1.1.7函数的单调性和极值

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版PAGEPAGE11.1.7函数的单调性和极值课题1.1.7函数的单调性和极值（4学时）时间年月日教学目的要求掌握求函数单调性的方法。理解极值、最值概念。会求函数极值、最值。重点概念的理解难点方法的掌握教学方法手段精讲多练主要内容时间分配一、函数单调性判别法定理115分钟例1-例220分钟二、函数的极值1、定义10分钟2、必要条件定理215分钟3、充分条件一定理310分钟例3-例420分钟4、充分条件二定理420分钟例515分钟三、函数的最值15分钟例615分钟小结15分钟作业备注一、函数单调性判别法定理1设函数在内可导，1、如果在内，那么函数在内单调递增；2、如果在内，那么函数在内单调递减。注意：对无穷区间也成立。（或）而等号只在个别点处成立，则在此区间仍是单调增加（减少）。证明：设函数在上连续，在内可导，在上任取，由拉格朗日中值定理可知，至少存在，使当时有表明在内单调递增。当时有表明在内单调递减。【例1】判定函数在内的单调性。解在内，所以，在内单调递增。【例2】求的单调区间。解的定义域为，令得列表如下：+—+由表可知，单调递增区间为，，单调递减区间为。注意：确定函数单调性步骤：确定函数定义域；令，解得和使不存在的点，并把这些点作为分界点；列表确定在各个子区间内符号，从而确定的单调性。二、函数的极值1、定义设函数在点的邻域内有定义。除点以外，对于点邻域内的任一点，如果均成立，则称为函数的一个极大值，点成为函数的一个极大值点；如果均成立，则称为函数的一个极小值，点成为函数的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为极值点。2、必要条件定理2如果函数在点处有极值，且存在，那么。注意：（1）使的点称为驻点。（2）可导函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。如函数，是驻点，但不是极值点。3、充分条件一定理3设函数在点的邻域内连续且空心邻域内可导，（1）如果当时，；当时，那么函数在点处取得极大值。（2）如果当时，；当时，那么函数在点处取得极大值。（3）如果当取左右两侧的值时，不变号，那么函数在点处没有极值。注意：求函数的极值的步骤（1）确定的定义域，求出导数；（2）求出函数的全部驻点和一阶导数不存在的点；（3）考查在驻点和不可导点的左右邻域内是否变号，以确定极值点；（4）判断各极值点的函数值是极大值还是极小值，并写出极大值或极小值。【例3】求的单调区间和极值。解的定义域为，令得，没有不可导点，两驻点把定义域分成三个子区间：，，列表如下：-13+0-0+2极大值-5极小值所以函数在，内单调增加；在内单调减少。在处有极大值；在处有极小值。【例4】求的单调区间和极值。解的定义域为，当时，令得。当，不存在。驻点和导数不存在的点把定义域分成三个子区间：，，列表如下：01+不存在-0+0极大值极小值所以函数在，内单调增加；在内单调减少。在处有极大值；在处有极小值。4、充分条件二定理4如果函数在点处具有二阶导数，且而，那么当时函数在点处取得极小值；当时函数在点处取得极大值。证明：，即而，即，说明与异号即即有即即有可知在点处取极大值。【例5】求的极值。解的定义域为，令得所以在处取得极大值；所以在处取得极大值。三、函数的最值求最值的步骤：求出函数在内的所有驻点和一阶导数不存在的点，并计算各点的函数值（不必判断这些点是否取得极值）；求出端点的函数值