2022届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷一（学生版+解析版）

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷一

学校:姓名：班级：考号:

题号―•二三四总分

得分

注意：本试卷包含I、II两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡

中相应的位置。第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试

卷上均无效，不予记分。

笫I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知全集。=氏，集合A={x|-2vx<3},8={x|xvl},则叫Q/)=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|1<x<3}

C.(x|l„x<3}D.UU,-2)

复数z=T+®，］为z的共枕复数,

2.已知i是虚数单位,则三=()

2z

A."B.*iczD.」+刍

22-4-f

3.已知三棱柱ABC-4与G的所有棱长均相等，侧棱AA，平

面ABC过4用作平面。与BG平行，设平面。与平面

ACGA的交线为/,记直线/与直线AB,BC,CA所成锐角

分别为a,P，/,则这三个角的大小关系为（）

A.a>y>PB.a-p>yC.y>(3>aD.a>p=y

4.设曲线y=/®（e=2.718…为自然对数的底数）在点（0,1）处的切线及直线

2x—y—1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则a=（）

A.—1B.—C.—D.1

44

22

rv

5.已知尸।,B分别是双曲线C：—^一二=1(々>。,匕>0)的左、右焦点，点户是双

ab

曲线C上在第一象限内的一点，若sinN尸56=3sinN尸耳鸟，则双曲线C的离

心率的取值范围为()

A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+oo)D.(2,3)

6.甲、乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲、乙两人

轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜.若甲先抓取，

为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为()

A.1B.2C.3D.4

111

7.已知函数/(幻=一(，+""),记。=/(2*),Z?=/(log7-),c=/U),则小

b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC,b<c<aD.b<a<c

8.已知小b是两条相交直线，直线。分别与直线a,b异面，直线。上取4个不同的

点，直线〃上取3个不同的点，直线。上取2个不同的点，由这9个不同点所能确

定的不同平面个数最多是()

A.36B.24C.12D.11

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

9.下列说法中正确的是()

A.设随机变量X服从二项分布8(6」)，则P(X=2)=2

216

B.已知随机变量X服从正态分布NR,/)且P(Xv4)=0.9,贝ij

P(0<X<2)=0.4

C.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A="4

0

个人去的景点互不相同"，事件3="小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=]

D.E(2X+3)=2E(X)十3,D(2X+3)=2D(X)+3

10.已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，若这组数据丢失了其中的

一个，剩下的六个数据分别是2,2,4,2,5,10,则丢失的这个数据可能是（）

A.-11B.3C.9D.17

1I.函数/（此=25访（3+0）（0>0,|0|〈乃）的部分图象如图所示，则下列结论正确

的是（）

2

B.若把/（x）图像上所有点的横坐标缩短为原来的:倍，纵坐标不变，得到的函

数在［-二，生］上是增函数

33

C.若把函数/（X）的图像向左平移巴TT个单位，则所得函数是奇函数

D.若/（3x）+aJ（1）恒成立，则。的范围为［6+2,+8）

12.已知正方形A8CD的边长为2,将aACD沿4c翻折到△ACO的位置，得到四面

体D-ABC,在翻折过程中，点。始终位于△4BC所在平面的同一侧，且皿的

最小值为&，则下列结论正确的是（）

A.四面体的外接球的表面积为8〃

B.四面体。-48C体积的最大值为g

3

c.点。的运动轨迹的长度为2号

D.边AD旋转所形成的曲面的面积为宏互

3

第II卷（非选择题）

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列｛%,｝的前〃项和为S“，%=7,$3=21,则公比g=.

14.已知函数/(x)满足以下条件：①在/?上单调递增；②对任意％,x2,均有

/&)•/(£)=4/(%+x2),则f｛x｝的一个解析式为.

15.已知平面向量入b,^是单位向量，且鼠5=0,则|1一1一5|的最大值为.

16.平面凸四边形A6C£＞中，ZA=60°,ZB=105。，AB=g4i,AD=2叵,

CO=Z。为常数)，若满足上述条件的平面凸四边形ABC。有且只有2个，则,的

取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

4x/3

17.在①b+c=5,②c=」一，C=75°,这三个条件中任选一个，补充在下面的

3

问题(II)中，并完成问题的解答.

A

已知.ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,bcos—=asinB.

2

⑴求A：

(H)若,求△A5C的面积.

18.已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S〃，q=l,

4=底+7^7(〃£N*An..2).

(1)求证；数列｛£"｝是等差数列，并求｛%｝的通项公式；

(2)若口]表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2,[2.1]=2,求证:

r111.

19.在一次联考中某两校共有3000名学生参加，成绩的频率分布直方图如图所示：

(1)求在本次考试中成绩处于［110,130)内的学生人数.

(2)以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况，现从全省考生中随机选取3人,

记成绩在110分(包含110)以上的考生人数为X,求X的分布列和数学期望.

20.如图，在四棱锥尸一A5CD中，。是3。的中点,

尸OJ■平面ABO),48=90°,

AD=AC=CD=2y/3,DP=yfb.

(1)求证：平面4)夕_1_平面42(7；

(2)设两=4斤(Ov/lvl),若二面角5—DM—P的余弦值为讲，求4的值.

21.已知圆。|：。+1)2+丁=8上有一动点。，点。2的坐标为(1,0),四边形QO0/

为平行四边形，线段。酒的垂直平分线交。2宠于点P.

(I)求点P的轨迹C的方程；

(II)过点。2作直线与曲线。交于4,B两点，点K的坐标为(2,1),直线必，KB

与y轴分别交于M,N两点，求证：线段MN的中点为定点，尹求出AKVW面积的

最大值.

22.已知函数/(x)=lnx+--1.

x

(1)若曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线的斜率为-1,求实数a的值；

(2)讨论/(x)的单调区间：

Y—C1

(3)设函数----,求证：当Ova<l时，g(x)在(1,行)上存在极小值.

Inx

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2022年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷一

学校:姓名：班级：考号:

题号―•二三四总分

得分

注意：本试卷包含I、II两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡

中相应的位置。第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试

卷上均无效，不予记分。

笫I卷(选择题)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知全集。=R，集合A="|-2<xv3),B={x|xvl},则A0|@B)=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|l<x<3)

C.{x|l„x<3}D.{x\x,,-2}

【答案】C

【解析】解：=.•©3={幻工.1},

.•.明@8)={工［-2<%<3}门{工1喇="|1xv3}.

故选：C.

先求集合5的补集，再求交集即可.

本题考查了集合的运算，属于基础题.

2.已知i是虚数单位，复数z=_l+",；为2的共挽狂数，则三=()

2z

Al^x/3.R1x/3.「16.n1V3.

22222222

【答案】D

【解析】解：・.・Z=±色，.•"=土叵，

22

.z_2回2

■-Z--\+®~-1+V3Z-(-1-商(-1+商

2

-2+2x/3/16

=--------=----1---z.

422

故选：D.

根据已知条件，结合共挽复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.

本题考查了共轨复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

3.己知三棱柱ABC-A4G的所有棱长均相等，侧棱A4,J■平

面ABC.过A4作平面a与平行，设平面a与平面

ACGA的交线为人记直线/与直线AB,BC,CA所成锐角

分别为a，尸，/,则这三个角的大小关系为()

A.a>y>PB.a=C.y>P>aD.a>B=y

【答案】B

【解析】

解：由图可知AO"/5G，

即BC]〃面ABR,即面a为面AB}D1,

又a。面ACGA=AE，

设AC=2,。为AC的中点，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,-1,0),E(0,0,2)，3(1,0,0)，C(0,l,0)，

则衣=(0,1,2),AB=(1,1,0),BC=(-1,1,0),AC=(0,2,0),

设直线AE与直线43,BC,AC所成角分别为a,B、Y，

AEAB,MAEBCtViO

则cosa■1=-------C-OSP=1

\AE\\AB\10\AE\\BC\10\AE\\AC\5

所以cosa=cos^<cos/,

所以a=4>y,

故选：B.

由线面平行的判定、两平面的交线及利用空间向量数量积求异面直线所成的角得：由图

可知即8G〃面A8Q］，即面a为面A片。「

又面ACGA=AE,设AC=2,。为AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标

系，则A(O,-1,O),E(0,0,2),6(1,0,0)，C(0,l,0)，则荏=(0,1,2),AB=(1,1,0),

BC=(-1,1,0),*=(0,2,0),设直线4E与直线AB,BCA。所戊角分别为a,0,

AEABx/10AEBCAEAC,x/5

7,则cosa=|COS夕=1cosy=|-^=—^=-=~-

\AE\\ABi10I荏IImI\AE\\AC\5

所以cosa=cos£<cosy,所以a=〃>y,得解.

本题考查线面平行的判定、两平面的交线及利用空间向量数量积求异面直线所成的角,

属中档题.

4.设曲线y=e2ta(e=2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线

2%一丁一1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则〃=()

A.-1B.-C.-D.1

44

【答案】B

【解析】解：y=的导数为y，=%,

可得在点(0,1)处的切线的斜率为左二为，

由于切线及直线2工-、-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，

可得切线与直线2x-y-l=0垂直，

所以2k=—1,即4a=—1,

解得a=-‘.

4

故选：B.

求得丁=/"的导数，可得切线的斜率，由题意可得切线与直线2x-y—l=0垂直，结

合两直线垂直的条件，可得。的方程，解方程可得。的值.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能

力，属于基础题.

X2y2

5.已知月，旦分别是双曲线。：/一6=13>0/〉0)的左、右焦点，点尸是双

曲线C上在第一象限内的一点，若sinNPgK=3sinNP^K，则双曲线。的离

心率的取值范围为()

A.(1,2)B.(1,3)C.(3收)D.(2,3)

【答案】A

【解析】解：因为sinNP6丹=3sinNPf；E,在6中，由正弦定理可得：

\PF}\=3\PF2\.

由双曲线的定义可得|PFi\-\PF2\=2a,

所以可得|尸乙|二a,|出"二3〃，

由三角形的两边之和大于第三边及两边之差小于第三边可知：3ci-a<2c<3a+a,

即avcvZz,所以可得lvev2,

故选：A.

三角形中由正弦定理可得：|尸£|与|沙|的关系，再由双曲线的定义可得：|尸耳

IPF21的值，由三角形的性质三角形的两边之和大于第三边及两边之差小于第三边可得

a,c的美系，进而求出离心率的范围.

本题考查三角形的正弦定理的应用即双曲线的定义的应用，属于中档题.

6.甲、乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲、乙两人

轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜.若甲先抓取，

为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】解：因为每人每次至少抓取1个，最多抓取4个，

所以当两人所拿的和为5时,有14+(1+4)-2…4.

则甲第•次应该抓4个玻璃球，后面只要满足甲拿的球与乙拿的球和为5,则甲一定获

胜.

故选：D.

由14+(1+4)=2…4,分析判断即可得到答案.

本题考查了概率的基础概念的理解和应用，属于基础题.

111

7.已知函数/(©=/(，+«-"),记a=f(2*),h=/(log^-),c=f(/r)>则a,b,

c的大小关系为()

A.a<h<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】解：根据题意，函数的定义域为H,且/(「¥)=/。)，则为偶函

数，

xx

v/(x)=l(^+^),:.f\X)=^e-e),

当x>0时，r(x)>0,则函数f(x)单调递增，

•/20<2^<2,,/.1<27<2,

</0<llog^1|=|logT2|<l，

-1

/.4>2">|log^—1>0»

:.c>a>b

故选：D.

先判断函数奇偶性和单调性，再计算可得笈>2+>|log*；|>0,即可求解.

本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，涉及对数的计算，属于中档题.

8.已知a,6是两条相交直线，直线c分别与直线a,b异面，直线。上取4个不同的

点，直线b上取3个不同的点，直线c上取2个不同的点，由这9个不同点所能确

定的不同平面个数最多是()

A.36B.24C.12D.11

【答案】A

【解析】解：根据题意，不共线的三点确定一个平面，由此分5种情况讨论：

①直线。上选出2个点，直线〃或b上选出1个点，最多可以确定3+4=7个平面,

②直线。上选2点，直线c上选1点，可以确定2个平面，

③直线人上选2点，直线c上选1点，可以确定2个平面，

④直线，、b上各选1个点，直线c上选1个点，最多有4x3x2=24个平面，

⑤直线a、b确定一个平面，

故最多可以确定7+2+2+24+1=36,

故选：A

根据题意，平面的基本性质，据此分5种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，注意平面的基本性质，属于基础

题.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。

9.下列说法中正确的是()

A.设随机变量X服从二项分布8(6,；),则尸。=2)=磊

B.已知随机变量X服从正态分布N(2,/)且尸(Xv4)=0.9,则

P(0<X<2)=0.4

C.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件"4

个人去的景点互不相同"，事件8="小赵独自去一个景点”，则尸(A|B)=2

D.E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3

【答案】BC

【解析】解：对于4：随机变量X服从二项分布5(6」)，则尸(X=2)=屐(34d产=2，

22264

故A错误；

对于&随机变量X服从正态分布N(2,")且尸(Xv4)=0.9,贝J

P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.9-0.5=0.4,故B正确；

对于C：事件A="4个人去的景点互不相同"，事件5="小赵独自去一个景点”，

则P(A8)=乎，尸(8)=与'，所以P(A|B)=隼鲁=|,故C正确；

对于。：石(2X+3)=2E(X)+3,ZX2X+3)=4D(X),故。错误.

故选：BC.

直接利用二项分布，条件概率的应用，排列数和组合数，正态分布的应用判断A、8、C、

。的结论.

本题考查的知识要点：二项分布，条件概率的应用，排列数和组合数，正态分布的应用，

主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

10.已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，若这组数据丢失了其中的

一个，剩下的六个数据分别是2,2,4,2,5,10,则丢失的这个数据可能是（）

A.-11B.3C.9D.17

【答案】ABD

【解析】解：设丢失的这个数据为小由题意可得，众数为2,平均数为空卫，

7

①当@2时，这列数位小2,2,2,4,5,10,则中位数为2,

所以至士g,2,2,成等差数列，贝IJ生土3=2,解得。符合题意；

77

②当2va<4时，这列数位2,2,2,a,4,5,10,则中位数为“，

所以空0,如2成等差数列，则加=空吆+2,解得。=3,符合题意；

77

③当a.4时，这列数为2,2,,2,4,m,5,10,则中位数为乙，

所以空4,2成等差数列，则有2乂4=竺±q+2,解得。=17,符合题意.

77

故选：ABD.

设丢失的这个数据为小先求出众数和平均数，然后分别求出当出2,当2vav4,

当a.4情况下的中位数，由等差中项的定义求解即可.

本题考查了特征数的理解和应用，涉及了等差中项定义的运用，解题的关键是掌握众数、

中位数、平均数的定义以及求解方法，属于基础题.

11.函数/（x）=2sin（3r+0）（0>O,|0|v;r）的部分图象如图所示，则下列结论正确

的是（）

2

B.若把，(x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的§倍，纵坐标不变，得到的函

数在［一4,也］上是增函数

33

C.若把函数/(")的图像向左平移］71个单位，则所得函数是奇函数

D.VXG［--,-］,若/(3x)+aJ(守恒成立，则々的范围为回2,+8)

由于：|°|v4，

解得：0=-5.故人错误；

故函数的解析式为：f(x)=2sin(-x-—).

36

2

对于B：把f(x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的§倍，纵坐标不变，所以函数的

解析式为g(x)=2sin(L-马；

令：一至+2女超4x—三2k兀+又kwZ),整理得：一二+4&赭*4Z:^+—(A:GZ)>

226233

当％=°时'函数的单调增区间为［一笄,与卜故B正确;

对于C：若把函数f(x)的图像向左平移,个单位，得至ij/z(x)=2sin4x,则所得函数是

23

奇函数，故C正确；

对于£>：由于/(四)=G，VAG/(3x)+〃../(/)恒成立,

2332

故2sin(x—三)+a,在工£[,一]怛成立,

633

当x一尖号令时’.E

即a.h/5-2sin(x-?)]1rax=0-2乂(-1)=，5+2,故4的范围为［6+2,+8),故。止确;

故选：BCD.

直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用和函数的

图象的平移变换和函数的恒成立问题的应用判断4、8、C、。的结论.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的求法，三角函数的图象的平移变换，函数的

恒成立问题，三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

12.已知正方形A5a＞的边长为2,将△ACD沿4c翻折到“S的位置，得到四面

体。-ABC,在翻折过程中，点。始终位于所在平面的同一侧，且的

最小值为血，则卜列结论止确的是()

A.四面体。-ABC的外接球的表面积为8乃

B.四面体Z7-ABC体积的最大值为必

3

c.点。的运动轨迹的长度为其友

3

D.边A。旋转所形成的曲面的面积为名后

3

【答案】ACD

tr

【解析】解：对于4因为NA5C=90°,ZADC=90°.

所以AC中点即为四面体D-ABC的外接球的球心，且AC

为球的直径，

故球的半径R=

B

所以S表面枳=4乃a=4乃（夜）2=8万,

故选项A正确；

对于8,当平面A£TC_L平面45c时、四面体。-A8c的体积最大，此时高为友,

所以（％_八网）的=；x；x2x2x拉.

故选项B错误；

对于C,设正方形A8CD对角线4c与BO交于点0,

由题意，翻折后当吕〃的最小值为时，△88是边长为的等边三角形，此时

^DOB=-，

3

所以点。的运动轨迹是以。为圆心，夜为半径，圆心角为二的圆弧，

3

则点D的运动轨迹的长度为空xa=汉互，

33

故选项C正确；

对于O,结合选项C的分析可知，边旋转所形成的曲面是：以A为顶点,底面圆是

以。为圆心，也为半径的圆锥的侧面的工，

3

即所求曲面的面积为［笈〃=1x;rxJ5x2=亚生，

333

故选项O正确.

故选：ACD

由条件确定AC为球的直径，由球的表面积公式进行求解，即可判断选项4,当平面

ADC_L平面ABC时，四面体。-A8C的体积最大，求解此时的体积,即可判断选项B,

2乃

确定点。的运动轨迹是以。为圆心，Ji为半径，圆心角为——的圆弧，由弧长公式进

3

行求解，即可判断选项C,先确定边A。旋转所形成的曲面是：以人为顶点，底面圆是

以。为圆心，8=0为半径的圆锥的侧面的;，求解即可判断选项。.

本题考查了空间几何体的综合应用，涉及了空间几何体的体积问题，外接球问题，空间

中动点的轨迹问题，考查了逻辑推理能力，空间想象能力，化简运算能力，属于中档题.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S”，《=7,S3=21,则公比夕=.

【答案】1或」

2

【解析】解：设等比数列｛%｝的公比为q.

,：%=1,S3=21,

当q=l时，4“=%=7,53=21»满足题意；

当4W1时,4（1一炉）/可得%2_4_1=0,

i-q

解得4=一耳.

综上，公比q=l或—.

故答案为：।或一L

2

利用等比数列的通项公式及其前〃项和公式即可得出.

本题主要考查等比数列的通项公式及前〃项和公式，考查分类讨论思想与方程思想，属

于基础题.

14.已知函数/（为满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意％,x2,均有

/（X1）•/（占）=4/（X1+x2）,则/（x）的一个解析式为.

【答案】f（x）=T+2

【解析】

【分析】本题考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考

查了逻辑推理能力，属于基础题.

由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案.

【解答】

解：因为函数/(X)满足对任意X1,X2,均有/(.r,)-f3)=4/(.r,+x2),

故考虑基本初等函数中的指数函数，

又/(X)在R上单调递增，

则指数函数的底数大于1，

所以/(x)的一个解析式为了(幻=22.

故答案为：f(x)=2x+\

15.已知平面向量1,5,乙是单位向量，且无■=(),则-万-臼的最大值为，

【答案】V2+1

【解析】解：由|西=|5|=1,且保出=0,

建立如图所示平面直角坐标系，

再设二=(x,y),Mc-«-5=(x-l,y-l),

.•■^一4一1|="。-1)2+6，-1)2•其几何意义为单位圆上的动点与定点F(l,l)间的距离.

则其最大值为|OP|+1=4+/+]=&+]

故答案为：V2+I.

由题意建立平面直角坐标系，设a=(l,0),5=(0,1),e=(x,y),则

\c-a-b\=yl(x-1)2+(y-1)2,其几何意义为单位圆上的动点与定点尸(1,1)间的距离,

数形结合得答案.

本题考查平面向量数量积的性质及应用，考查向量模的求法，考查数形结合思想，是中

档题.

16.平面凸四边形A8C£>中，ZA=60°,NB=105。，43=〃十四，A£>=2>/5,

8=々为常数），若满足上述条件的平面凸四边形ABC。有且只有2个，贝h的

取值范围是.

【答案】（3,2百）

【解析】解：如下图所示：

在AAB。中：NA=600,AB=娓+五,AD=2&,由余弦定理得，

BONG+扬?+（2扬2_2、（《一扬、2丘；=2"：

小七一…诙俎ADBDnn2&2x/3.八夜

由正弦理得，---------=-------,即---------=―尸-,sinZABD=——，

sinZABDsinZAsinNAB。32

T

ZABD=45°,:.ZADB=7苧、ZDBC=60°.

过点。作。CJLUC,垂足为C',则ZX7-3.

作OB关于OC的对称线段。方，点8'在BC上，则NB£>8=60c,.•.NAD8=135。,

<180°.

/.若满足条件的平面凸四边形ABCD有且只有2个，则，的取值范围是（2,2百）.

故答案为：（2,2石）.

本题通过正余弦定理解三角形ABD,把问题转化到中，可解决此题.

本题考查正余弦定理的应用、数形结合思想，考查数学运算能力，属于较难题.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步睇。

17.在①b+c=5,®c=—rC=75°,这三个条件中任选一个，补充在下面的

3

问题(II)中，并完成问题的解答.

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且。=4,Z?cos—=«sinR

2

⑴求A；

(II)若,求△ABC的面积.

【答案】解：⑴•.,)8s3=asinB,

A

rh正弦定理可得sinBcos—=sinAsinB,

2

AAA

又,.•sinB。。，/.cos—=sinA=2cos—sin—，

222

A1jr

又Ae(0,4),则sin—=一,所以A=一；

223

(H)若选①：由余弦定理得：a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,

]1-^3

:A6=25-3bc,bc-3,S,Rr=—Z?csinA=—x3x^^=----.

△A5c2224

若选②：由余弦定理得：〃2=6+。2_次8sA=〃+更-延力=16,即〃

33

4瓦32n

-----b----=0,

33

解得：人苧，或b=_竽(舍去)，

c1,..18>/34>/3>/385/3

“k223323

若选③：若C=75。，则3=180°-75。-60。=45。，

由正弦定理得：=—可得力=gn45：=生四,

sin60sin45sin603

nr田c1/•「1/4".小—Qg1(4"瓜-叵12+4x/3

可行SA”=-67Z?sinC=—x4x---sin(45+30)=—x4x----x-------=--------.

we2232343

A1

【解析】(I)由正弦定理化简已知等式，结合sinBwO,利用二倍角公式可求sin—=—,

22

结合4的范围即可求解；

(II)若选①由已知利用余弦定理可求he的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

若选②由余弦定理整理得〃-华力-专=0,解得b的值，根据三角形的面积公式即可

计算得解.

若选③利用三角形内角和定理可求B的值，由正弦定理可求b的值，根据三角形的面积

公式即可计算得解.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考

查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为，q=l,

q=疯+'且九.2）.

（1）求证；数列｛#:｝是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

（2）若[幻表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2,[2.1]=2,求证：

[―+!+•••+-]=1.

a\a2an

【答案】证明：（1）法一：因为勺=向+心;，

所以当几.2时，S.-S“T=£+6二，

所以（底一67）（疯+卮）=病+67

又因为6>0,

所以后+67>o-

所以疯一匹二1（乩-2>

所以数列｛n｝是以6=苑=1为首项，公差为1的等差数列.

所以#7=1+（〃-1）x1=〃，

所以S〃=〃2.

所以当儿.2时，q=疯+括;=〃+〃-1=2〃-1.

又因为q=1满足上式，

所以｛〃”｝的通项公式为4=2力-1.

2

法二：当〃..2时，an=Sn-Sn_,=rf-（n-1）=2n-1,

当〃=1时，4=1,满足上式，

所以｛q｝的通项公式为4=2力-1.

证明：(2)二=—J=——.

a；(2n-1)~4n~-4/1+1

当〃..2时，-y</~J

a~4〃~-4〃4/!-1n

当〃=1时，4=i<2,

可4

所以对任意的〃eN"都有4+4•+…+

4G4

5

所以L,~~r—r+…^—~<

4

所以［］+二+…+《］=L

4生可

【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；

(2)利用裂项相消法的应用和放缩法的应用求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用.放缩法，裂

项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

19.在一次联考中某两校共有3000名学生参加，成绩的频率分布直方图如图所示：

(1)求在本次考试中成绩处于［110,130)内的学生人数.

(2)以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况，现从全省考生中随机选取3人,

记成绩在110分(包含110)以上的考生人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】解：⑴•.•［110,130］的频率为0.01x20=0.2,

.•.[110,130]的人数为3000x0.2=600人.

(2)由题可知110分及以上的考生概率为(0.01+0.0025)x20=0.25=

成绩在“°分及以上的考生人数为*~8(3,5),

P(X=A)=C；(；>(I一；产=《(》«严,

.•.X的分布歹ij为:

X0123

272791

p

64646464

.•.E(X)=3x；=；

【解析】(1)由频率分布直方图可求得［110,130］的频率，从而可求得［110,130)内的学

生人数;

(2)由题意可得X〜8(3,，从而可求得分布列及其数学期望.

本题主要考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列及数学期望，考杳运算求解能

力，属于中档题.

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，。是的中点,

PO_L平面ABC。，ZZMB=ZBC£>=90°,

AD=AC=CD=2j3,DP=限

(1)求证：平面4)「_1平面42。；

(2)设两=4斤(0<2<1),若二面角8-。“一尸的余弦值为书，求2的值.

【答案】解：(1)证明：设人。「|8。=乂,连接尸M

\-ZDAB=ZBCD=90°,O为BD中点、,

:.OA=OD=OC,即。为△A6C的中心，

又rAD=CD,

：.ACLBD,

由尸O_L平面ABC。，ACu平面84CQ,

..POrAC,

又尸00|8。=0,PO、BOu平面PQ8,

AC_L平面PDB,

•.£)PJ平面PDB,

..ACA-DP,

AO=AC=C£>=26，DP=R,

.\DN=3,BD=2OD=4,OP=y/DP2-OD2=yf2,PN=>JOP2+ON2=75,

DP2+PN2=DN2,则。P_LPN,

又PN「