二项分布与超几何分布（3类）-2022-2023学年高二数学分类集训系列（北师大版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题6.4二项分布与超几何分布

【考点1：二项分布的概率、均值与方差】.........................................................1

【考点2：服从二项分布的随机变量概率最大问题】................................................9

【考点3：超几何分布的概率、均值与方差】.....................................................14

【考点1：二项分布的概率、均值与方差】

【知识点：二项分布的概率、均值与方差】

1.独立重复试验

在相同条件下重复做的〃次试验称为〃次独立重复试验.A,(i=l,2,…，〃)表示第i次试验结果，则

PG41AM3…4〃)=P(4)P(4)…P(A〃).

2.二项分布

在〃次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称

随机交量X服从二项分布，记作X〜玫〃，p),并称p为成功概率.在〃次独立重复试验中，事件A恰好发

生人次的概率为P(X=4)=apA(l-p)LA(k=0,l,2,・・・，〃).

［方法技巧］

求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X〜&〃，p),则用公式E(X)=〃p；

。(加="(1一0求解，可大大减少计算量.

1.(2023•全国•高二专题练习)已知X〜B(n,p),且E(3X—9)=D(3X-9)=27,则()

A.n=18B.n=16C.p=-D.p=-

44

【答案】BD

【分析】由题得卜：了!一2；2：解方程组即得解.

【详解】由题意可知3E(X)-9=9D(X)=27,则卜,；1二，解得P=？n=16-

故选：BD

2.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知随机变量从二项分布8(1001,3，则1)

1001

A.P(X=k)=CfQ01(1)B.P(X<301)=P(X>701)

C.P(X>E(X))>1D.P(X=k)最大时A=500或501

【答案】AD

【分析】结合二项分布的性质，逐项计算，即可得到本题答案.

,/i\fc/1001-fc,Z1OO1

【详解】对A,P(X=/c)=Cfooi(2)(1-5lX)=Cfooi(12X)，所以A对；

对B,因为P(X<301)=立为P(X=k),P(X>700)=EU7OOP(X=k)且哈°i=C挪1，

所以P(XW301)=P(XN700),所以B错；

对C,因为E(X)=np=1001x1=500.5,

所以P(X>E(X))=P(X>500.5)=配缥)iP(X=fc)=I，所以C错；

对D,因为P(X=k)=C，ooi《)，由组合数的性质得，P(X=k)最大时上=500或501,所以D对.

故选：AD

3.(2023・全国•高二专题练习)某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已

知生产该产品三道工序的次品率分别为2，春.

⑴求该产品的次品率；

⑵从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X,求随机变量X的分布列与期望E(X).

【答案】明

⑵分布列见解析，E(X)=：

4

【分析】(1)利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概

率

(2)由题意得X=0,1,2,3,分别求出其相对应的概率，能求出X的分布列和数学期望.

【详解】⑴产品正品的概率为；P=(l；)(1

所以为次品的概率为1一?=；

(2)由题意得X=0,1,2,3,且乂~8(3,?

P(x=o)=e)3或，

P(X=D=啮乍)哈

P(X=2)=CK3G)2=»

P(X=3)=G)Y，

.•.X的分布歹IJ如下:

X0123

272791

p

64646464

.•.EW=0x^+lx^+2x^+3x^=^

4.（2023•四川•校联考模拟预测）为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共

有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100],并画巴如图所示的频率分布直方图.

⑴估计所有参赛学生的平均成绩（各组的数据以该组区间的中间值作代表）；

⑵若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线.

⑶以这100名学生成绩不低于80分的频率为概率，从参赛的500名学生中随机选20名，其中参赛学生成绩不

低于80分的人数记为X,求X的方差.

【答案】（1）82分

（2）95分

（3）4.8

【分析】（1）利用频率分布直方图进行数据分析，求出m,再求出这100名参赛学生的平均成绩，由此估

计出所有参赛学生的平均成绩：

（2）求出可以获得表彰的学生人数的频率，设获得表彰的学生的最低分数线为X,根据条件建立关于x的方

程求解即可；

（3）根据条件，可知X〜B（20,0.6）,然后由方差公式求解即可.

【详解】（1）由10x（0.01+0.03+m+2m）=1,得m=0.02.

这100名参赛学生的平均成绩约为0.01x10x65+0.03x10x75+0.04x10x854-0.02x10x95=82

分,

故估计所有参赛学生的平均成绩为82分.

(2)获得表彰的学生人数的频率为券=0.1,

设获得表彰的学生的最低分数线为X，

由分数在区间［90,100］的频率为10x0.02=0.2,可知％e(90,100),

由(100-x)x0.02=0.1,得工=95,

故估计获得表彰的学生的最低分数线为95分.

(3)这100名学生成绩不低于80分的频率为(m+2m)X10=0.6,

由题意，可知X〜B(20,0.6),

故。(X)=20x0.6X(1-0.6)=4.8.

5.(2022春・重庆荣昌•高二重庆市荣昌永荣中学校校考期末)某学校高三年级有400名学生参加某项体育

测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分

成7组：［30,40),［40,50),…［90,100］,整理得到如下频率分布直方图：

⑴若规定小于60分为“不及格〃，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；

⑵若规定分数在［80,90)为"良好”，［90,100］为“优秀".用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该

项测试分数为"良好"或"优秀〃的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)0.1

⑵分布列见解析，期望为09

【分析】(1)由表可用1减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.

(2)设样本中“良好〃或“优秀〃为事件8,则P(B)=0.2+0.1=0.3,根据二项分布列出频率分布列，计算数学期

望.

【详解】(1)设"不及格"为事件A,则“及格”为事件彳

回P(4)=1-P(A)=1-(0.24-0.4+0.2+0.1)=0.1,

故该学生不及格的概率为0.1.

(2)设“样本中"良好"或"优秀”为事件8,则P(B)=0.2+0.1=0.3

依题意可知：X〜2(3,63)

P(X=0)=0.73=0.343,P(X=1)=C|X0.31x0.72=0.441,

P(X=2)=C|x0.32x0.71=0.189,P(X=3)=0.33=0.027,

所以,X的分布列为

X0123

P0.3430.4410.1890.027

E(X)=np=3x0.3=0.9

6.（2023春•四川成都•高三成都七中校考开学考试）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行〃愈发被人

们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高.某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐

饮情况进行了问卷调查.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决

组别分组频数频率.

第1组[50,60)140.14

第2组[60,70)m

第3组[70,80)360.36

第4组[80,90)0.16

第5组[90,100)4n

合计

（1）求ni,n,x,y的值；

⑵若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取

3人，记其中“美食客”的人数为f,求f的分布列和数学期望.

【答案】（l）m=30,n=0.04.x=0.03,y=0.004

⑵分布列见解析，数学期望为：

【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图的定义列式求解即可.

（2）f服从二项分布，即可根据公式求二项分布概率公式及期望公式求得结果.

【详解】（1）由题意可得第四组的人数为100X0.16=16,

所以比=1。。-14-36-16-4=3。，n=^=0.04,

又[60,70）内的频率为喘=0.3,所以u=署=0.03,

[90,100）内的频率为0.04,所以¥=黑=0.004.

（2）由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为0.16+0.04-0.2,

由题意f可取0,1,2,3,且f〜

所以P（f=0）=C暄常噫，P（f=l）=洸）常喑

P3=洸）2（卉急P（­）=洸）谭=击,

所以f的分布列为:

0123

6448121

P

125125125125

7.（2023•河南郑州•统考一模）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如

果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分

出胜负，则进入“点球大战点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个

数多者胜；②如果在踢满5球前，一队送球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：

第4轮结束时，双方进球数比2:0,则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突

然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮.直

到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟

（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负.设甲队每名球员射进的概率为（乙队每名球员

射进的概率为a每轮点球结果互不影响.

⑴设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望；

⑵若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率.

【答案】⑴分布列见解析，F(X)=1

联

【分析】(1)由题意知X〜8(5*),由二项分布求出X的分布列与期望；

(2)由题意知甲乙两队比分为1：4或2：4,求出相应的概率再相加即可.

【详解】(1)由题意知，X~8(5，)，X可能的取值为0,1,2,3,4,5.

P(X=0)=@5=Mp(x=l)=玛与=*

P(X=2)=Cj(l)5=12=A,p(x=3)=C统)5=2=1,p(x=4)=C心5=+p(x=5)=针=专.

(2)设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出〃为事件4,

由题意知，甲乙两队比分为1：4或2：4,设“甲乙两队比分为1：4〃为事件“甲乙两队比分为2：4〃为

事件为，

若甲乙两队比分为1：4,则乙射进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，P(^)=CK|)4-(|)4=^

若甲乙两队比分为2：4,则乙射进4次，甲前四次射进两次，P(A2)=C泊*•(§4=弟

所以P(A)=P(&)+P(<2)=^+^=5-

即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为

8.(2023・全国•高二专题练习)近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某

城市推出了两套方案，并分别在A,B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立

宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讦解分类垃圾桶的使用方式，

垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别

设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可■以通过设备进行自动登录、自

动称重、自动积分等一系列操作.建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，

激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一段时间试行之后，在这两个

小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分)，将数

据分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图:

⑴请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居

民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表)：

⑵估计4小区满意度得分的第80百分位数；

⑶以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞

成推行此方案.现从8小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数

学期望.

【答案】⑴方案一，二的满意度平均得分分别为72.6,76.5,且方案二的措施更受居民欢迎；

(2)第80百分位数为85分；

⑶分布列见解析，4.

【分析】(1)由频率分布直方图计算平均数即可；

(2)根据百分位数的计算方法进行计算即可；

(3)由题意可得X满足二项分布，然后进行求解分布列和期望.

【详解】(1)设A小区方案一的满意度平均分为社

则M=(45x0.006+55X0.014+65X0.018+75X0.032+85X0.020+95X0.010)X10=72.6,

设B小区方案二的满意度平均分为区

则歹=(45x0.005+55X0.005+65x0.010+75x0.040+85x0.030+95x0.010)x10=76.5,

因为72.6<76.5,

所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎：

(2)因为前4组的频率之和为0.06+0.14+0.18+0.32=0.7<0.8,

前5组的频率之和为0.06+0.144-0.18+0.32+0.2=0.9>0.8,

所以第80百分位数在第5组，

设第80百分位数为彳，贝1」0.7+(工-80)x0.020=0.8,解得％=85,

所以4小区满意度得分的第80百分位数为85分；

(3)由题意可知方案二中,满意度不低于70分的频率为(0.0404-0.030+0.010)X10=0.8,低于70分的

频率为(0.005+0.005+0.010)x10=0.2,

现从8小区内随机抽取5个人，则X〜8(5,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,

P(x=。)=C2甘=盛，P(x=1)=C”.Q)4=短

P(X=2)=啕2(卉急p(x=3)=洸)飞)J掾

P(X=4)=玳)4.「券P(X=5)=洸)、黑，

所以X的分布列为

X012345

14321282561024

P

31256256256256253125

由二项分布知数学期望E(X)=5x3=4.

【考点2：服从二项分布的随机变量概率最大问题】

【知识点：服从二项分布的随机变量概率最大问题】

1.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知随机变量从二项分布B(1001,3,则()

1001

A.P(X=k)=Cf001Q)B.P(X<301)=P(X>701)

C.P(X>E(X))>\D.P(X=k)最大时A=500或501

【答案】AD

【分析】结合二项分布的性质，逐项计算，即可得到本题答案.

Zf\k/4\1001-k\1001

【详解】对A,P(X=/C)=CJOOI(1)(1-1)=CjooiQ)，所以A对;

对B,因为P(X<301)=2^P(X=k),P(X>700)=Sii%oP(X=k)且哈0】=C挪产,

所以P(X«301)=P(XN700),所以B借：

对C,因为E(X)=np=1001xi=500.5,

所以P(X>E(X))=P(X>500.5)=2黑)iP(X=k)=点所以C错；

1OO1

对D,因为P(X=A)=C，oo/i1XC)，由组合数的性质得，P(X=A)最大时k=500或501,所以D对.

故选：AD

2.(2023・高二课时练习)某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率p=0.3,且每头成年牛是否

感染H型疾病相互独立.设10头成年牛中恰有A头感染H型疾病的概率是g(k),当k为何值时，g(k)有最大

值？

【答案】k=3

【分析】首先得出概率通式是g(k)=CfoPk(l-=0,1,2,-,10),计算阴；=1+芸3则当k=3

时，g(k)有最大值.

【详解】10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率是

k

g(k)=C?0P(l-P?°f(k=0,1,2,-,10),其中p=0.3.

用为0(幻二CfopkCl-pTO-k=C4p=10!(〃-1)!(11-幻！p_11-fcp_3.3-0,3/C_3.3-k所

依Rgik-1)一而-C片i(l-p)-k!(10-k)!,10!,1-p'k'1-p-0.7k-0.7k'川

以

当3.3—k>0,即A<3.3(k>1,且kGN)时，1,得g(k)>g(k—1)；

当3.3—上<0,即k>3.3(k<10,且k£N)时，怒巳<1,得g(k)vg(k—1).

于是g(0)<g(l)Vg(2)Vg(3)>g(4)〉〉g(10)，所以当k=3时，g(A)有最大值.

3.(2023春・广东•高三统考开学考试)2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区

政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含4B，C,D,E,r六个旅游

项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响.

⑴求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目A的概率；

(2)记X为这四个人中选择项目A的人数，求X的分布列及数学期望；

⑶如臭将甲、乙、丙、丁四个人改为n个人(九>4),其他要求相同，问：这兀个人中选择项目A的人数最有

可能是多少人？

【答案】（瑞

⑵分布列见解析，数学期望为9

⑶答案见解析.

【分析】（1）由题得到每个人选择项目力的概率，即可求解；

（2）根据题意可得到X服从二项分布：X〜8（4彳），即可求其分布列和期望：

（）设选择项的人数最有可能为人，则通过［学：£上氏U可得—WkW早,

3FMkR然后分n被

3除余2,九被3除余1和n能整除3,三种情况进行讨论

【详解】（1）由题意可知，每个人选择项目4的概率为叁=；,则每个人不选择项目4的概率为

故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择项目4的概率为1-d）4=襄

\3/81

（2）由（1）可知，每个人选择项目A的概率为叁=；,且每个人是否选择项目A相互独立，

3

故X服从二项分布：X〜8（4彳），

所以P（X=k）=dQ）k（1-Ji（k=0,1,234）,

P（x=0）=（I）4得,P（X=D=CJ（1）1（1-ff=言

P（X=2）=C"J（l*y=髀品。-3）=量以（1勺/P（X=4）=（1）4=-

则x的概率分布列为：

X0124

163281

p

81812781

.•.》的数学期望/（*）=4乂：=：

（3）设选择项目A的人数最有可能为k人,

P(X=k)>P(X=k+1)

P(X=k)>P(X=k-1)

“八正第以（旷，用,

nn

&2M>Ct+12-kT

2第>cj+1

即

..C*-2nl-fc瑞-1・2所卜+1，&>2c厂’

3n

'2n!n!

如-(k+l)!(n-k-l)!即[2(A+1)>n-

In!>2n!*<n-k+l>2k'

LK!(n-R)!—(R-l)!(n-K+l)!

解得等WkW等，

又♦:kWN,

所以当n=3m+2,m€N+时，则不等式为mWkWm+1,

则当攵=由或上=771+1,即当n被3除余2时，选择项目A的人数最有可能是詈人和等人；

当n=3m+1,meN+且m>2时，则不等式为m-1<k<m+1,

则k=m,即当几被3除余1时，选择项目A的人数最有可能是当人；

当n=3m,血£八+且?71之2时，则不等式为m—|WkWm+[,

k=m,即当n被3整除时，选择项目A的人数最有可能是人.

4.(2023春・广东揭阳•高三校考开学考试:某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布X〜N(10,0.25)(单

位：mm).

⑴现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在(8.5,11.5)之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定

生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.(己知：P(〃-3。<X<〃+3a)=

0.9973,0.997315=0.9603)

⑵若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？

【答案】⑴见解析；

(2)0.

【分析】(1)P(8.5<X<11.5)=0.9973,故至少有1个次品的概率为1一0.9973】5、0.0397,根据小概

率事件说明即可；

(2)次品的概率为1-09973=00027,设次品数为匕则丫〜8(100,p),其中p=0.0027,设次品数最可能

CjooPk(l-P)lo°-fc工钎就「卜1(1一2)1。1-k

是k件，则，求解即可.

cWd-p)100-kNC镐pk+l(i-p)99T

【详解】(1)因为X~N(10,0.52),所以P(8.5VXV11.5)=0.9973,

所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为1一0.99731s*0.0397,

如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为0.0397,该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况,

就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.

(2)次品的概率为1-0.9973=0.0027,

抽取100个零件进一步检测，设次品数为y,则丫〜8(100,p),其中p=0.0027,

故P(y=k)=CjooP^l-p)i。。士

设次品数最可能是k件，

川[C，ooP<l—p)】oof>CjoJp^d-P)101-k

ICfooPk(l-P)，0°-k>瑞pE(l-P)99T'

f_122L_.>_1221(i-

gIfc!(100-k)!pK~p)

[K31|100!，[_、100!，

(fc!:100-k)!，(-P)-(fc+i)!(99-fc)!"P

(「上乙

即Ji-p101~p，解得101P-l<k<101p(keN)

(100-k-k+1

因为p=0.0027,所以lOlp=0.2727,101p-1=-0.7273,故k=0.

故这100个零件中的次品数最可能是0.

5.(2023秋・广东•高二校联考期末)某次射击比赛过关规定：每位参赛者最多有两次射击机会，第一次射

击击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得4分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标,

立即停止射击，比赛过关，得3分；若未击中靶标，比赛未能过关，得2分.现有12人参加该射击比赛，

假设每人两次射击击中靶标的概率分别为“0.5,每人过关的概率为p.

(1)求p(用机表示)；

⑵设这12人中恰有9人通过射击比赛过关的概率为/(p),求/(p)取最大时〃和用的值；

⑶在(2)的结果下，求这12人通过射击比赛过关所得总分的平均数.

【答案】(l)p=0.5+0.5m

(2)p=0.75,m=0.5

⑶39

【分析】(1)利用对立事件概率的计算公式，用相互独立事件概率的计算公式能求出每位大学生射击测试过

关的概率.⑵求出/XP)=舞2P9(1-p)3,(0<p<1),通过求导可求得取到最大值时的p,m的值.⑶利用第二

问的结论，设一位大学生射击测试过关所得分数为随机变量X,X的可能取值为4,3,2,分别求出每一个随机

变量的概率，由此可求得12个人通过射击过关所得分数的平均分.

【详解】(1)每位大学生射击过关的概率为：

p=1—(1—m)(l—0.5)=0.54-0.5m.

832

⑵f(p)=C72P义1-p)3,(0<p<1),f(p)=C?2[9p(l-p)-3P-p)2]=3cAp8(1-P)(3-

4p),令尸(p)=0,则p=1或p=0.75,因为0<p<l,所以p=0.75.令尸(p)>0,0<p<0,75,令尸(p)<

0,0.75<p<1,所以/'(p)在(0,0.75)上单周递增，在(0.75,1)上单调递减.所以当p=0.75时，/(p)max=

/(0.75),此时0.5+0.5m=0.75,解得m=0.5.所以当/(p)取最大时p和m的值分别为0.75,0.5.

(3)设一位大学生射击过关测试所得分数为随机变量X,则X的可能取值为4,3,2,贝如(丫=4)=0.5,p(X=

3)=(1-0.5)x0.5=0.25,p(X=2)=(1-0.5)x(1-0.5)=0.25,所以每位大学生测试过关所得分数

的平均分为：E(X)=4x0.5+3x0.25+2x0.25=3.25.所以这12人通过射击过关测试所得分数的平均

分为：12x3.25=39.

【考点3：超几何分布的概率、均值与方差】

【知识点：超几何分布的概率、均值与方差】

一般地，在含有"件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则

P（X=A）=隼衿,k=0,l,2,…,m,

即

X01•••m

•••

PCA/CA/-A/

玛G

其中加二*"〃，〃},且nJN,M4N,it,M,NwN*。

如果随机变量X的分布列具有上表形式，则称随机变量X服从超几何分布。在超几何分布模型中，“任

取〃件”是指“每次取一件不放回，共取〃件”，如果有放回的取则为〃次独立重复试验，随机变量服从

二项分布。

［方法技巧］求超几何分布的分布列的步骤

验证随机变量服从超几何分布，并确定参数

第一步一

N,M,n的值

根据超几何分布的概率计算公式计算出随机

第二步一

变量取每一个值时的概率

|第三步|一；用表格的形式列出分布列

1.(2022春•河南三门峡•高二校考阶段练习)数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要

解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概里是()

A-IB.-0ID-i

【答案】D

【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得.

【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是:

P(X之2)=P(X=2)+P(X=3)=等十好=：.

故选：D.

2.(2022春•山西吕梁•高二校联考期中)已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为f,P(f=1)=

够P&=2)=白，则下列说法正确的是()

4545

A.这10件产品的次品率为20%B.次品数为8件

C.E(f)=0.4D.D(f)=黑

【答案】ACD

【分析】假设次品为九件，由P(f=1)=於求得次品九及次品率，再分别求的％),即可得出结果.

【详解】假设10件产品中存在次品为n件，从中抽取2件，

«

=16一P(f=1)==竺

p(451尊。45n=2,则次品数为2件，B错误;

8-1zi

(f

2)45p(1=2)二*

Mo33

这10件产品的次品率为100%=20%,A正确；

10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为f,则f的可能取值为0,1,2,

P(f=0)=1-P(f=1)-P(f=2)=1一去二普

则E(f)=0x—+lx—+2x—=0.4,C正确；

454545

。⑷二(0—0.4)2X工+(1-0.4)2X郎+(2-0.4)2吟=黑,D正确.

故选：ACD.

3.(2022春・江苏苏州•高二苏州中学校考期中)在一个袋中装有质地大小一年的6个黑球，4个白球，现

从中任取4个小球，设取出的4个小球中黑球的个数为X,则下列结论正确的是()

A.随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,5,6B.随机变量X服从超几何分布

C.P(X=0)=P(X=4)D.D(X)=

【答案】BD

【分析】根据题意知随机变量X服从超几何分，利用超几何分布的性质，再结合离散型随机变量的方差公

式即可求解.

【详解】根据超几何分布的定义知，随机变量X服从超几何分布，故B正确：

由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,故A不正确;

P(X=0)T=a；P(X=I)=器七;P(X=2)=器咛

P(X=3)=翳点P(X=4)=寻=4

所以P(X=0)HP(X=4),故C不正确；

E(X)=0x士+1X2+2X升3X.+4X卷/•

/冷=(°-£)2*击+(1-||)2><盘+(2-£)2*5+(3-羡)2,5+(4-£)2*《=荔

故选：BD.

4.(2023・全国•高二专题练习)某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个

球，已知恰全为黑球的概率为总，若记取出3个球中黑球的个数为X,则O［X］=_.

【答案】蔡

【分析】黑球的个数为n,通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为击，求出n,然后求解记取出3

个球中黑球的个数为X,的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可.

【详解】解：设黑球的个数为人由p=^f=9导/=3,

5io

记取出3个球中黑球的个数为X,X的取值可以为1,2,3；

P(X=1)=等=奈P(X=2)=萼=W，P(X=3)=警=q,

VgAUL5AV□L5AV

则x分布列如下：

则。因=-'(1一1+松(2—丁+《、(3-32=*

故答案为：套

5.(2023・全国•高三专题练习)某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为

100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究.现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一组

［0,20),3份;第二组［20,40),8份；第三组［40,60)；第四组［60,80)；第五组［80,100),4份；已知其中得

分高于60分的问卷份数为20.

⑴在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率：

⑵如昊在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X,写出X的分布列（结果只要求用

组合数表示），并求出期望E（X）.

【答案】（噫；

⑵分布列见解析，*

【分析】（1）由题意可得第四组有16份问卷，所取两份问卷分差不低于20分，故在第二组与第四组中各

取一人，由古典概型的计算公式即可求解；

（2）随机变量X取值为0,1,2,3,4,求出各变量对应的概率，即可得到分布列与期望.

【详解】（1）由于成绩在［80,100］的问卷为4份，又得分高于60分的问卷份数为20,

故第囚组有16份问卷.

由于所取两份问卷分差不低于20分，故由题意知是在第二组与第四组中各取一人，

故所求概率为「二警=冷

（2）由题意知随机变量X取值为0,1,2,3,4.

「4p0r3plr2p2

P（X=0）=.2。,p（x=1）=.2。,p（x=2）=20,

P(X=3)=^KP(X=4)=

C50C50

X的分布列为：

X01234

「4「0

C(oC(oC〈QC(C璃00

PW50^20

哈匾黑0Cfob50

所以期望E(X)=0x挈+lx^?^+2x挈+3x耍+4x挈="

C50C50C50C50C50§

6.（2023•江西上饶•统考一模）为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查.下

面是根据调杳结果绘制的学生每天平均运动时间的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的

学生称为"运动族".

▲频率/组距

⑴用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”的概率;

⑵从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在40-50分钟之间的

学生数，求X的分布列及期望.

【答案】磅

(2)分布列见详解，期望为1.6

【分析】(1)由频率分布直方图先求出Q，再根据条件概率求出该学生是“运动族〃的概率；

(2)样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40-50分钟学生为20人，根据超几何分布写出其的分布

列及数学期望即可.

【详解】(1)由频率分布直方图可知，10x(0.01+0.018+0.022+0.025+0.020+a)=1,解得a=0.005.

设某学生每天平均运动时间不低于20分钟事件4PG4)=0.72；

该学生是"运动族"为事件B，P(AB)=0.25,

所以该学生每天平均运动时间不低于20分钟的条件下是“运动族”的概率P(B|A)=鬻=辫=?

(2)由题意可知，样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40-50分钟学生为20人，

所以X=0,1,2.

P(X=0)=寻，;P(X=1)=譬=/「(乂=2)=唐=弟

X的分布列为

X012

1119

P

30