2025版一轮高考总复习数学第二章　函数的概念与性质第七节　指数函数

第七节指数函数1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.1.指数函数的概念函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数.提醒形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数.2.指数函数的图象与性质底数a＞10＜a＜1图象性质定义域为R，值域为（0，＋∞）图象过定点（0，1）当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1增函数减函数提醒指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（√）（2）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（×）（3）若函数f（x）是指数函数，且f（1）＞1，则f（x）是增函数.（√）2.（多选）下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（）A.y＝x2 B.y＝2C.y＝2x D.y＝3x－1解析：CDy＝x2的值域为[0，＋∞）；y＝2x的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；y＝2x的值域为（0，＋∞）；y＝3x－1的值域为（0，＋∞）3.已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是（－∞，2）.解析：根据指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范围是（－∞，2）.4.若指数函数f（x）＝（a－2）x为减函数，则实数a的取值范围为（2，3）.解析：∵f（x）＝（a－2）x为减函数，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.1.函数y＝ax与y＝1ax（a＞0，且a≠1）的图象关于y2.画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），－13.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.1.已知y1＝13x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（解析：A由结论3知选A.2.函数y＝ax－1－1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，0）.解析：由结论2，在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax－1－1的图象恒过定点（1，0）.指数函数的图象及应用【例1】（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（D）A.a＞1，b＜0B.a＞1，b＞0C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0（2）若函数f（x）＝｜2x－2｜－b有两个零点，则实数b的取值范围是（0，2）.解析：（1）由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.（2）在同一平面直角坐标系中画出y＝｜2x－2｜与y＝b的图象，如图所示.所以当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f（x）＝｜2x－2｜－b有两个零点.所以b的取值范围是（0，2）.解题技法有关指数函数图象问题的解题策略（1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除；（2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.1.函数y＝ax－a－1（a＞0，且a≠1）的图象可能是（）解析：D函数y＝ax－1a的图象是由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到的，A显然错误；当a＞1时，0＜1a＜1，平移距离小于1，所以B错误；当0＜a＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C2.已知函数y＝2｜x＋a｜的图象关于y轴对称，则实数a＝0.解析：由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2｜x＋a｜＝2｜－x＋a｜.根据指数函数的单调性可知｜x＋a｜＝｜－x＋a｜，只有当a＝0时，等式恒成立.故a＝0.指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小【例2】（1）（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（）A.c＞a＞b B.c＞b＞aC.a＞b＞c D.b＞a＞c（2）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝e-(x－1）2，记a＝f（22），b＝f（32），c＝A.b＞c＞a B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b答案：（1）D（2）A解析：（1）∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.故选D.（2）函数f（x）＝e-(x－1）2是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（62）＝f（2－62），又22＜2－62＜32＜1，所以f（22）＜f（2－62）＜解题技法比较指数式大小的方法（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.考向2解简单的指数方程或不等式【例3】已知不等式2x2+1≤（14）x－2的解集为A，则A＝[－3，解析：∵（14）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴2x2+1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3解题技法解指数方程或不等式的依据及方法（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）；（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.1.若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是（）A.a＋b≤0 B.a－b≥0C.a－b≤0 D.a＋b≥0解析：D∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb①，令f（x）＝ex－π－x，则f（x）是R上的增函数，①式即为f（a）≥f（－b），∴a≥－b，即a＋b≥0.2.（2024·韶关一模）当0＜x＜12时，方程ax＝1x（a＞0且a≠1）有解，则实数a的取值范围是（4，＋∞）解析：依题意，当x∈（0，12）时，y＝ax与y＝1x有交点，作出y＝1x的图象，如图，所以a>1指数型函数性质的综合问题【例4】（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－2] B.[－2，0）C.（0，2] D.[2，＋∞）解析：D设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，a2）上单调递减，所以a2≥1，即a≥2.1.（变条件，变设问）若函数f（x）＝a｜2x－4｜（a＞0，且a≠1）满足f（1）＝14，则f（x）的单调递减区间是（A.（－∞，2] B.[2，＋∞）C.[－2，＋∞） D.（－∞，－2]解析：B由f（1）＝14，得a2＝14，所以a＝12或a＝－12（舍去），即f（x）＝12｜2x－4｜，由于y＝｜2x－4｜在（－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，y＝12x在（－∞，＋∞）上是减函数，所以f（x）在（－∞，2]2.（变条件）已知函数f（x）＝e｜x－a｜（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（－∞，1].解析：令t＝｜x－a｜，∴y＝et，t＝｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增.又y＝et为增函数，∴f（x）＝e｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增，∴a≤1.解题技法指数型函数问题的求解策略涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.1.若函数f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f（1）的关系是（）A.f（－4）＞f（1）B.f（－4）＝f（1）C.f（－4）＜f（1）D.不能确定解析：A由题意知a＞1，所以f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由指数函数的单调性知a3＞a2，所以f（－4）＞f（1）.2.若函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，则（）A.a＞1，b＞1B.a＞1，0＜b＜1C.0＜a＜1，b＞1D.0＜a＜1，0＜b＜1解析：D根据图象，函数f（x）＝ax－b是减函数，所以指数函数的底数a∈（0，1），根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈（0，1），解得b∈（0，1），即a∈（0，1），b∈（0，1）.1.函数f（x）＝（3）x在区间[1，2]上的最大值是（）A.33 B.C.3 D.23解析：C因为3＞1，所以指数函数f（x）＝（3）x为增函数，所以当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3.2.已知指数函数f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上单调递增，则实数a＝（）A.12 B.C.32 D.解析：D由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝12.当a＝2时，f（x）＝2x在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；当a＝12时，f（x）＝（12）x在（0，＋∞）上单调递减，不符合题意.3.函数y＝x｜x｜ex解析：C∵y＝x｜x｜ex＝（1e4.（2024·合肥模拟）已知a＝223，b＝313，c＝251A.b＜a＜c B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析：A由a＝223＝34，b＝313＝33，c＝2516＝35，5.函数y＝（13）4xA.[1，2] B.[1，3]C.（－∞，2] D.[2，＋∞）解析：Dy＝（13）4x－x2＝3－4x＋x2，∵y＝3x是增函数，y＝x2－4x在（－∞，2）上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，∴y＝3－4x＋x26.（多选）已知f（x）＝1－2x1+2A.f（x）为奇函数 B.f（x）为偶函数C.f（x）为增函数 D.f（x）为减函数解析：ADf（x）的定义域为R，关于原点对称，因为f（－x）＝1－2－x1+2－x＝2x－12x+1＝－1－2x1+2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，A正确，B错误；因为f（x）＝1－2x1+2x＝21+2x－1，且y＝2x为增函数，所以y7.已知函数f（x）＝ax－2＋1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝n－mx的图象不经过第三象限.解析：易知f（x）的图象恒过定点（2，2），所以m＝n＝2，所以g（x）＝2－2x，所以g（x）为减函数，且其图象过点（0，1），（1，0），所以g（x）的图象不经过第三象限.8.已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a＝12或3解析：当0＜a＜1时，a－a2＝a2，∴a＝12或a＝0（舍去）.当a＞1时，a2－a＝a2，∴a＝32或a＝0（舍去）.综上所述，a＝129.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函数f（x）＝1－12x（答案不唯一）解析：f（x）＝1－12x，理由如下：∵y＝12x为R上的减函数，且12x＞0，∴f（x）＝1－12x为R上的增函数，且f（x）＝1－12x＜1，10.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）.（1）若f（x）的图象如图①所示，求实数a，b的取值范围；（2）若f（x）的图象如图②所示，｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围.解：（1）由f（x）＝ax＋b为减函数可得0＜a＜1，又f（0）＝1＋b＜0，解得b＜－1，所以实数a的取值范围为（0，1），实数b的取值范围为（－∞，－1）.（2）题图②中f（0）＝1＋b＝－2，所以b＝－3，函数y＝｜f（x）｜的图象如图所示.由图象可知若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，则m＝0或m≥3，所以m的取值范围为{0}∪[3，＋∞）.11.已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，则在不等式a3x＋1＞a－2x中，x的取值范围是（）A.（－∞，－15B.（－15，＋∞C.（－∞，－15）∪（－15，＋D.R解析：A∵函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，∴a－1＜0，即a＜1，∵a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，∴y＝ax是减函数，又a3x＋1＞a－2x，∴3x＋1＜－2x，∴x＜－15，即x∈（－∞，－112.设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）＝f（x),f（x）≤K，K，f（x）＞K.取函数f（x）＝2－｜A.（－∞，0） B.（0，＋∞）C.（－∞，－1） D.（1，＋∞）解析：C当K＝12时，由f（x）＝2－｜x｜＞12，得－1＜x＜1，由f（x）＝2－｜x｜≤12，得x≤－1或x≥1，∴f12（x）＝2－x，x≥1，113.（多选）（2024·宜昌模拟）若函数f（x）＝a＋22x+1（x∈R）是奇函数，下列选项正确的是A.a＝－1B.f（x）是增函数C.f（x）是减函数D.不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集为t解析：ACD因为f（x）＝a＋22x+1（x∈R）是奇函数，所以f（0）＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1，A正确；因为y＝2x＋1为增函数，且y＝2x＋1＞1，所以y＝22x+1为减函数，所以f（x）是减函数，B不正确，C正确；因为f（x）是奇函数，所以不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0等价于不等