北师大版九年级数学下册2.10二次函数解析式的确定【六大题型】同步练习(学生版+解析)

专题2.10二次函数解析式的确定【六大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用一般式确定二次函数解析式】 1【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】 2【题型3利用两根式确定二次函数解析式】 3【题型4利用平移变换确定二次函数解析式】 4【题型5利用对称变换确定二次函数解析式】 6【题型6二次函数解析式的确定（条件开放性）】 7【知识点1】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值.【题型1利用一般式确定二次函数解析式】【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求这个二次函数的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）．（1）求m的值；（2）求这个二次函数解析式；（3）求y1大于y2时，x的取值范围．【知识点2】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象的顶点坐标；（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为.（直接写出答案）【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．【知识点3】已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．【题型3利用两根式确定二次函数解析式】【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．（1）求此二次函数的解析式．（2）求点D的坐标及△ABD的面积．【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．【知识点4】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【题型4利用平移变换确定二次函数解析式】【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；（2）当x＝时，y随x的增大而减小；（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．（1）求平移后的抛物线C的解析式；（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且−12＜x1＜x2，试比较y1，【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．【知识点5】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【题型5利用对称变换确定二次函数解析式】【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．专题2.10二次函数解析式的确定【六大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用一般式确定二次函数解析式】 1【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】 4【题型3利用两根式确定二次函数解析式】 8【题型4利用平移变换确定二次函数解析式】 10【题型5利用对称变换确定二次函数解析式】 14【题型6二次函数解析式的确定（条件开放性）】 18【知识点1】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值.【题型1利用一般式确定二次函数解析式】【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求这个二次函数的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．（2）描点、连线画出图象即可；（3）令y＝0，解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，根据图象即可求得．【解答】解：（1）由已知可得，二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，﹣1），（0，1），（4，1）则4a+2b+c=−1c=1解得：a=1∴二次函数解析式为y=12x2﹣2（2）用描点法画出函数图象，如图所示：（3）令y＝0，则12x2﹣2x解得：x1＝2−2，x2＝2+由图象知，当x＞2+2或x＜2−2时，【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得a−b+c=10a+b+c=4解得a=4b=−3∴所求二次函数解析式为y＝4x2﹣3x+3．【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程组4+2b+c=0①16+4b+c=2②，解二元一次方程组可得b=−5c=6，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数对称轴的公式x=−b2a，顶点坐标公式(−b2a，【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，得4+2b+c=0①16+4b+c=2②②﹣①，得2b＝﹣10，解得：b＝﹣5，把b＝5代入①中，得4+2×（﹣5）+c＝0，解得：c＝6，∴b=−5c=6∴这个二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，∴二次函数y＝x2﹣5x+6对称轴是直线x=−b由二次函数的顶点坐标公式（−b2a，二次函数y＝x2﹣5x+6顶点坐标：x=−b2a=5即（52【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）．（1）求m的值；（2）求这个二次函数解析式；（3）求y1大于y2时，x的取值范围．【分析】（1）将（m，0）代入直线解析式求解．（2）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得a与b的关系，再将（﹣1，0），（1，﹣32）代入抛物线解析式求解．（3）联立两方程，根据图象交点横坐标求解．【解答】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，解得m＝﹣1．（2）由题意可得抛物线对称轴为直线x=−b∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得−32=a解得a=−4∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，解得x＝﹣1或x=−13∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1和−13如图，∴−134＜x＜﹣1时，y1【知识点2】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象的顶点坐标；（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，再通过待定系数法求解．（2）由抛物线顶点式求解．（3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得0=4a+k3=a+k解得a=−1k=4∴y＝﹣（x+1）2+4．（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4）．（3）∵抛物线经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线经过（1，0），∴﹣3＜x＜1时，y＞0．【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．【分析】由题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣4，0）或（2，0），利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：由抛物线顶点知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，又与x轴交点间的距离为6，∴交点横坐标为﹣4与2，∴两个交点坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，把点（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+9．【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0.（直接写出答案）【分析】（1）根据顶点坐标设y＝a（x+1）2﹣4，直接把点（1，0）代入即可得到二次函数的解析式；（2）把x＝﹣2和x＝1分别代入解析式，再根据顶点可得y的取值范围．【解答】解：（1）∵顶点为（﹣1，﹣4），∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝0，∵y的最小值是﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y≤0．故答案为：﹣4≤y≤0．【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．【分析】（1）已知了顶点C坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据A点的坐标可求出二次函数的解析式；（2）先根据（1）中求出的二次函数的解析式，求出B点的坐标，然后可用待定系数法用B、A的坐标求出AB所在直线的解析式，求出对称轴与直线AB的交点D的坐标，求三角形CAB的面积转化为三角形BCD和三角形ACD面积之和即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B点的坐标为（0，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得3k+b=0b=3解得：k=−1b=3∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设对称轴直线x＝1与直线AB相交与点D，∴当x＝1时，y＝2，∴D点坐标（1，2），所以CD＝4﹣2＝2，S△CAB＝S△BCD+S△ACD=1∴△ABC的面积为3．【知识点3】已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．【题型3利用两根式确定二次函数解析式】【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．【分析】设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（0，﹣3）代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝﹣3，解得a＝1．∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．（1）求此二次函数的解析式．（2）求点D的坐标及△ABD的面积．【分析】（1）先设函数的交点式，然后将点A和点B代入函数解析式得到二次函数的一般式；（2）将二次函数的一般式化为顶点式，得到顶点D的坐标，然后求得△ABD的面积．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点D的坐标为（1，﹣4），∴点D到AB的距离为4，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABD=1【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴顶点坐标M（2，﹣1），（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：b=32k+b=−1∴k=−2b=3∴y＝﹣2x+3．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．【分析】根据抛物线与x轴的交点（﹣1，0），（3，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点（1，﹣8）代入求得a即可．【解答】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．25．二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，对称轴是直线x=52，顶点坐标是（【知识点4】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【题型4利用平移变换确定二次函数解析式】【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M和直线AB的解析式；（2）先求出直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，接着表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面积公式得到12•|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝4×【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得a−b+c=316a+4b+c=8c=0，解得∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x；设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，3），B（4，8）代入得−m+n=34m+n=8，解得m＝1，n∴直线AB的解析式为y＝x+4；（2）当x＝0时，y＝x+4＝4，则直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，当x＝0时，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，则C（0，t2+t+4），∵S△ABC＝3S△ABO，∴12•|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝3×即|t2+t|＝12，方程t2+t＝﹣12没有实数解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；（2）当x＝＞1时，y随x的增大而减小；（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．【分析】（1）先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到物线的顶点坐标，对称轴；（2）根据二次函数的性质求解；（3）先设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，再根据抛物线与x轴的交点问题求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（b2，0），利用两交点间的距离可计算出b【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，所以抛物线的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1；（2）当x＞1时，y随x的增大而减小；故答案为＞1；（3）因为平移后的抛物线过原点，所以设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2=所以平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（b2所以|b2|＝4，解得b所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．（1）求平移后的抛物线C的解析式；（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且−12＜x1＜x2，试比较y1，【分析】（1）求得A的坐标，然后根据平移的规律即可求得；（2）根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合，∴平移后的抛物线C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下，故当−12＜x1＜x2，y1＞【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=−1【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）平移方法有：①向下平移5个单位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，∵顶点坐标（2，1）；∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；②向左平移2.5个单位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=−1∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（−1【知识点5】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【题型5利用对称变换确定二次函数解析式】【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．【解答】解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴a+b−3=09a−3b−3=0解得：a=1b=2∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，∴D′（﹣1，4），∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABC=1过点M作MN∥x轴，交DD′于N，∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），∴直线DD′为y＝﹣4x，设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m2+2m−34，﹣m2∴MN=m2+2m−3∴S△DD′M=12×m2−2m−3∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，∴m2﹣2m﹣3＝6．解得：m＝1±10．当m＝1+10时，﹣m2﹣2m+3＝﹣410当m＝1−10时，﹣m2﹣2m+3＝410∴M（1+10，﹣410−10）或（1−10【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．【分析】求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可．【解答】解：抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．所以其顶点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（1，2），所以，抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）计算自变量为﹣3、0对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；（3）利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；当x＝0时，y＝﹣3；所以当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0，故答案为﹣4≤y＜0；（3）∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的顶点为（﹣1，﹣4），a＝1∴该函数的图象沿x轴翻折后得到的函数图象顶点为（﹣1，4），a＝﹣1∴翻折后得到的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，故答案为y＝﹣（