新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式13基本不等式的应用课件湘教版必修第一册

2.1.3基本不等式的应用第2章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能够利用基本不等式求代数式的最值.(数学运算)2.能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.(数学建模)课前篇自主预习知识梳理知识点:利用基本不等式求最值已知x,y都为正数,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值名师点析

利用基本不等式求最值的注意事项在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.2,产生错误的原因是这里的x不一定为正数.只有各项为正数时才能利用基本不等式.二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.例如:另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致.微思考填写下面的表格:x+y101010101010101010x(x>0)123456789y(y>0)987654321xy

xy111111111x(x>0)

12345y(y>0)

x+y

根据以上表格,并结合基本不等式分析:(1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么?(2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么?微练习已知x>0,y>0.(1)若xy=4,则x+y的最小值是

;

(2)若x+y=4,则xy的最大值是

.

答案

(1)4

(2)4课堂篇探究学习探究一利用基本不等式求代数式的最值1.通过变形后应用基本不等式求最值例1求下列代数式的最值,并求出相应的x值.反思感悟

利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第三章学习).

C.最大值1 D.最小值1答案

D2.应用“1”的代换转化为基本不等式求最值

答案

4解析

∵正数a,b满足a+b=1,反思感悟

利用基本不等式求条件最值问题时,若所给条件为ax+by=1或可化为ax+by=1及

=1(其中a,b为常数,x,y为变量),可利用“1”的结构,将待求式子的结构进行调整,优化为可以直接利用基本不等式求最值的式子.答案

1探究二利用基本不等式解决实际应用中的最值问题例3(2020北京高一月考)党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过建造沼气池带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米、容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,怎样设计沼气池才能使总造价最低?最低总造价是多少元?解

设沼气池底面的一边长为x米,沼气池的总造价为y元,因为沼气池的深为2米,容积为32立方米,所以底面积为16平方米,因为底面的一边长为x米,反思感悟

应用基本不等式解决实际问题的思路与方法(1)理解题意,设出变量.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.(4)根据实际背景写出答案.变式训练2如图,某人要围成相同的四个长方形菜园,一面可利用原有的墙,其他各面用篱笆围成.现有36m长的篱笆材料,每个菜园的长、宽分别设计为多少时,可使每个菜园面积最大?解

设每个菜园长x

m,宽y

m,则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每个菜园的面积为S,则S=xy.素养形成基本不等式的变形技巧技巧一:裂项

分析先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号).技巧二:添项

分析当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.技巧三:放入根号内或两边平方

分析求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一个根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.当堂检测答案

A2.(2021湖北直辖县级行政单位高一期末)已知a,b均为正实数,且a+2b=3ab,则2a+b的最小值为(

)A.3 B.4 C.6 D.9答案

A3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为

.

4.(2021安徽宿州高一期末)某电商自营店,其主打商品每年需要6000件,每年n次进货,每次购买x件,每次购买商品需手续费300元,已购进未卖出的商品要付库存费,可认为平均库存量为,每件商品