人教版七年级数学下册举一反三专题8.7二元一次方程组章末八大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)

专题8.7二元一次方程组章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二元一次方程的整数解】 1【题型2由方程组的错解问题求参数的值】 1【题型3解含参数的二元一次方程组】 2【题型4根据二元一次方程方程有公共解求解】 2【题型5整体思想解二元一次方程组】 2【题型6二元一次方程组的新定义问题】 4【题型7二元一次方程组的规律探究】 4【题型8二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 6【题型1二元一次方程的整数解】【例1】方程x+y=7的正整数解的对数是（

）A．5 B．7 C．6 D．无数对【变式1-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是．【变式1-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【变式1-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点【题型2由方程组的错解问题求参数的值】【例2】（23·24七年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1【变式2-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是【变式2-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b【变式2-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2【题型3解含参数的二元一次方程组】【例3】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y=【变式3-1】整数a为时，方程组2x+ay=4x+4y=8【变式3-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（

）个A．4 B．5 C．6 D．8【变式3-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为【题型4根据二元一次方程方程有公共解求解】【例4】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（

A．x=3y=−1 B．x=1y=−12 C．【变式4-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（

）A．x=3y=1 B．x=2y=3 C．x=1y=3【变式4-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当mA．x=3y=−1 B．x=1y=−3 C．x=−1y=3【变式4-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a【题型5整体思想解二元一次方程组】【例5】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3【变式5-1】综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x+3y3观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得m=18n=16所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y【变式5-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1(1)直接写出满足方程3x(2)解方程组3x【变式5-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m…请用2种不同的方法解决上面的问题．【题型6二元一次方程组的新定义问题】【例6】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y（1）当a=2，b=1时，d3，（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，【变式6-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．【变式6-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n(1)若2x−x3=−1(2)若x2+y3=45【变式6-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y=5，求m(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12【题型7二元一次方程组的规律探究】【例7】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：序号123……n方程组{{{方程组解{{{按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.【变式7-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：若方程组a1x+b1y=甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答：．【变式7-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③③×17得：17x+17y=17①-④得：y=2，代入③得x=−1．所以这个方程组的解是x=−1y=2(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2【变式7-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．序号二元一次方程组二元一次方程组的解①x+y=1x=②x+y=1x=2③x+y=1x=3………………根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：（1）方程组①的解为；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为，这个方程组的解为．（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求【题型8二元一次方程（组）的阅读理解类问题】【例8】阅读下列材料解决问题：两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．(1)下列说法错误的是________A．123和51互为“调和数” B．345和513互为“调和数”C．2018和8120互为“调和数” D．两位数xy和yx互为“调和数”(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy，B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：【变式8-1】阅读下列材料，解决问题．《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，①小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；②根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．【变式8-2】阅读材料：我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1根据以上信息解决下列问题：(1)请求出矩阵41(2)若矩阵a−2371b【变式8-3】阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解，例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数），要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x问题：(1)求方程3x+2y=8的正整数解．(2)已知一根木条长7m，现将木条截成2m长和专题8.7二元一次方程组章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二元一次方程的整数解】 1【题型2由方程组的错解问题求参数的值】 3【题型3解含参数的二元一次方程组】 5【题型4根据二元一次方程方程有公共解求解】 7【题型5整体思想解二元一次方程组】 10【题型6二元一次方程组的新定义问题】 14【题型7二元一次方程组的规律探究】 17【题型8二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 21【题型1二元一次方程的整数解】【例1】方程x+y=7的正整数解的对数是（

）A．5 B．7 C．6 D．无数对【答案】C【分析】要求方程x+y=7的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的取值，再进一步求得另一个未知数的值．【详解】解：由已知，得y=7−x，要使x，y都是正整数，合适的x值只能是1，2，3，4，5，6，相应的y=6，5，4，3，2，1．共6对．故选：C．【点睛】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．【变式1-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是．【答案】x=−1y=−4或【分析】要求2x+y=−6的负整数解，就要先将方程做适当的变形，根据解为负整数，求解即可．【详解】解：由2x+y=−6可得，y=−6−2x因为二元一次方程2x+y=−6的负整数解，则当x=−1时，y=−4；当x=−2时y=−2；当x=−3时，y=0（不符合题意，舍去）则二元一次方程2x+y=−6的负整数解是x=−1y=−4或故答案为：x=−1y=−4或【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．【变式1-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【答案】x=16【分析】要求方程3x+5y＝143的正整数解，就要先将方程做适当变形，确定其中一组解，进一步得到通解，然后确定出所有的解，即可求得使|x﹣y|的值最小的解．【详解】解：由3x+5y＝143，得y＝28+3−3x5∴x=1y=28是方程组的一个解，其通解为x=1−5ty=28+3t（∵x，y都是正整数，∴x=1y=28，x=6y=25，x=11y=22，x=16y=19，x=21y=16，x=26y=13，x=31y=10∴使|x﹣y|的值最小的解是x=16故答案为x=16y=19【点睛】本题考查了绝对值、二元一次方程的正整数解，解题关键是确定二元一次方程的正整数解，再判断符合题意值.【变式1-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点【答案】(2，3)，(3，1)【分析】根据题意得出x，y的取值范围，以及x，y为整数，找到符合条件的x的值，代入方程y=−2x+7，即可求解．【详解】由题意可得：x>0y>0，即x>0−2x+7>0，且x，解得：0<x<3.5且x，y为整数，则x=1或2或3，当x=1时，y=-2×1+7=5，当x=2时，y=-2×2+7=3，当x=3时，y=-2×3+7=1，那么方程y=-2x+7的正整数点为(1，5)，(2，3)，(3，1)．则方程y=-2x十7的剩余的正整数点为(2，3)，(3，1)．故答案为：(2，3)，(3，1)．【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，以及一元一次不等式，解题的关键是弄清题意，掌握正整数点的求解方法，找出符合条件的正整数点．【题型2由方程组的错解问题求参数的值】【例2】（23·24七年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1【答案】x=【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可．【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组ax+y=2①甲看错了方程①中的a，解得x=1y=2∴2×1−2b=1，解得b=1∵乙看错了方程②中的b，解得x=1y=1∴a+1=2，解得a=1，∴原方程组为x+y=2①由①得：x=2−y③把③代入②得22−y−1将y=65代入③得∴方程组的解为x=4故答案为：x=4【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．【变式2-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是【答案】2x+5y=1【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，∵这个方程组的解是x=3y=−1∴3a−b=13c+7=1∴c=−2．∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1∴−2a+b=1，∴−2a+b=13a−b=1解得：a=2b=5∴原方程组为2x+5y=1−2x−7y=1【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．【变式2-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b【答案】9【分析】根据题意，把x=−1y=2代入y−ax=6，求出a的值，再把x=−2y=1和a的值代入【详解】解：由题意，得：x=−1y=2是y−ax=6∴2+a=6，∴a=4，把a=4和x=−2y=1代入y−ax=b，得：1+2×4=b∴b=9；故答案为：9．【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练在为方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．【变式2-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2【答案】6084【分析】根据题意将小明所得方程组的解代入方程②，将小文所得方程组的解代入方程①，即可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组，即可求解．【详解】解：由题意得：−a+2b=163b+2a=2解方程组得a=−44∴a【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的知识，理解抄错了方程①，得到方程组的解即只满足方程②，同理抄错了方程②，得到方程组的解即只满足方程①，是解答本题的关键．【题型3解含参数的二元一次方程组】【例3】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y=【答案】3【分析】把k看做常数解二元一次方程组，求得x=2−12k【详解】解：3x−y=5−2k由①×3+②，得解得：x=2−1把x=2−12k∴x+y=2−1故答案为：3．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程是解题的关键．【变式3-1】整数a为时，方程组2x+ay=4x+4y=8【答案】−4【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出a的值．【详解】解：∵2x+ay=4①∴①−②×2，得a−8y=−12∴y=12将y=12x=8−48又∵方程组是正整数解，∴8−a=12时满足x、y均为正整数，解得：a=−4，故答案为：−4．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．【变式3-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（

）个A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得x=4【详解】解：由题意得：{x−y=−3②-①得：(a−1)x=4,当a≠1时，x=4∵a,x都为整数，∴a=−3或a=−1或a=0或a=2或a=3或a=5,此时y=x+3也为整数，所以a的所有的可能的值有6个，故选C【点睛】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键．【变式3-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为【答案】x=5【分析】根据题意①+②得x-y-9+m（x+y-1）=0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．【详解】解：x+my=7①x+my+mx-y=9+m，则x-y-9+mx+my-m=0，则x-y-9+m（x+y-1）=0，根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，x−y−9=0x+y−1=0解得x=5y=−4故答案为：x=5y=−4【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的问题和解二元一次方程组，解集本题的关键是理解题意，明确这些方程的解与m的取值无关．同时应掌握二元一次方程组的基本解法——代入消元法和加减消元法．【题型4根据二元一次方程方程有公共解求解】【例4】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（

A．x=3y=−1 B．x=1y=−12 C．【答案】C【分析】由2a−b=0得：b=2a，把b=2a代入a−1x+by+5−2a=0得a−1x+2ay+5−2a=0，整理得：x+2y−2a−x+5=0，根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2y−2=0−x+5=0，解关于【详解】解：由2a−b=0得：b=2a，∴关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0a−1x+2ay+5−2a=0整理得：x+2y−2a−x+5=0∵当a取不同值时，方程都有一个公共解，∴x+2y−2=0−x+5=0解得：x=5y=−故选：C．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2y−2=0−x+5=0【变式4-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（

）A．x=3y=1 B．x=2y=3 C．x=1y=3【答案】B【分析】由题意可令x=2时，代入进行求解即可．【详解】解：由y=kx−2k+3可变形为y=kx−2∵当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，∴当x=2时，则y=3，∴这个公共解为x=2y=3故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．【变式4-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当mA．x=3y=−1 B．x=1y=−3 C．x=−1y=3【答案】D【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．【详解】解：原方程可整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据题意得：x+y+2=0解得x=−3y=1故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．【变式4-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a【答案】x=−3【分析】根据公式求得b=2a，将方程转化得到(x−2y−1)a=−3−x，由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到x−2y−1=0−3−x=0【详解】解：∵a☆b=0，∴2a−b=0，∴b=2a，则方程a+1x−by−a+3=0可转化为a+1∴(x−2y−1)a=−3−x，∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，∴x−2y−1=0−3−x=0解得x=−3y=−2故答案为：x=−3y=−2【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键．【题型5整体思想解二元一次方程组】【例5】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3【答案】x=5【分析】把关于x、y的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15看作关于x+y和x+y的二元一次方程组，利用关于m,n的二元一次方程组3m−an=162m+bn=15的解为m=7n=3,得到x+y=7，x−y=3，从而求出【详解】解：∵关于m,n的二元一次方程组3m−an=162m+bn=15的解为m=7把关于x、y的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15看作关于x+y和x+y

∴x+y=7x−y=3∴关于x,y的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15的解为x=5故答案为：x=5y=2【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．【变式5-1】综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x+3y3观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得m=18n=16所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y【答案】（1）m3+n8【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；【详解】解：（1）设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为m3解关于m，n的方程组，得m=18n=16所以4x+3y=186x−y=16解方程组，得x=3y=2故答案为：m3+n（2）设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13解关于m，n的方程组，得m=8n=−1所以2x+y=8x−2y=−1解方程组，得x=3y=2【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．【变式5-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1(1)直接写出满足方程3x(2)解方程组3x【答案】(1)x=1y=2(2)x=1【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可；（2）仿照例题，设1x=m，1y=n，，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出【详解】（1）解：当x=1y=2时，3故方程的解可以是：x=1y=2故答案为：x=1y=2（2）设1x=m，1y解得m=1n=∴1x=1，1y【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．【变式5-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m…请用2种不同的方法解决上面的问题．【答案】m=4【分析】解法1：利用加减法求出x=13−3my=2m−6，再代入x+2y=5，即可得到m解法2：①+②得，5x+10y=5m+5，则x+2y=m+1，由x+2y=5得到m+1=5，即可得到解法3：解方程组x+2y=52x+3y=8得到x=1y=2，把x=1y=2代入3x+7y=5m−3【详解】解法1：3x+7y=5m−3①×2−②×3解得y=2m−6，把y=2m−6代入②得，2x+32m−6解得x=13−3m，∴x=13−3my=2m−6∵x+2y=5，∴13−3m+22m−6解得m=4；解法2：3x+7y=5m−3①+②得，则x+2y=m+1，∵x+2y=5，∴m+1=5，解得m=4；解法3：x+2y=5①×2−②得，把y=2代入①得，x+4=5，解得x=1，∴x=1y=2把x=1y=2代入3x+7y=5m−33+14=5m−3，解得m=4．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．【题型6二元一次方程组的新定义问题】【例6】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y（1）当a=2，b=1时，d3，（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，【答案】7，5−【分析】（1）由题意可得：x'=2x+yy（2）由题意可得：3a+b=−33a−b=−1【详解】解：（1）当a=2，b=1时，∵x∴d（2）∵dx∴d3y∴3ay+by=−3y化简得：3a+b=−33a−b=−1解得：a=−2故答案为：−23，【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．【变式6-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．【答案】(1)a=25(2)m=4n=−4或(3)b=2【分析】（1）根据“关联方程”的定义求解即可；（2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到m−n=8或n−m=8，再结合m+n=0，解方程组即可；（3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答．【详解】（1）解：解方程2x−4=x+1得：x=5，将x=−5代入方程5x+a=0得：5×−5解得：a=25；（2）解：由题意得：m+n=0m−n=8或m+n=0解两个二元一次方程组得：m=4n=−4或m=−4∴m、n的值为：m=4n=−4或m=−4（3）解：解方程2x+3b−2=0得：x=−3b+2解：方程3x−5b+4=0得：x=5b−4∵方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是关于x的“关联方程”，∴−3b+22解得：b=2．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，和解二元一次方程组的应用，正确掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程组的方法，是解题的关键．【变式6-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n(1)若2x−x3=−1(2)若x2+y3=45【答案】(1)x=2(2)x=3【分析】（1）先按定义列出方程化成一元一次方程求解即可；（2）先按定义列出二元一次方程组求解即可．【详解】（1）解：∵2x−∴2×10+x−x×10−3=−1，解得：x=2．（2）解：∵x2+∴x×10+2+y×10+3=45x−y=2，即x+y=4x−y=2，解得：【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组等知识点，理解新定义是解答本题的关键．【变式6-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y=5，求m(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12【答案】(1)a=2(2)m=(3)x=【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y=5求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．【详解】（1）解：由题意得a+b=13a−2b=8解得：a=2b=−1（2）解：依题意得2x−y=4−m2x+y=5m解得：x=m+1y=3m−2∵x+y=5，∴m+1+3m−2=5，解得：m=3（3）解：由题意得：方程组2a1x−∴由方程组a1x+yx∗∴方程组2a1x+y解得x=9【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．【题型7二元一次方程组的规律探究】【例7】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：序号123……n方程组{{{方程组解{{{按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.【答案】{2x+y=2n+1x−2ny=4【详解】试题分析：仔细分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从-2开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从-1开始的连续负奇数，根据得到的规律求解即可.解：由题意得第n个方程组为{2x+y=2n+1x−2ny=4n考点：找规律-式子的变化点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题.【变式7-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：若方程组a1x+b1y=甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答：．【答案】{【详解】试题分析：把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得，再根据方程组的解是可得，从而求得结果.把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得由题意得，解得{x=5y=13.考点：解二元一次方程组点评：解题的关键是读懂题意，找到规律，正确利用题中所提供换元法解题.【变式7-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③③×17得：17x+17y=17①-④得：y=2，代入③得x=−1．所以这个方程组的解是x=−1y=2(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2【答案】(1)x=−1y=2(2)x=−1y=2【分析】（1）根据题意，利用例题方法求解即可；（2）根据题意，利用例题方法求解即可得．【详解】（1）解：{1997x+1999y=2001②−①得：20x+20y=20，即x+y=1③×1997得：1997x+1997y=1997，①−④得：2y=4，即将y=2代入③得x=−1，所以这个方程组得解是{x=−1（2）解：{ax+(a+2)y=a+4②−①得：(b−a)x+(b−a)y=b−a，即x+y=1③×a得：ax+ay=a，①−④得：2y=4，解得将y=2代入③得：x=−1，所以这个方程组得解是{x=−1故答案为：{x=−1【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．【变式7-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．序号二元一次方程组二元一次方程组的解①x+y=1x=②x+y=1x=2③x+y=1x=3………………根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：（1）方程组①的解为；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为，这个方程组的解为．（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求【答案】（1）x=1y=0；（2）x+y=1x−ny=n2，【分析】（1）根据加减消元法，即可求解；（2）找出方程组及其解的变化规律，即可得到答案；（3）把x=5y=−4代入5+4a=25，求出a【详解】解：（1）x+y=1①x−y=1②①+②得：2x=2，解得：x=1，①-②得：2y=0，解得：y=0，∴方程组的解：x=1y=0（2）由方程组的变化规律可知：第n个方程组为x+y=1x−ny=n2故答案是：x+y=1x−ny=n2（3）∵方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5∴5+4a=25，∴a=5，此时，方程组为x+y=1x−5y=25，它的解为x=5【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解以及加减消元法，掌握方程组及其解的变化规律是解题的关键．【题型8二元一次方程（组）的阅读理解类问题】【例8】阅读下列材料解决问题：两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．(1)下列说法错误的是________A．123和51互为“调和数” B．345和513互为“调和数”C．2018和8120互为“调和数” D．两位数xy和yx互为“调和数”(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy，B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：【答案】(1)B(2)见解析【分析】（1）根据“调和数”的定义，逐项判断即可求解；（2）根据A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，可得x+y=9−2x+m，从而得到x+y是9的倍数，再由A、B【详解】（1）解：A．∵1+2+3=5+1=6，∴123和51互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；B．∵3+4+5=12≠5+1+3=9，∴345和513不是“调和数”，故本选项错误，符合题意；C．∵2+0+1+8=8+1+2+0=11，∴2018和8120互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；D．∵x+y=y+x，∴两位数xy和yx互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；故答案为：B（2）解：根据题意得：x+y=m+n10x+y+10m+n=3解得：19x+y=9m，∴x+y=9−2x+m∴x+y是9的倍数，∴x+y=9或18，∵A、B是两个不等的两位数，∴x+y=9，即y=−x+9．【点睛】此题主要考查了整除的问题，新定义，解题的关键在于理解新定义，运用整除的思想解决问题．【变式8-1】阅读下列材料，解决问题．《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，①小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；②根据题意，列出一个含有x，y的方程_________