosB=(a2+c2-b2)/2ac

CosA=(c2+b~~a2)/2bc

解析几何中的基本公式

1、两点间距离:若A(X],yj),B(x2,y2),则[-七/+(%-%>

2、平行线间距离：若L:Ax+By+C]=O,12:Ax+By+C2=0

iQ-ql

则：d

7A2+B2

注意点:x,y对应项系数应相等。

3、点到直线的距离：P(xo,yo),1:Ax+By+C=O

则P到出距离为：人房是善

y=kx+b

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

F(x,y)=O

消y：ax2+bx+c=O,务必注意A>0.

若I与曲线交于A（X1，M）K九2，为）

则：|例=血+42)(/_%1)2

5、若人（%1，%）,3（巧,乂），P（X，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成

的比为入，

Xy+X%M+x

X2x=-------9-

2

则1+?，特别地：入=1时，P为AB中点且<

%+3%

y=

1+X-2

变形后:入二口或九二J

/一%%一>

6、若直线li的斜率为七,直线I2的斜率为k2,则li到I2的角为a,ae（0/）

适用范围：ki,k2都存在且kik27—1,tant=J—占

1+kxk2

若k与b的夹角为e'则tanej占

注意：⑴11到12的角，指从11按逆时针方向旋转到12所成的角,范围（0,兀）

11到12的夹角：指312相交所成的锐角或直角。

（2）I1L2时，夹角、到角=乌。

2

（3）当11与12中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、(1)倾斜角a,ae(0,K)；

—>—>

(2)夹角①0e[0,兀|；

(3)直线I与平面a的夹角p,pe[0,1]；

(4)li与b的夹角为9，0e[0,1],其中I//I2时夹角e=o；

(5)二面角0,ae(0,兀]；

(6)li到12的角。，0e(0,7T)

8、直线的倾斜角a与斜率k的关系

a)每一条直线都有倾斜角a,但不一定有斜率。

b)若直线存在斜率k,而倾斜角为a,则1<=12门01。

9、直线11与直线12的的平行与垂直

(1)若kb均存在斜率且不重合：①U/I2Oki=k2

②I1L20kik2=-1

(2)4:A^x+B]y+G=。，，2：^2^+62、+C*2=0

若Ai、A2、Bi、B2都不为零

①11〃120在=2/三；

A2B2C2

②ll_LboA1A2+B1B2=O；

③11与12相交OAL/殳

A

2B2

④11与12重合0劣二旦二6；

A2B2C2

注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母二0与。0的情况。

10、直线方程的五种形式

名称方程注意点

斜截式：y=kx+b应分①斜率不存在

②斜率存在

点斜式：y-x=左(％一儿)(1)斜率不存在：x=x„

(2)斜率存在时为

y-y。=左(％-%)

两点式：yf=％一%i

y2f9一芯

截距式：其中1交x轴于(a,0),交y

ab

轴于(0,b)当直线1在坐标轴上，

截距相等时应分：

(1)截距=0设y=kx

(2)截足巨设

——F—=1

aa

即x+y=a

一般式：Ax+By+C-0(其中A、B不同时为零)

11、直线4x+3y+C=0与圆(％-1)2+(y—b)2=U的位置关系有三种

.,|Atz+Bb+Cl.

右d=--,,4>r=/目禺04<0

U2+B2

d—r<=>相切oA=0

J<r<=>相交oA>0

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质

（一）椭圆

定义I：若Fi,F2是两定点，P为动点，且|P耳|+归闾=2a>|可图（a为

常数）则P点的轨迹是椭圆。

定义H：若Fi为定点，I为定直线，动点P到Fi的距离与到定直线I的距离

之比为常数e（0<e<l）,则P点的轨迹是椭圆。

a2

准线方程：^=±—

22

焦半径：|PFj=e(x+?),\PF^e^--x),归耳|=2a—归阊，

a-c<|P娟<a+c等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定

义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：内耳|=工|=a—c,囿工|=4|=a+c

忸闿=B用=隹用=同周=a,他因=阊因=J。2+/?2等等。顶

点与准线距离、焦点与准线距离分别与凡九c有关。

（2）"K居中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段|P片、

\PF2\>2c,有关角N片尸工结合起来,建立|P£|+|P阊、|P^|•\PF2\

等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：/="cos,；

y=Z?sin0

（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴

上时，其相应的性质。

二、双曲线

（一）定义：I若Fi,F2是两定点，帕耳|-|P可=2a<|耳国（a为常数）,

则动点P的轨迹是双曲线。

II若动点P到定点F与定直线I的距离之比是常数e（e>l）,则

动点P的轨迹是双曲线。

（二）图形：

三）性质

22

方程：-1（〃>0/>。）^~T~~T=1（〃>。*>0）

abab

定义域：｛小>a或x<a｝；值域为R;

实轴长=2a,虚轴长=2b

焦距：2c

a2

准线方程：％=±丁

22

焦半径：|PK|=e(x+?),\PF^=e^--x),\PF^-\PF^=2a；

注意：(1)图中线段的几何特征：|人周=忸/=°-°,|4闾=忸£|=a+c

22

顶点到准线的距离：a-—^a+—；焦点到准线的距离：

CC

a2_p.a2;两准线间的距离=叱

c---或c+——

ccC

2222

(2)若双曲线方程为=渐近线方程：与-二=0=>y=±*

ababa

若渐近线方程