2025版一轮高考总复习数学第二章　函数的概念与性质第三节第2课时　函数性质的综合应用

第2课时函数性质的综合应用函数的单调性与奇偶性【例1】已知函数f（x）＝4｜x｜1+｜x｜，则不等式f（2x－A.（1，2）B.（12，5C.（－∞，1）∪（2，＋∞）D.（－∞，12）∪（52，＋解析：A显然f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝4x1+x＝4x+4－41+x＝4－41+x单调递增.又f（1）＝2，所以f（2x－3）＜2可化为f（2x－3）＜f（1），可得｜2x－3｜解题技法综合应用奇偶性与单调性解题的技巧（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞f（x2）的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2（或x1＞x2）求解.已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.b＜a＜c D.b＜c＜a解析：C由题意，知g（x）＝xf（x）在R上为偶函数，因为奇函数f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增.又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），所以g（3）＞g（－log25.1）＞g（20.8），则c＞a＞b.故选C.函数的奇偶性与周期性【例2】（1）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1）＝2，f（1＋x）＝f（1－x），则f（2023）＋f（2024）＝（）A.4 B.0C.－2 D.－4（2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当x∈[0，1]时，f（x）单调递增，则（）A.f（6）＜f（－7）＜f（112B.f（6）＜f（112）＜f（－7C.f（－7）＜f（112）＜f（6D.f（112）＜f（－7）＜f（6答案：（1）C（2）B解析：（1）因为定义在R上的奇函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），所以f（2＋x）＝f（1－（1＋x））＝f（－x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2023）＋f（2024）＝f（3）＋f（0）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.故选C.（2）∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（6）＝f（2）＝－f（0）＝f（0），f（112）＝f（32）＝－f（－12）＝f（12），f（－7）＝f（1），又当x∈[0，1]时，f（x）单调递增，∴f（0）＜f（12）＜f（1），即f（6）＜f（112）＜解题技法综合应用奇偶性与周期性解题的技巧（1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期；（2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化；（3）代入已知的解析式求解即得要求的函数值.（多选）函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）与f（x－1）都是偶函数，则（）A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数C.f（x＋3）是偶函数 D.f（x）＝f（x＋4）解析：CD∵f（x＋1）是偶函数，∴f（－x＋1）＝f（x＋1），从而f（－x）＝f（x＋2）.∵f（x－1）是偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），从而f（－x）＝f（x－2）.∴f（x＋2）＝f（x－2），即f（x＋4）＝f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数.∵f（－x－1）＝f（x－1），∴f（－x－1＋4）＝f（x－1＋4），即f（－x＋3）＝f（x＋3），∴f（x＋3）是偶函数.函数的对称性与周期性【例3】（多选）（2024·苏北四市调研）设函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝－1，则（）A.b＝－2B.f（2023）＝－1C.f（x）为偶函数D.f（x）的图象关于点（12，0）解析：AC由f（2x＋1）为奇函数，得f（－2x＋1）＝－f（2x＋1），则f（－x＋1）＝－f（x＋1），∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，D错误；由f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（x）的周期为4×（2－1）＝4，于是f（－x）＝f（x＋4）＝f（x），C正确；在f（－x＋1）＝－f（x＋1）中，令x＝0，得f（1）＝0，由x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，f（3）＝f（1）＝a＋b＝0，又f（0）＋f（3）＝－1，∴f（0）＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确；f（2023）＝f（4×505＋3）＝f（3）＝0，B错误.综上，故选A、C.解题技法综合应用对称性与周期性解题的技巧函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.1.已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x都有f（x＋4）＝－f（x），若函数y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，f（－1）＝2，则f（2025）＝（）A.1 B.2C.3 D.4解析：B由函数y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，可知函数f（x）的图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数.又由f（x＋4）＝－f（x），得f（x＋4＋4）＝－f（x＋4）＝f（x），所以f（x）是周期为8的偶函数，则f（2025）＝f（1＋253×8）＝f（1）＝f（－1）＝2.2.（多选）已知f（x）的定义域为R，函数f（x）的图象关于直线x＝－3对称，且f（x＋3）＝f（x－3），若当x∈[0，3]时，f（x）＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是（）A.f（x）为偶函数B.f（x）在[－6，－3]上单调递减C.f（x）的图象关于直线x＝3对称D.f（100）＝9解析：ACD因为f（x）的图象关于直线x＝－3对称，所以f（－x）＝f（x－6），又f（x＋3）＝f（x－3），所以f（x）的周期T＝6，所以f（－x）＝f（x－6）＝f（x），所以f（x）为偶函数，故选项A正确；当x∈[0，3]时，f（x）＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，所以f（x）在[－6，－3]上也单调递增，故选项B不正确；因为f（x）的图象关于直线x＝－3对称且T＝6，所以f（x）的图象关于直线x＝3对称，故选项C正确；f（100）＝f（16×6＋4）＝f（4）＝f（－2）＝f（2）＝9，故选项D正确.故选A、C、D.抽象函数求解模型化所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本初等函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法.常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下：基本初等函数模型抽象函数性质一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b幂函数f（x）＝xnf（xy）＝f（x）f（y）或f（xy）＝二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c基本初等函数模型抽象函数性质指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）f（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝f对数函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（xy）＝f（x）－f（y）或f（xm）＝mf（x余弦函数f（x）＝Acosωx（Aω≠0）f（x）＋f（y）＝2Af（x＋y2）·f（x－y2）或f（x＋y）＋f（x－y）＝2Af一、以一次函数为模型的抽象函数【例1】已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等式f（a2－2a－2）＜3的解集为{a｜－1＜a＜3}.解析：法一（常规解法）设x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞2，∴f（x2－x1）＞2，则f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1）－2＞2＋f（x1）－2＝f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数.∵f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）－2＝[f（1）＋f（1）－2]＋f（1）－2＝3f（1）－4，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴f（a2－2a－2）＜f（1），∴a2－2a－2＜1，即a2－2a－3＜0，解得不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.法二（模型解法）由f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），即f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－2，可设函数f（x）＝kx＋2（k≠0），由f（3）＝5，得3k＋2＝5，k＝1，即f（x）＝x＋2，满足当x＞0时，f（x）＞2，则不等式f（a2－2a－2）＜3可化为a2－2a－2＋2＜3，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3，故不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.二、以幂函数为模型的抽象函数【例2】已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.若a≥0且f（a＋1）≤39，则a的取值范围为[0，2]解析：法一（常规解法）设0≤x1＜x2，∴0≤x1x2＜1，f（x1）＝f（x1x2·x2）＝f（x1x2）·f（x2），∵0≤x＜1时，f（x）∈[0，1），∴0≤f（x1x2）＜1，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，＋∞）上单调递增.∵f（27）＝9，又f（3×9）＝f（3）×f（9）＝f（3）·f（3）·f（3）＝[f（3）]3，∴9＝[f（3）]3，∴f（3）＝39，∵f（a＋1）≤39，∴f（a＋1）≤f（3），∴a＋1≤3，即a≤2，法二（模型解法）由f（xy）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝xn，由f（－1）＝1，f（27）＝9，得n＝23，即f（x）＝x23，满足当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.由f（a＋1）≤39，即（a＋1）23≤39，即（a＋1）23≤323，即a＋1≤3，得a≤2，又a≥三、以二次函数为模型的抽象函数【例3】定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，f（1）＝2，则f（－3）＝（）A.2 B.3C.6 D.9解析：C法一（常规解法）f（－3）＝f（－1）＋f（－2）＋4＝3f（－1）＋6，f（0）＝f（0）＋f（0）＋0，f（0）＝0，又f（0）＝f（1－1）＝f（1）＋f（－1）－2＝f（－1），所以f（－3）＝6.法二（模型解法）由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，设函数f（x）＝x2＋bx，又由f（1）＝2，得b＝1，所以f（x）＝x2＋x，f（－3）＝6.四、以指数函数为模型的抽象函数【例4】已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.则当x＞0时f（x）的取值范围为（0，1）.解析：法一（常规解法）∵对于一切x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）f（y）且f（0）≠0，令x＝y＝0，则f（0）＝1，设x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＞1，又f（0）＝f（x－x）＝f（x）f（－x）＝1，∴f（－x）＝1f（x）＞1，∴0＜f（法二（模型解法）由f（x＋y）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由当x＜0时，f（x）＞1，结合指数函数的图象特征知0＜a＜1，取a＝12，则f（x）＝（12）x满足题意，故当x＞0时，f（x）的取值范围为（0，1五、以对数函数为模型的抽象函数【例5】已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1，则x的取值范围为（3，4].解析：法一（常规解法）f（x）＋f（x－3）＝f[x（x－3）]≤1＝f（4），又f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，∴0<x（x－3）≤4，x－3>0，x>0⇒法二（模型解法）由f（xy）＝f（x）＋f（y），可设函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.由f（4）＝1，得a＝4，则f（x）＝log4x，由f（x）＋f（x－3）≤1，得log4x＋log4（x－3）≤1，即log4[x（x－3）]≤1，故x（x－3）≤4，x－3>0，x>0，解得六、以余弦函数为模型的抽象函数【例6】（2022·新高考Ⅱ卷8题）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则∑k=122f（k）＝A.－3 B.－2C.0 D.1解析：A法一（常规解法）因为f（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）·f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1）②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）的一个周期为6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）·f（1），所以f（2）＝－1.由f（x＋3）＝－f（x），得f（3）＝－f（0）＝－2，f（4）＝－f（1）＝－1，f（5）＝－f（2）＝1，f（6）＝－f（3）＝2，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3法二（模型解法）由f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·f（y），可设函数f（x）＝2cosωx，由f（1）＝1，得2cosω＝1，即ω＝π3＋2kπ，取k＝0，得ω＝π3，即f（x）＝2cosπx3，可得f（x）的周期T＝2ππ3＝6，且f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝11.如果奇函数f（x）在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f（x）在[－7，－3]上（）A.单调递增且最小值为－5B.单调递减且最小值为－5C.单调递增且最大值为－5D.单调递减且最大值为－5解析：C奇函数的图象关于原点对称，因为奇函数f（x）在[3，7]上单调递增且最小值为5，所以f（x）在[－7，－3]上单调递增且最大值为－5，故选C.2.已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称且f（5）＝1，则f（2025）＝（）A.－1 B.1C.0 D.3解析：Bf（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－x）＝f（x＋2），又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2025）＝f（1）＝f（5）＝1.3.已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝x+1x与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑i=1m（xi＋yiA.0 B.mC.2m D.4m解析：B∵f（x）＋f（－x）＝2，y＝x+1x＝1＋1x，∴函数y＝f（x）与y＝x+1x的图象都关于点（0，1）对称，∴∑i=1mxi＝0，∑i=1myi＝m2×2＝m，∴∑4.已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝2，g（x）＝（x－1）f（x），若g（x＋1）是偶函数，则g（－0.5）＝（）A.－3 B.－2C.2 D.3解析：D因为g（x＋1）是偶函数，所以g（x）的图象关于直线x＝1对称，又g（x＋1）＝xf（x＋1），所以f（x＋1）是奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，又f（x）为偶函数，所以f（x）的周期T＝4，所以f（－0.5）＝f（0.5）＝－f（1.5）＝－f（5.5）＝－2，所以g（－0.5）＝－1.5×f（－0.5）＝3.5.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2－x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则（）A.（1，0）是函数f（x）的一个对称中心B.函数f（x）的一个周期是4C.f（3）＝－1D.f（2）＝0解析：BCDf（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（x）关于（0，0）对称，因为f（2－x）＝f（x），所以f（x）关于直线x＝1对称，f（x＋4）＝f（x），且f（1）＝1，所以函数f（x）的周期为4，f（3）＝f（－1）＝－1，f（2）＝f（0）＝0.故选B、C、D.6.（多选）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x）＋f（y）＝f（x＋y）＋1，且f（1）＝0，当x＞1时，f（x）＜0，则下列结论正确的是（）A.f（0）＝1B.f（－1）＝2C.y＝f（x）－1为奇函数D.f（x）为增函数解析：ABC对于选项A，令x＝y＝0，得f（0）＝1，故选项A正确；对于选项B，令x＝－1，y＝1，得f（－1）＝2，故选项B正确；对于选项C，令y＝－x，得f（x）＋f（－x）＝2，故f（x）－1＋f（－x）－1＝0，所以y＝f（x）－1为奇函数，故选项C正确；对于选项D，因为f（0）＞f（1），所以f（x）不是增函数，故选项D错误.故选A、B、C.7.已知f（x）是定义在R上以3为周期的偶函数，若f（1）＜1，f（5）＝2a－3，则实数a的取值范围为（－∞，2）.解析：∵f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝f（1），∵f（1）＜1，∴f（5）＝2a－3＜1，即a＜2.8.已知f（x）为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f（2a）＜f（4a－1）的a的取值范围是0，1解析：因为f（x）为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，｜2a｜＜｜4a－1｜，所以0≤a＜169.（2024·重庆一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数且f（0）＝2，g（x）＝f（x－1）是奇函数，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝0.解析：∵f（x）是R上的偶函数，且g（x）＝f（x－1）为奇函数，∴f（x）的图象关于点（－1，0）对称，f（x－1）＝－f（－x－1）＝－f（x＋1），∴f（x＋1）＝－f（x－1），f（x＋2）＝－f（x），∴f（x）的周期为4.∵f（0）＝2，∴f（1）＝f（－1）＝0，f（2）＝－f（0）＝－2，f（3）＝－f（1）＝0，f（4）＝－f（2）＝2，∴f（1）＋f（2）＋…＋f（2025）＝[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]×506＋f（1）＝0.10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f（a）＋f（b）＝f（ab）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（2）＝－1.（1）求f（1）和f（14）的值（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数.解：（1）令a＝b＝1得f（1）＝f（1）＋f（1），则f（1）＝0，而f（4）＝f（2）＋f（2）＝－1－1＝－2，且f（4）＋f（14）＝f（1）＝0，则f（1（2）证明：取定义域中任意的x1，x2，且0＜x1＜x2，∴x2x1∵当x＞1时，f（x）＜0，∴f（x2x1）∴f（x2）－f（x1）＝f（x1·x2x1）－f（x1）＝f（x1）＋f（x2x1）－f（x1）＝f即f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（0，＋∞）上是减函数.11.已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n（n∈N）的n的个数是（）A.1 B.2C.3 D.4解析：A法一（常规解法）令y＝1，则f（x＋1）＝f（x）＋x＋2，即f（x＋1）－f（x）＝x＋2，所以f（x）－f（x－1）＝x＋1，f（x－1）－f（x－2）＝x，…，f（2）－f（1）＝3，累加得f（x）－f（1）＝x2+3x－42，则f（x）＝x（x+3）2－1，所以f（n）＝n（n+3）2－1，又f（n）＝n，解得n＝法二（模型解法）由f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，可设函数f（x）＝12x2＋bx－1，由f（1）＝1，得b＝32，故f（x）＝12x2＋32x－1，由f（n）＝n，即12n2＋32n－1＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N12.已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（2－x）－f（2＋x），h（x）＝f（2－x）＋f（x），则下述结论正确的是（）A.g（x）的图象关于点（1，0）对称B.g（x）的图象关于y轴对称C.h（x）的图象关于直线x＝1对称D.h（x）的图象关于点（1，0）对称解析：C因为函数f（x）的定义域为R，且g（x）＝f（2－x）－f（2＋x），所以g（2－x）＝f[2－（2－x）]－f[2＋（2－x）]＝f（x）－f（4－x），则g（x）＋g（2－x）不一定为0，所以函数g（x）的图象不一定关于点（1，0）对称，选项A错误；g（－x）＝f（2＋x）－f（2－x），即g（－x）＝－g（x），所以函数g（x）为奇函数，则函数g（x）的图象不一定关于y轴对称，选项B错误；因为h（x）＝f（2－x）＋f（x），所以h（2－x）＝f[2－（2－x）]＋f（2－x）＝f（x）＋f（2－x），所以h（2－x）＝h（x），所以函数h（x）的图象关于直线x＝1对称，所以选项C正确，选项D错误.故选C.13.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有f（a（1）若a＞b，试比较f（a