第四章对数运算与对数函数全章总结提升课件高一上学期数学北师大版

第四章对数运算与对数函数全章总结提升北师大版

数学

必修第一册网络构建·归纳整合专题突破·素养提升目录索引

易错易混·衔接高考网络构建·归纳整合专题突破·素养提升专题一对数运算本专题主要考查对数与指数的互化,对数的运算性质、对数恒等式以及换底公式等,要会利用运算性质进行化简、计算、证明等,重点提升数学运算素养.【例1】

★(1)已知log152=a,b=log35,则log12518=

.

规律方法

对数的运算应遵循的原则(1)统一底数:借助换底公式,化异底为同底.(2)运用性质:熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式进行对数计算、化简、证明.(3)检验等价性:对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价.变式训练1(1)计算80.25×+log32×log2(log327)的值为

.

111★(2)[2024上海杨浦高一期中]若logax=2,logbx=3,logcx=6,则logabcx的值为

.

1专题二比较大小比较大小是对数函数性质应用的一个重要体现,要掌握数的大小比较方法,会根据数据信息构造函数并能借助相应函数的图象及性质比较数的大小,不断提升数学建模和逻辑推理素养.【例2】

(1)设函数f(x)=,若a=f(log32),b=f(log52),c=f(20.2),则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b

D.b<a<cC解析

根据题意,函数f(x)=在(0,+∞)上为减函数,又由0<log52<log32<1<20.2,则f(20.2)<f(log32)<f(log52),即c<a<b.故选C.(2)若a>b>1,0<c<1,则(

)A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac D.logac<logbcC解析

对于选项A,考虑幂函数y=xc,因为c>0,所以y=xc为增函数,又a>b>1,所以ac>bc,A错误.对于选项B,abc<bac⇔

是减函数,所以B错误.对于选项D,由对数函数的性质可知D错误.经验证,C正确.规律方法

数的大小比较常用方法(1)对数式的比较,可将其看成某个对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.(2)幂、指数、对数函数值的大小比较:先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于或等于0且小于或等于1”“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.变式训练2已知a=log0.30.2,b=log32,c=0.03-0.2,则(

)A.a=b<c B.b<a<cC.c<b<a D.b<c<aA专题三对数函数的图象及其应用对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.本专题重在提升直观想象和逻辑推理素养.【例3】

(1)已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是(

)C★(2)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(

)A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}C解析

作出函数y=log2(x+1)图象如图.∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.规律方法

对数函数图象识别及应用(1)识别:注意函数图象上的特殊点及函数自身的性质(定义域、单调性、对称性、最值等),同时运用图象平移、对称、翻折等知识加以筛选.(2)应用:借助对数函数的图象可以求图象的交点个数、函数的最值、解不等式等.变式训练3(1)[2024山东滨州高一期末]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数与图象对应正确的为(

)D解析

∵函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,(2)函数

与y=log2x的图象的交点个数为(

)A.0 B.1 C.2

D.无数B由图知它们的图象有1个交点.专题四对数函数的性质及其应用1.本专题主要考查以对数函数的性质为依托,结合运算考查对数函数的图象性质,以及利用性质解不等式等问题的能力.2.在解含对数式的方程或解不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.3.本专题重点提升数学运算和逻辑推理素养.【例4】

已知函数f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若f(x)>0,求x的取值范围.所以函数的定义域为(-10,10).(2)函数的定义域关于原点对称,则f(-x)=loga(10-x)-loga(10+x)=-[loga(10+x)-loga(10-x)]=-f(x),即函数f(x)是奇函数.(3)若f(x)>0,则f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)>0,即loga(10+x)>loga(10-x).解得0<x<10;解得-10<x<0,即当a>1时,x的取值范围为(0,10),当0<a<1时,x的取值范围为(-10,0).规律方法

求解与对数函数有关的复合函数的问题时,需要弄清楚三个方面的问题:(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;(2)底数与1的大小关系;(3)复合函数的构成,如y=logaf(x)是由y=logau与u=f(x)构成的.变式训练4[2024江苏南京模拟]已知函数f(x)=|lgx-1|.(1)解关于x的不等式:f(x)<1;(2)若f(a)=f(b)(a≠b),求

的最小值.解

(1)由题意可得|lg

x-1|<1,即-1<lg

x-1<1,即0<lg

x<2,即lg

1<lg

x<lg

100,解得1<x<100,所以不等式的解集为(1,100).(2)设a<b,因为函数在(0,10)内单调递减,在(10,+∞)内单调递增,要使f(a)=f(b),即|lg

a-1|=|lg

b-1|,即1-lg

a=lg

b-1,即lg

a+lg

b=2,易错易混·衔接高考1234561.[2024河北石家庄一模]已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|y=log2(x-1)},则A∪B=(

)A.(-1,1) B.(-1,3)C.(-1,+∞) D.(1,+∞)C解析

解不等式x2-x-2<0,得-1<x<2,即A=(-1,2),由函数y=log2(x-1)有意义,得x-1>0,解得x>1,则B=(1,+∞),所以A∪B=(-1,+∞).123456B1234561234561234563.[2024广东广州模拟]函数y=(|x|+1)ln|x|的图象大致为(

)B解析

根据题意,设f(x)=(|x|+1)ln|x|,其定义域为{x|x≠0},有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,排除A;当0<x<1时,ln|x|<0,|x|+1>0,所以y=(|x|+1)ln|x|<0,排除C,D.故选B.1234561234564.[2024河南新郑一模]已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1),若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是(

)A.[0,1] B.(0,1)C.(1,+∞) D.[0,+∞)A1234565.[2024江西九江模拟](多选题)已知a>0且a≠1,满足ax=2,ay=8,则(

)A.若a=2,则x+y=4B.若x+y=1,则a=16C.若a>2,则x+y<4D.若x+y<1,则a>16ABC解析

∵ax=2,ay=8,∴x=loga2,y=loga8,∴x+y=loga2+loga8=loga16.对于A,若a=2,则x+y=loga16=log216=4,故A正确;对于B,若x+y=1,则loga16=1,所以a=16,故B正确;对于C,若a>2,则x+y=loga16<log216=4,故C正确;对于D,若x+y<1,则loga16<1=logaa,所以0<a<1或a>16,故D错误.1234566.[2024山东威海高一期末]已知函数f(x)=(log2x-2)(log2x-1).(1)求不等式f(