苏科版八年级数学上册专题6.2一次函数的图象与性质(一)【十大题型】(举一反三)同步特训(学生版+解析)

专题6.2一次函数的图象与性质（一）【十大题型】 【苏科版】 TOC\o"1-3"\h\u【题型1一次函数的概念辨析】 1【题型2待定系数法求一次函数解析式】 2【题型3一次函数图象上点的坐标特征】 2【题型4一次函数解析式与三角形面积问题】 2【题型5根据实际问题列一次函数解析式】 3【题型6判断一次函数的图象】 5【题型7判断一次函数的增减性或经过的象限】 7【题型8根据一次函数的性质求参数的范围】 7【题型9根据一次函数的增减性求自变量的变化情况】 8【题型10根据一次函数的增减性比较函数值大小】 8【知识点1一次函数和正比例函数的概念】一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。【题型1一次函数的概念辨析】【例1】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（

）A．y=−x2 B．y=−2x C．【变式1-1】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）若函数y=a−2xa−1+4A．−2 B．±2 C．2 D．0【变式1-2】（2023春·全国·八年级期中）在下列函数中，x是自变量，y是因变量，则一次函数有，正比例函数有．（将代号填上即可）①y=3x+1；②y=x2+2x；③y=5x【变式1-3】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）已知函数y=k−2(1)若该函数是一次函数，求k的取值范围．(2)若该函数是正比例函数，求k的值．【知识点2正比例函数和一次函数解析式的确定】确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。【题型2待定系数法求一次函数解析式】【例2】（2023春·河南新乡·八年级统考期中）已知y与x+3成正比例，且当x=1时，y=−8．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设点(m，2)在（1）中函数的图象上，求【变式2-1】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）已知一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．【变式2-2】（2023春·江苏南通·八年级校考期中）若y−2与2x+3成正比例，且当x=1时，y=12．(1)求y与x的函数解析式．(2)求当y=4时，x的值．【变式2-3】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系中有A−1,4，B−3,2，(1)求过A，B两点的直线的函数解析式；(2)判断A，B，C三点是否在同一条直线上？并说明理由．【题型3一次函数图象上点的坐标特征】【例3】（2023春·山西长治·八年级校考期中）如果点P2,k在直线y=−2x+2上，那么点P到x轴的距离为（

A．−2 B．2 C．−4 D．4【变式3-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）下面哪个点在函数y=−3x+4的图象上（

）A．5,13 B．−1,1 C．3,0 D．1,1【变式3-2】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知点P(a−2,b)在一次函数y=3x−2的图像上，则10−3a+b=．【变式3-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）一次函数y=kx+k图象一定经过点（

）A．1,0 B．0,1 C．1,1 D．−1,0【题型4一次函数解析式与三角形面积问题】【例4】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（）A．y＝x+1 B．y=13x+1 C．y＝3x﹣3 D．y＝【变式4-1】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）一次函数经过点1，2、点(1)求这个一次函数的解析式；(2)求这个一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．【变式4-2】（2023春·江西上饶·八年级统考期末）一次函数的图象经过点A−3,5和B(1)求出该一次函数的表达式；(2)若直线AB与x轴交于点C，求△AOC的面积．【变式4-3】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（

）A．y=910x B．y=109x【题型5根据实际问题列一次函数解析式】【例5】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：销售价/元90100110120130140销售量/件908070605040设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当x=115时，y的值为（

）A．85 B．75 C．65 D．55【变式5-1】（2023春·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考期末）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A．S=120−30t0≤t≤4 B．C．S=120−30tt>0 D．【变式5-2】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值．【变式5-3】（2023春·云南文山·八年级期末）艺术节前夕，为了增添节日气氛，某校决定采购大小两种型号的气球装扮活动场地，计划购买4盒大气球，x盒小气球（x>4）．A、B两个商场中，两种型号的气球原价一样，都是大气球50元/盒，小气球10元/盒，但给出了不同的优惠方案：A商场：买一盒大气球，送一盒小气球；B商场：一律九折优惠；（1）分别写出在两个商场购买时需要的花费y（元）与x（盒）之间的关系式；（2）如果学校最终决定购买10盒小气球，那么选择在哪个商场购买比较合算？【知识点3一次函数与正比例函数的图象与性质】1、正比例函数的图象与性质解析式y=kx自变量取值范围全体实数图象形状过原点的一条直线k的取值k>0k<0示意图位置经过一、三象限经过二、四象限趋势从左向右上升从左向右下降函数增减性y随x的增大而增大，即：当x1>y随x的增大而减小即：当x1>2、一次函数的图象与性质解析式y=kx+b自变量取值范围全体实数图象形状过0，b和−bk、b的取值k>0k<0b>0b<0b>0b<0示意图位置经过一、二、三象限经过一、三、四象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限趋势从左向右上升从左向右下降函数增减性y随x的增大而增大，即：当x1>y随x的增大而减小即：当x1>3、截距定义直线y=kx+b与y轴相交于（0，b）,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称截距举例直线y=−2x−3的截距是−3【题型6判断一次函数的图象】【例6】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）一次函数y=kx−k（k为常数，k≠0）与正比例函数y=−kx的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

【变式6-1】（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）已知函数y=kx的图象如图所示，那么函数y=kx−k的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【变式6-2】（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知点k,b在第四象限内，则一次函数y=−kx+b的图象大致是（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax−b和y=bx+a的图象可能是（

）A． B． C． D．【题型7判断一次函数的增减性或经过的象限】【例7】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）一次函数y=kx+bk≠0中，y随x的增大而减小，b<0，则这个函数的图象不经过第【变式7-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）关于一次函数y=−3x−2，下列说法错误的是（

）A．函数图像与y轴的交点坐标为0,−2B．函数图像经过二、三、四象限C．函数图像与x轴的交点在x轴的负半轴D．y的值随x的值的增大而增大【变式7-2】（2023春·山东菏泽·八年级期末）一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）关于一次函数y=(k−1)x+1−k，下列说法：①当k>1时，图象从左向右上升，y随x的增大而增大；②当k<1时，图象经过第二、三、四象限；③函数图象一定过点(1,0)．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【题型8根据一次函数的性质求参数的范围】【例8】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）已知一次函数y=(m+2)x+(m−3)，若y随x的增大而增大，且此函数图象与y轴的交点在x轴下方，则m的取值范围是．【变式8-1】（2023春·江西九江·八年级统考期中）若一次函数y=kx−4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是（

）A．3 B．-12 C．-4 D．0【变式8-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）已知A(x1,y1)，B(x2,【变式8-3】（2023春·福建福州·八年级校考期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1【题型9根据一次函数的增减性求自变量的变化情况】【例9】（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）已知点A2，y1和点Ba，yA．−3 B．−2 C．1 D．3【变式9-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知点x1,−5x2,2都在直线y=−2x+b上，则xA．x1>x2 B．x1【变式9-2】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点Ax1,22，点Bx2,1A．x1>x2 B．x1<【变式9-3】（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）已知点Am,2,Bn,−3在一次函数y=−k2−1x+b的图象上，则【题型10根据一次函数的增减性比较函数值大小】【例10】（2023春·全国·八年级期末）已知点Ax1,y1，Bx2,y2，CxA．y1>y2>y3 B．【变式10-1】（2023春·河南安阳·八年级统考期末）已知，一次函数y=−1专题6.2一次函数的图象与性质（一）【十大题型】 【苏科版】 TOC\o"1-3"\h\u【题型1一次函数的概念辨析】 1【题型2待定系数法求一次函数解析式】 3【题型3一次函数图象上点的坐标特征】 6【题型4一次函数解析式与三角形面积问题】 7【题型5根据实际问题列一次函数解析式】 11【题型6判断一次函数的图象】 15【题型7判断一次函数的增减性或经过的象限】 18【题型8根据一次函数的性质求参数的范围】 20【题型9根据一次函数的增减性求自变量的变化情况】 21【题型10根据一次函数的增减性比较函数值大小】 23【知识点1一次函数和正比例函数的概念】一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。【题型1一次函数的概念辨析】【例1】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（

）A．y=−x2 B．y=−2x C．【答案】C【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可．【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意；B．不是一次函数，故选项不符合题意；C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意；D．不是一次函数，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．【变式1-1】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）若函数y=a−2xa−1+4A．−2 B．±2 C．2 D．0【答案】A【分析】根据一次函数y=kx+b的定义可知，k、b为常数，k≠0，自变量的次数为1，即可求解．【详解】解：∵y=a−2xa∴a−1=1，且∴a=2，且∴a=±2且a≠2，∴a=−2．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·全国·八年级期中）在下列函数中，x是自变量，y是因变量，则一次函数有，正比例函数有．（将代号填上即可）①y=3x+1；②y=x2+2x；③y=5x【答案】①③④③【分析】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定．【详解】解：①y=3②y=x③y=5x是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数；④y=1−4x是一次函数；⑤y=1故答案为：①③④，③．【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键．【变式1-3】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）已知函数y=k−2(1)若该函数是一次函数，求k的取值范围．(2)若该函数是正比例函数，求k的值．【答案】(1)k≠2(2)k=−2【分析】（1）根据一次函数的定义，即可进行解答；（2）根据正比例函数的定义，即可进行解答．【详解】（1）解：∵函数y=k−2∴k−2≠0，解得：k≠2；（2）解：∵函数y=k−2∴k−2≠0k解得：k=−2．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，解题的关键是掌握一般形如y=kx+b的是一次函数（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量．形如y=kx的是正比例函数k≠0，其中x是自变量，y是因变量．【知识点2正比例函数和一次函数解析式的确定】确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。【题型2待定系数法求一次函数解析式】【例2】（2023春·河南新乡·八年级统考期中）已知y与x+3成正比例，且当x=1时，y=−8．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设点(m，2)在（1）中函数的图象上，求【答案】(1)y=−2x−6(2)−4【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）把点Mm,2【详解】（1）解：根据题意：设y与x之间的函数解析式为y=kx+3把x=1，y=−8代入得：−8=k1+3解得：k=−2．则y与x函数关系式为y=−2x+3即y与x之间的函数解析式为y=−2x−6；（2）解：把点Mm,2代入y=−2x−6得：2=−2m−6，解得m=−4．【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图象与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键．【变式2-1】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）已知一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．【答案】(1)y=(2)(9,0)，(0,−12)【分析】（1）设出一次函数的解析式是y=kx+b，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k、b的值即可得解；（2）根据一次函数的解析式即可求出图象与两坐标轴的交点坐标．【详解】（1）设一次函数为y=kx+b，∵一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4)，∴6k+b=−412k+b=4解得k=4∴所求的解析式为y=4（2）令x=0，则y=−12，令y=0，则43x−12=0，解得∴这个一次函数的图象与两坐标轴的交点为(9,0)，(0,−12)．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．【变式2-2】（2023春·江苏南通·八年级校考期中）若y−2与2x+3成正比例，且当x=1时，y=12．(1)求y与x的函数解析式．(2)求当y=4时，x的值．【答案】(1)y=4x+8(2)x【分析】（1）设y−2=k2x+3，把x=1，y=12代入可得k=2（2）把y=4代入函数解析式求解x即可．【详解】（1）解：设y−2=k2x+3把x=1，y=12代入得12−2=5k，解得k=2，所以y−2=22x+3所以y与x之间的函数关系式为y=4x+8；（2）当y=4时，4x+8=4，解答x=−1．【点睛】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数自变量的值，理解成正比例的含义是解本题的关键．【变式2-3】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系中有A−1,4，B−3,2，(1)求过A，B两点的直线的函数解析式；(2)判断A，B，C三点是否在同一条直线上？并说明理由．【答案】(1)y=x+5(2)A，B，C三点在同一条直线上，详见解析【分析】（1）根据点A、B坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）将点C坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断．【详解】（1）解：设过A，B两点的直线的函数解析式y=kx+b，则−k+b=4−3k+b=2，解得k=1∴直线AB的函数解析式为y=x+5（2）解：A，B，C三点在同一条直线上，理由：当x=0时，y=5，∴点C0,5在直线AB即A，B，C三点在同一条直线上．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、判定点是否在直线上，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解答的关键．【题型3一次函数图象上点的坐标特征】【例3】（2023春·山西长治·八年级校考期中）如果点P2,k在直线y=−2x+2上，那么点P到x轴的距离为（

A．−2 B．2 C．−4 D．4【答案】B【分析】把点P2,k代入直线y=−2x+2求出k，即可点P到x【详解】解：把点P2,k代入直线y=−2x+2k=−2×2+2=−2，∴点P到x轴的距离为|−2|=2．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，准确分析计算是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）下面哪个点在函数y=−3x+4的图象上（

）A．5,13 B．−1,1 C．3,0 D．1,1【答案】A【分析】将点的横坐标代入解析式，进行求解后判断即可．【详解】解：A、当x=5时，y=−3×5+4=−11，故5,13不在函数图象上；B、当x=−1时，y=−3×−1+4=7，故C、当x=3时，y=−3×3+4=−5，故3,0不在函数图象上；D、当x=1时，y=−3×1+4=1，故1,1在函数图象上；故选D．【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征．熟练掌握一次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，是解题的关键．【变式3-2】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知点P(a−2,b)在一次函数y=3x−2的图像上，则10−3a+b=．【答案】2【分析】将点P(a−2,b)代入一次函数y=3x−2中即可得出结果．【详解】∵点P(a−2,b)在一次函数y=3x−2的图象上，∴b=解得3a−b=810−3a+b=10−8=2．故答案为：2．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特点．熟练掌握整体代入是解题的关键．【变式3-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）一次函数y=kx+k图象一定经过点（

）A．1,0 B．0,1 C．1,1 D．−1,0【答案】A【分析】当x=−1时，y=0，由此解答即可．【详解】解：y=kx+k=kx+1当x=−1时，y=0，∴一次函数y=kx+k图象一定经过点−1,0．故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数图象上的点，解答此题的关键是理解一次函数图象上的点都满足一次函数的解析式，满足一次函数解析式的点都在一次函数的图象上．【题型4一次函数解析式与三角形面积问题】【例4】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（）A．y＝x+1 B．y=13x+1 C．y＝3x﹣3 D．y＝【答案】A【分析】首先根据条件l经过点D（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案．【详解】解：设D（1，0），∵线l经过点D（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，∴OD＝BE＝1，∵顶点B的坐标为（6，4）．∴E（5，4）设直线l的函数解析式是y＝kx+b，∵图象过D（1，0），E（5，4），∴k+b=05k+b=4解得：k=1∴直线l的函数解析式是y＝x﹣1．故选D．【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出E点坐标．【变式4-1】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）一次函数经过点1，2、点(1)求这个一次函数的解析式；(2)求这个一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)y=−2x+4(2)4【分析】（1）利用待定系数法，求一次函数解析式即可；（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后再求出三角形的面积即可．【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b，将点1，2，k+b=2−k+b=6解得k=−2b=4∴这个一次函数的解析式为y=−2x+4；（2）解：设这个一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，把y=0代入得−2x+4=0，解得：x=2，把x=0代入得：y=4，∴A2,0，B∴S△AOB【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴围成的图形面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法．【变式4-2】（2023春·江西上饶·八年级统考期末）一次函数的图象经过点A−3,5和B(1)求出该一次函数的表达式；(2)若直线AB与x轴交于点C，求△AOC的面积．【答案】(1)y=−x+2(2)5【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．【详解】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，∵图象经过A−3,5，B∴5=−3k+b2=b解得：k=−1，b=2

∴一次函数解析式为y=−x+2；（2）当y=0时，0=−x+2，∴x=2，∴C2,0∴S△AOC答：△AOC的面积为5．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．【变式4-3】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（

）A．y=910x B．y=109x【答案】A【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．【详解】解：如图，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴S△AOB而OB＝3，∴12ABAB＝103∴A点坐标为（103设直线方程为y＝kx，则3＝103k∴k＝910∴直线l解析式为y＝910x故选：A．【点睛】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．【题型5根据实际问题列一次函数解析式】【例5】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：销售价/元90100110120130140销售量/件908070605040设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当x=115时，y的值为（

）A．85 B．75 C．65 D．55【答案】C【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量y与销售价x符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把x＝115代入求y的值即可．【详解】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，设y＝kx＋b（k≠0），把x＝90，y＝90和x＝100，y＝80代入得，90k+b=90100k+b=80，解得：k=−1则y＝−x＋180，当x＝115时，y＝−115＋180＝65．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，根据题目中的条件分析函数关系是关键的一步，并且要熟练掌握待定系数法求解析式．【变式5-1】（2023春·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考期末）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A．S=120−30t0≤t≤4 B．C．S=120−30tt>0 D．【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t的取值范围即可．【详解】解：∵汽车行驶的路程为：30t，∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：S=120−30t，∵120÷30=4，∴自变量t的取值范围是0≤t≤4，故选：A．【点睛】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．【变式5-2】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值．【答案】（1）y=120−80x0<x≤1.5，y是x的一次函数；（2）【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）∵甲、乙两地相距120km∴火车与甲地的距离表示为：120−80x（km），即y=120−80x；当火车到达甲地时，即80x=120∴x=1.5，即火车行驶1.5h到达甲地∴y=120−80xy是x的一次函数；（2）根据（1）的结论，得：y=120−80x=120−80×0.5=80．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．【变式5-3】（2023春·云南文山·八年级期末）艺术节前夕，为了增添节日气氛，某校决定采购大小两种型号的气球装扮活动场地，计划购买4盒大气球，x盒小气球（x>4）．A、B两个商场中，两种型号的气球原价一样，都是大气球50元/盒，小气球10元/盒，但给出了不同的优惠方案：A商场：买一盒大气球，送一盒小气球；B商场：一律九折优惠；（1）分别写出在两个商场购买时需要的花费y（元）与x（盒）之间的关系式；（2）如果学校最终决定购买10盒小气球，那么选择在哪个商场购买比较合算？【答案】（1）A：y=10x+160，B：y=9x+180；（2）A商场更合算【分析】（1）利用购买大气球盒数×单价+小气球去掉赠送的还需购买的盒数×单价列函数关系得出A商场花费，用购买大气球盒数×单价+小气球购买的盒数×单价之和九折列函数关系得出B商场花费即可；（2）先求A、B两商场花费函数的值，比较大小即可．【详解】解：（1）A：y=50×4+10（B：y=（（2）当x=10时，A：10×10+160=260元，B：9×10+180=270元，∵260＜∴选择在A商场购买比较合算．【点睛】本题考查列函数解析式，函数值，比较大小，掌握列函数解析式的方法，求函数值的注意事项是解题关键．【知识点3一次函数与正比例函数的图象与性质】1、正比例函数的图象与性质解析式y=kx自变量取值范围全体实数图象形状过原点的一条直线k的取值k>0k<0示意图位置经过一、三象限经过二、四象限趋势从左向右上升从左向右下降函数增减性y随x的增大而增大，即：当x1>y随x的增大而减小即：当x1>2、一次函数的图象与性质解析式y=kx+b自变量取值范围全体实数图象形状过0，b和−bk、b的取值k>0k<0b>0b<0b>0b<0示意图位置经过一、二、三象限经过一、三、四象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限趋势从左向右上升从左向右下降函数增减性y随x的增大而增大，即：当x1>y随x的增大而减小即：当x1>3、截距定义直线y=kx+b与y轴相交于（0，b）,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称截距举例直线y=−2x−3的截距是−3【题型6判断一次函数的图象】【例6】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）一次函数y=kx−k（k为常数，k≠0）与正比例函数y=−kx的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分k>0、k<0两种情况找出函数y=−kx及函数y=kx−k的图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：当k>0时，正比例函数y=−kx的图象经过第二、四象限，一次函数y=kx−k的图象经过第一、三、四象限；当k<0时，正比例函数y=−kx的图象经过第一、三象限，一次函数y=kx−k的图象经过第二、三、四象限．故选：D．【点睛】本题考查了正比例函数的图象及一次函数的图象，分k>0、k<0两种情况找出两函数图象经过的象限是解题的关键．【变式6-1】（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）已知函数y=kx的图象如图所示，那么函数y=kx−k的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限可判断出k的符号，进而可得出结论．【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，∴k<0，∴−k>0，∴一次函数y=kx−k的图象经过第一、二、四象限．故选C．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出k的符号是解答此题的关键．【变式6-2】（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知点k,b在第四象限内，则一次函数y=−kx+b的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件“点(k,b)为第四象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数y=−kx+b的图象所经过的象限．【详解】解：∵点(k,b)为第四象限内的点，∴k>0，b<0，∴−k<0，∴一次函数y=−kx+b的图象经过第二、三、四象限，观察选项，A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．【变式6-3】（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax−b和y=bx+a的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.【详解】解：A、若函数y=ax−b图象经过第一、三、四象限，则a>0，b>0，此时函数y=bx+a的图象应经过第一、二、三象限；若函数y=ax−b图象经过第一、二、四象限时，则a<0，b<0时，此时函数y=bx+a的图象应经过第二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意；B、若函数y=ax−b图象经过第一、二、四象限时，则a<0，b<0时，此时函数y=bx+a的图象应经过第二、三、四象限，故选项B错误，不符合题意；C、若函数y=ax−b图象经过第一、二、三象限，则a>0，b<0，此时函数y=bx+a的图象应经过第一、二、四象限；若函数y=ax−b图象经过第二、三、四象限时，则a<0，b>0时，此时函数y=bx+a的图象应经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意；D、若函数y=ax−b图象经过第一、二、三象限，则a>0，b<0，此时函数y=bx+a的图象应经过第一、三、四象限；若函数y=ax−b图象经过第一、三、四象限时，则a>0，b>0时，此时函数y=bx+a的图象应经过第一、二、三象限，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键.【题型7判断一次函数的增减性或经过的象限】【例7】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）一次函数y=kx+bk≠0中，y随x的增大而减小，b<0，则这个函数的图象不经过第【答案】一【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图像与系数的关系即可得出结论.【详解】解：∵一次函数y=kx+b中y随x增大而减小∴k＜0∵b＜0∴此函数的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限故答案为：一.【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解题的关键.【变式7-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）关于一次函数y=−3x−2，下列说法错误的是（

）A．函数图像与y轴的交点坐标为0,−2B．函数图像经过二、三、四象限C．函数图像与x轴的交点在x轴的负半轴D．y的值随x的值的增大而增大【答案】A【分析】根据一次函数的性质对选项进行判断即可．【详解】解：令x=0，则y=−2，∴函数图像与y轴的交点坐标为0,−2，故选项A正确，不符合题意；函数图像经过二、三、四象限，故选项B正确，不符合题意；令y=0，则x=−2∴函数图像与x轴的交点坐标为(−2∵k=−3<0，∴y的值随x的值的增大而减小，故选项D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．【变式7-2】（2023春·山东菏泽·八年级期末）一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据题意分别求得k<0和b<0，再进行判断即可．【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过点P(−2,−1)，∴−1=−2k+b，∴b=2k−1，∵一次函数y=kx+b中y随着x的增大而减小，∴k<0，∴b=2k−1＜∵k<0，b＜∴该图像不经过的象限是第一象限，故答案为：A．【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）关于一次函数y=(k−1)x+1−k，下列说法：①当k>1时，图象从左向右上升，y随x的增大而增大；②当k<1时，图象经过第二、三、四象限；③函数图象一定过点(1,0)．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根据一次函数的增减性质可对①作出判断；根据k－1及1－k的符号即可对②作出判断；计算当x=1时的函数值即可对③作出判断，从而可对结果作出判断．【详解】当k>1时，k－1>0，从而一次函数的图象从左往右上升，且y随x的增大而增大，故①正确；当k<1时，k－1<0，图象必过第二、四象限；又1－k>0，图象必过第一象限，所以图象过第一、二、四象限，故②错误；当x=1时，y=k－1+1－k=0，所以函数图象过点(1，0)，故③正确；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，点与直线的位置关系等知识，掌握一次函数的图象与性质是关键．【题型8根据一次函数的性质求参数的范围】【例8】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）已知一次函数y=(m+2)x+(m−3)，若y随x的增大而增大，且此函数图象与y轴的交点在x轴下方，则m的取值范围是．【答案】−2<m<3【分析】先利用一次函数的性质得m+2>0，再利用一次函数与y轴交点得到m−3<0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】∵一次函数y=m+2x+m−3，y∴m+2>0，∵函数图象与y轴的交点在x轴下方，∴m−3<0，则：m+2>0m−3<0解得：−2<m<3，故答案为：−2<m<3．【点睛】此题考查了一次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及其性质的应用．【变式8-1】（2023春·江西九江·八年级统考期中）若一次函数y=kx−4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是（

）A．3 B．-12 C．-4 D．0【答案】A【分析】根据一次函数的性质，若y随x的增大而增大，则比例系数大于0．【详解】解：∵y=kx−4的函数值y随x的增大而增大，∴.k>0，而四个选项中，只有A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．【变式8-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）已知A(x1,y1)，B(x2,【答案】a<1【分析】首先根据已知条件判断出y1−y2与【详解】解：∵y1∴y1−∴在一次函数y=(a−1)x+1中，y随x的增大而减小，∴a−1<0，解得a<1，故答案为：a<1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．【变式8-3】（2023春·福建福州·八年级校考期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1【答案】B【分析】根据题意m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得x1﹣x2与y1﹣y2异号，即可得出a的取值范围．【详解】解：∵点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣