第2章-随机过程v3

1通信原理第2章随机过程2024/9/1522.1随机过程的基本概念什么是随机过程？随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2024/9/1532.1随机过程的基本概念(续)2024/9/15【例2】如果把n台示波器同时观测并记录这n台相同型号的、环境条件也相同的接收机的输出噪声波形，所记录的n个结果都会随时间随机变化，而且互不相同。42.1随机过程的基本概念(续)

每个测试结果都是一个确定的时间函数xi(t)，称之为样本函数或随机过程的一次实现。全部样本函数的集合{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}被称为一个随机过程，记作ξ(t)。

在任意时刻t1，每个样本函数xi(t)都是一个确定的数值xi(t1)，但是数值xi(t1)是不可预知的，即在一个固定时刻t1，不同样本的取值{xi(t1)，i=1，…，n}是一个随机变量，记作ξ(t1)。随机过程在任意时刻的取值是一个随机变量，因此，可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。2024/9/1552024/9/152.1.1随机过程的分布函数

把ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率P[ξ(t1)≤x1]，称它为随机过程ξ(t)的一维分布函数ξ(t)的一维概率密度函数:随机过程

(t)的二维分布函数:62024/9/152.1.1随机过程的分布函数(续)随机过程

(t)的二维概率密度函数:随机过程

(t)的n维分布函数随机过程

(t)的n维概率密度函数72.1.2随机过程的数字特征2024/9/151.均值

随机过程

(t)在任意给定时刻t1的取值

(t1)是一个随机变量，其均值为

由于t1是任取的，所以可以把t1

直接写为t，x1改为x，这样上式就变为

随机过程

(t)的均值是时间的确定函数，记作a(t)，它表示随机过程

(t)的n个样本函数曲线的摆动中心。82.1.2随机过程的数字特征(续)均方值均值平方2024/9/152.方差92.1.2随机过程的数字特征(续)2024/9/153.自相关函数4.协方差函数B(t1,t2)

与R(t1,t2)之间有如下关系式：102.1.2随机过程的数字特征(续)2024/9/155.互相关函数2.3平稳随机过程2.3.1平稳随机过程的定义

如果随机过程

(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数

，有112.3.1平稳随机过程的定义(续)2024/9/15则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。设Δ=-t1，则严平稳随机过程的一维分布函数与设Δ=-t1，

=t2–t1，则严平稳随机过程的二维分布函数只与时间间隔有关。122.3.1平稳随机过程的定义(续)2024/9/15严平稳随机过程的均值和自相关函数分别如下：严平稳随机过程的均值与时间t无关，为常数a；其自相关函数只与时间间隔

有关。

把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅满足式(2–18)和(2–19)的随机过程定义为广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。132.3.2各态历经性2024/9/15

设x(t)是平稳随机过程

(t)的任意一次实现，则其时间均值和时间相关函数分别定义为如果平稳随机过程使下面两式成立则称该平稳随机过程具有各态历经性。142.3.2各态历经性（续）2024/9/15

平稳随机过程的各态历经的含义是，随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的各种可能状态。因此，在求解各种统计平均时，无需无限多次的样本，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替平稳随机过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算大为简化。

具有各态历经的随机过程一定是平稳随机过程；反之不一定成立。在通信系统中的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。152.3.2各态历经性（续）2024/9/15例2-1设一个随机相位的正弦波为ξ(t)=Acos(

ct+

)，其中，A和

c均为常数；

是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论

(t)是否是平稳随机过程，是否具有各态历经性。解(1)

(t)的统计平均值为

(t)的自相关函数为162.3.2各态历经性（续）2024/9/15

=t2–t1

可见，

(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关，只与时间间隔

有关，所以

(t)是广义平稳过程。172.3.2各态历经性（续）自相关函数令t2–t1=

，得到可见，

(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以

(t)是广义平稳过程。2024/9/15182.3平稳随机过程（续）2024/9/15(2)

(t)的时间平均值为

比较统计平均与时间平均，

。因此，随机相位余弦波具有各态历经性。192.3.3平稳随机过程的自相关函数2024/9/15

平稳随机过程

(t)的自相关函数R(τ)有如下性质：

(1)R(0)=E[ξ2(t)]，即平稳随机过程

(t)的平均功率等于R(0)。

(2)R(τ)

=R(-τ)，即自相关函数为偶函数。(3)|R(τ)|≤R(0)，即自相关函数的最大值为R(0)。

(4)R(∞)=E2[ξ(t)]，即平稳随机过程

(t)的直流功率等于R(∞)。

(5)R(0)-R(∞)=σ2，即平稳随机过程

(t)的交流功率等于方差σ2。202.3.3平稳随机过程的自相关函（续）2024/9/15证明性质(3)、(4)和(5):性质(3)得正

当

→∞时，

(t)与

(t+

)不相关，而且它们的数学期望与时间的无关，因此，性质(4)得正212.3.3平稳随机过程的自相关函（续）2024/9/15对于任意的确知功率信号f(t)，它的功率谱密度Pf(f)定义为性质(5)得正2.3.4平稳过程的功率谱密度FT

(f)是f(t)的截断函数fT(t)的频谱函数222.3.4平稳过程的功率谱密度（续）2024/9/15

平稳过程ξ(t)的功率谱密度可以看作是所有样本的功率谱密度的统计平均，即232.3.4平稳过程的功率谱密度（续）2024/9/15

根据维纳——辛钦(Wiener-Khinchine)关系，平稳过程

(t)的功率谱密度与其自相关函数是一付立叶变换对，即两条结论：(1)平稳过程

(t)的功率等于其自相关函数在零点的取值R(0)，即(2)各态历经过程任一样本函数的功率谱密度等于平稳过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个平稳过程的的谱特性。242.3.4平稳过程的功率谱密度（续）2024/9/15例2-2求随机相位余弦波

(t)=Acos(

ct+

)的自相关函数和功率谱密度。解

前面，我们已经证明了随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出了其相关函数为

(t)的功率谱密度为252.4高斯随机过程2024/9/152.4.1高斯过程的定义

高斯过程又被称为正态随机过程，对于通信领域而言，它是一种重要而常见的随机过程。

如果随机过程

(t)的任意n维（n=1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程，其n维正态概率密度函数表示式为数学期望ak=E[ξ(tk)]；方差σ2k=E[ξ(tk)-ak]2262.4.1高斯过程的定义（续）2024/9/15归一化协方差矩阵行列式:

高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要其数字特征就可以全面描述了。272.4.1高斯过程的定义（续）2024/9/15

设高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关而与时间起点无关，其方差为σ2=E[

2

(t)]–a2(t)=R(0)–a2，也与时间无关，其协方差B(t1,t2)=R(

)–a(t1)a(t2)=R(

)-a2，就只与时间间隔有关而与时间起点无关，高斯过程的n维分布也只与时间间隔有关而与时间起点无关。因此，如果高斯过程是广义平稳的，则其也是严平稳的。

如果高斯过程在不同时刻不相关，也就是说，当j≠k时，bjk=0，则上式简化为282.4.1高斯过程的定义（续）2024/9/15如果高斯过程在不同时刻不相关，则它们也是统计独立的。高斯过程经过线性系统后，其系统输出也是高斯过程。

设线性系统的单位冲激响应为h(t)，传输函数为H(f)。一个平稳随机过程

i(t)的一个样本ui(t)通过该系统后的输出uo(t)为292.4.1高斯过程的定义（续）2024/9/15

如果ui(t)和uo(t)的付立叶变换分别为Ui(f)和Uo(f)，则Uo(f)=Ui(f)H(f)。

对应n个样本ui，k(t)，k=1,2,…,n，系统输出n个平稳随机过程uo,k(t)，k=1,2,…,n，构成了输出随机过程ξo(t)。

设平稳随机过程

i(t)的均值、自相关函数和功率谱密度分别为ai、Ri(t)和Pi(f)。下面分别计算输出随机过程ξo(t)的均值ao、自相关函数Ro(t)、功率谱密度Po(f)和概率分布函数。302.4.1高斯过程的定义（续）2024/9/15(1)计算随机过程ξo(t)的均值(2)计算随机过程ξo(t)的自相关函数

312.4.1高斯过程的定义（续）2024/9/15(3)计算随机过程ξo(t)的功率谱密度(4)计算随机过程ξo(t)的概率分布函数322.4.2高斯随机变量2024/9/15

高斯过程在任意时刻的取值就是一高斯分布的随机变量，即高斯随机变量，其一维概率密度函数为a和σ分别为高斯随机变量的均值和方差332.4.2高斯随机变量（续）2024/9/15

高斯分布的概率密度f(x)主要有以下两个特性：1、f(x)关于直线x=a对称，即f(a+x)=f(a-x);2、高斯分布的概率分布满足

当a=0,σ=1时，高斯分布的概率密度f(x)被称为标准正态分布，即342.4.2高斯随机变量（续）2024/9/15

属于正态的随机变量ξ小于或等于某值x的概率P(ξ≤x)就是其正态分布函数F(x)，即352.4.2高斯随机变量（续）2024/9/15

误差函数erf(x)单调递增函数，特别地，erf(0)=0,erf(∞)=1,erf(-x)=-erf(x)。误差函数erf(x)也可以用互补误差函数erfc(x)表示，即

正态分布函数F(x)可以由误差函数erf(x)或者互补误差函数erfc(x)间接得到。正态分布函数F(x)还可以利用Q(x)函数来表示，其定义为362.4.2高斯随机变量（续）2024/9/15正态分布函数F(x)由Q(x)函数来表示为Q(x)函数与误差函数erf(x)、互补误差函数erfc(x)的关系是372.5窄带随机过程2024/9/15

窄带随机过程样本的时域波形如同包络和初相位缓慢变化的正弦波。因此，随机过程

(t)可以表示为382.5窄带随机过程（续）2024/9/15

ξc(t)=aξ(t)cos[φξ(t)]；ξs(t)=aξ(t)sin[φξ(t)]。

c(t)和

s(t)分别被称为同相分量和正交分量。2.5.1

c(t)和

s(t)的统计特性

由于

(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E[

(t)]=0，所以392.5.1

c(t)和

s(t)的统计特性（续）2024/9/15

窄带随机过程

(t)的自相关函数为402.5.1

c(t)和

s(t)的统计特性（续）2024/9/15当t=π/(2

c)rad时，同理可以求得

当t=0时，若窄带过程

(t)是平稳的，则

c(t)和

s(t)也是平稳的。412.5.1

c(t)和

s(t)的统计特性（续）2024/9/15422.5.1

c(t)和

s(t)的统计特性（续）2024/9/15

对于平稳随机过程，过程的特性与变量t无关。由于

(t)是高斯过程，

c(t1)和

s(t2)就是高斯随机变量，从而

c(t)和

s(t)也是高斯过程。

由于Rcs(0)=0，

c(t)与

s(t)在

=0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此

c(t)与

s(t)也是统计独立的。

一个均值为零的窄带平稳高斯过程

(t)，它的同相分量

c(t)和正交分量

s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的

c(t)与

s(t)是统计独立的。432.5.2a

(t)和

(t)的统计特性2024/9/15由于

c(t)与

s(t)是统计独立的，它们的联合概率密度函数为a

≥0；φ

∈(0,2π)442.5.2a

(t)和

(t)的统计特性(续)2024/9/15边缘概率为a

服从瑞利(Rayleigh)分布，

服从均匀分布。452.6高斯白噪声和带限白噪声2024/9/