北师大版七年级数学下册举一反三系列专题1.7整式的乘除章末八大题型总结(拔尖篇)同步学案(学生版+解析)

专题1.7整式的乘除章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1巧用幂的运算逆向运算】 1【题型2整式乘法中不含某项问题】 1【题型3多项式乘法中的规律性问题】 2【题型4巧用乘法公式求值】 3【题型5乘法公式的几何背景】 4【题型6整式的乘除中的新定义问题】 7【题型7整式运算中的定值问题】 7【题型8整式运算中的整除问题】 9【题型1巧用幂的运算逆向运算】【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，（1）2c−b=（2）a，b，c之间满足的等式关系为．【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知常数a，b满足2a×22b=8【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知xn=2，（1）(xy)2n的值为（2）若x3n+1⋅y3n+1=64【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整数），则m=n(1)如果2×4x×(2)如果3x+2+3【题型2整式乘法中不含某项问题】【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展开了下面的讨论：小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；小新：这道题与y的值无关，可以求解；根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知x2+mx−32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式2x+5y32x−5y3−mx−3【题型3多项式乘法中的规律性问题】【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为．

【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝．（2）a+bn（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期．【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是．

【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：(x−1)(x+1)=x(x−1)x(x−1)（1）根据以上规律，(x−1)xn−1+（2）利用（1）的结论，求1+5+5【题型4巧用乘法公式求值】【例4】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题(1)已知a+1a=5(2)计算：2−2(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3【变式4-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是．【变式4-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x−y=−1，则：（1）x+y=．（2）求x，【变式4-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知a−ba+b(1)2−12+1(2)求2+12(3)求23+1【题型5乘法公式的几何背景】【例5】（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）【知识生成】【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到a+b2【直接应用】（1）若x+y=3，x2+y【类比应用】（2）填空：①若x3−x=1，则x②若x−3x−4=1，则x−3【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若AD=16，S△AOC

【变式5-1】（2023春·全国·八年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为．【变式5-2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数间刻时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题．构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式（填选项即可）；

A．a2−2ab+b2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①若x2−9y2=12,x+3y=4②计算：20192−2020×2018=构图二：如图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为1的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．

构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形MNPQ与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为a(a+4b)，正方形MNPQ的边长为a，则八边形ABCDEFGH的面积为．

【变式5-3】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到a+b(1)写出由图2所表示的数学等式：________________________．(2)根据上面的等式，如果将a−b看成a+−b，直接写出n−1n+12(3)已知实数a、b、c，满足以下两个条件：a2+b2+【题型6整式的乘除中的新定义问题】【例6】（2023上·北京丰台·八年级统考期末）设a，b是任意有理数，定义一种新运算：a∗b=a−b2．下面有四个推断：①a∗b=b∗a；②a∗b=a2−b2；③A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③【变式6-1】（2023·重庆·八年级统考期中）已知x，y均为有理数，现定义一种新运算“”，满足下式：x∗y=x(1)求出2∗(−4)的值．(2)化简(a−b)∗(a+b)2，并求出当【变式6-2】（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）定义运算a∗b=ab+a+b，比如1∗2=1×2+1+2=5，1∗a=1×a+1+a=2a+1，那么关于“*”运算，以下等式成立的是．①a∗b=b∗a；

②a+1∗b=a∗b+1∗b；

③【变式6-3】（2023春·湖南怀化·八年级溆浦县第一中学校考期中）配方法是数学中重要的一种方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形以及解决代数式最大、最小值等问题中.定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，解决问题：(1)已知13、28、37三个数中，“完美数”是_________________.(2)请将x2(3)试问当k为何值时，S=x2+4y2+4x−12y+k（【题型7整式运算中的定值问题】【例7】（2023春·江苏苏州·八年级期中）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系．如图，大长方形GMAN由5个全等的长为a，宽为b的小长方形和另外两个长方形拼成．记其中长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2，设CD=x，且当x>b时，不论x取何值，S1−S2为定值，则【变式7-1】（2023上·浙江杭州·七年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为①小长方形的较长边为y−12；②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为x−y+4；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式7-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）将4块相同的小长方形绿化带按如图所示的方式不重叠的放在长方形花坛ABCD内AD>AB，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形面积分别为S1，S2，已知小长方形绿化带的长为a米，宽为b米，且(1)当AD=20米时，请用含a，b的式子分别表示S1=米2，S2=米2，S(2)由于空间有限，花坛的短边AB长度为定值，而花坛的长边AD可以延伸，将这4块小长方形绿化带按同样的方式放在新的长方形花坛ABCD内，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积S1=S2，求【变式7-3】（2023下·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）阅读理解，若x满足30−xx−10=160，求解：设30−x=a，x−10=b，则30−xx−10a+b=30−x30−x2归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．解决问题：(1)若x满足2021−xx−2016=2，则(2)若x满足2021−x2+x−2018(3)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？【题型8整式运算中的整除问题】【例8】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'．把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为Fn，例如：n=23时，n'=32，F23=2332−322311=−81．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+y（1≤b<a≤9，1≤x，y≤9，且a，b，x，y为整数）．若Fs能被7整除，则a−b的值为【变式8-1】（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）若A、B、C均为整式，如果A⋅B=C，则称A能整除C，例如由x+3x−2=x2+x−6，可知x−2能整除x2+x−6．若已知x−3A．−73 B．−23 C．【变式8-2】（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）已知：整式A=m+1，B=m−1，(1)A⋅B+1的值可能为负数吗？请说明理由；(2)请通过计算说明：当m是整数时，A2【变式8-3】（2023下·贵州贵阳·七年级校联考学业考试）因为x+3x−2=x2+x−6，所以x2+x−6÷x−2=x+3．这说明x2+x−6能被（1）由x−2x+1=x2−x−2可知，当x=（2）一般地，如果一个关于字母x的多项式M,当x=a时，M的值为0，那么M与代数式x−a之间有一定的关系，这种关系是：_____；（3）已知关于x的多项式x2+kx−10能被x−2整除，试求专题1.7整式的乘除章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1巧用幂的运算逆向运算】 1【题型2整式乘法中不含某项问题】 4【题型3多项式乘法中的规律性问题】 6【题型4巧用乘法公式求值】 9【题型5乘法公式的几何背景】 14【题型6整式的乘除中的新定义问题】 20【题型7整式运算中的定值问题】 24【题型8整式运算中的整除问题】 29【题型1巧用幂的运算逆向运算】【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）已知2a=3，2b（1）2c−b=（2）a，b，c之间满足的等式关系为．【答案】2a+c=2b【分析】（1）逆用同底数幂除法法则计算即可；（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理即可．【详解】解：（1）∵2b=6，∴2c−b故答案为：2；（2）∵2a×2c=∴2a+c∴a+c=2b,故答案为：a+c=2b．【点睛】本题主要考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知常数a，b满足2a×22b=8【答案】2【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵2a∴2a+2b∴a+2b=3，∵(5a∴52a+4b−3ab∴2a+4b−3ab=0，∴2a+2b∴2×3−3ab=0，解得：ab=2．【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知xn=2，（1）(xy)2n的值为（2）若x3n+1⋅y3n+1=64【答案】368【分析】1利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果；2利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．【详解】解：(1)∵xn=2∴(xy)=x=(x=2=4×9=36，故答案为：36；(2)∵x∴x∴(x∵xn=2∴2∴xy=8故答案为：827【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整数），则m=n(1)如果2×4x×(2)如果3x+2+3【答案】(1)x=5(2)x=2【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．【详解】（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．【题型2整式乘法中不含某项问题】【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x【答案】9．【分析】根据展开式中不含x2和x3项，即x2【详解】解：(x=x4=x4根据展开式中不含x2和xn−3=0m−3n+3=0解得，n=3m=6m+n=9，故答案为：9．【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组，解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为0列方程组．【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展开了下面的讨论：小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；小新：这道题与y的值无关，可以求解；根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？【答案】小新的说法正确，原因见解析【分析】根据平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简即可得到答案．【详解】解：2x−y=4x=−4x∴这道题与y的值无关，可以求解，∴小新的说法正确．【点睛】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，熟知整式的相关计算法则是解题的关键，注意去括号的时候的符号问题．【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知x2+mx−32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn【答案】6【分析】根据多项式乘多项式运算法则进行化简，然后令含x的一次项的系数为零以及常数项为−6即可求出答案．【详解】解：x=2=2x∵x2+mx−32x+n∴mn−6=0−3n=−6∴mn=6．故答案为：6．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式2x+5y32x−5y3−mx−3【答案】m=2，n=−12或m=−2，n=12．【分析】先对原式进行化简，然后根据代数式的值与x的取值无关令含x的项的系数为0，分情况求出m、n的值即可．【详解】解：原式=4=4=4−∵代数式2x+5y32x−5∴4−m2=0∴m=±2，当m=2时，由6m+n=0可得12+n=0，解得：n=−12，当m=−2时，由6m+n=0可得−12+n=0，解得：n=12，∴m=2，n=−12或m=−2，n=12．【点睛】本题考查了整式的混合运算，求一个数的平方根，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．【题型3多项式乘法中的规律性问题】【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为．

【答案】144【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案．【详解】第①个图形中星星的颗数4=2+1×2；第②个图形中星星的颗数11=2+3+2×3；第③个图形中星星的颗数21=2+3+4+3×4；第④个图形中星星的颗数34=2+3+4+5+4×5；……∴第n个图形中星星的颗数=2+3+4+5+⋯+n+=2+n+1=3∴当n=9时，32∴第⑨个图形中的星星颗数为144颗，故答案为：144【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键．【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝．（2）a+bn（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期．【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）n+1,2【分析】（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可；（2）直接根据得出的规律即可求解；（3）利用规律计算原式即可得到结果；（4）由8100=7+1【详解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）∵a+bn∴a+bn的展开式共有n+1项，从规律可发现系数和为2（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；（4）8100=根据规律可知，7+1100∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三．【点睛】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是．

【答案】2【分析】图（1）中只有一层，有4×0+1一个正方体，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有4×1+1个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有4×2+1，依此类推出第n层正方体的个数，即可推出当有n层时总的正方体个数．【详解】解：经分析，可知：第一层的正方体个数为4×0+1，第二层的正方体个数为4×1+1，第三层的正方体个数为4×2+1，……第n层的个数为：4n−1第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为：1+=n+4=n+4×=n+2n=2n故答案为：2【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方体共增加了4n−1+1个，将【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：(x−1)(x+1)=x(x−1)x(x−1)（1）根据以上规律，(x−1)xn−1+（2）利用（1）的结论，求1+5+5【答案】（1）xn−1【分析】（1）仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数减1，根据此规律就可求出本题.（2）不难看出所求式子是材料中等号左边式子的一个因式，将所求式子转化成(x−1)x【详解】（1）(x−1)xn−1+所以(x−1)xn−1+（2）1+5+=14（5-1）（1+5+=5【点睛】仔细观察式子，总结出运算规律，是解决此类题的关键.【题型4巧用乘法公式求值】【例4】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题(1)已知a+1a=5(2)计算：2−2(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3【答案】(1)a(2)6(3)d−b=757【分析】（1）利用完全平方公式变形计算即可；（2）将原式变形为220（3）根据已知条件得出a=b4a4=b2a22，c=d2c2=dc2，根据c−a=19，得出dc+b2a2dc−b2a2=19，根据a，b，【详解】（1）解：∵a+1∴a2（2）解：2−======⋅⋅⋅==4+2=6．（3）解：∵a5∴a=b∵c3∴c=d∵c−a=19，∴dc即dc∵a，b，c，d都是正整数，又∵a=b4a∴b2a2∴dc∵dc∴dc∵dc∴dc+b∴dc∴dc即d=10c，∵dc∴b2即b2∵a，b，c，d都是正整数，∴b=3a，∵d=10c，b=3a，a5=b∴c3解得：c=100，则d=10c=1000，∵c−a=19，∴a=c−19=100−19=81，∴b=3a=243，∴d−b=1000−243=757．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，数字规律计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，准确计算．【变式4-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是．【答案】4【分析】根据题意原式可化为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再应用完全平方公式可化为（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．【变式4-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x−y=−1，则：（1）x+y=．（2）求x，【答案】−4x=−52【分析】由x2+xy−y2+xy可得x+yx−y=4，再根据x−y=−1，可得【详解】解：∵x2+xy=10，∴x2+xy−∴x+yx−y∵x−y=−1，∴x+y=−4，可得x+y=−4x−y=−1，解得：即：x，y的值分别为x=−52，故答案为：−4；x=−52，【点睛】本题考查平方差公式及其变形，由x2+xy−【变式4-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知a−ba+b(1)2−12+1(2)求2+12(3)求23+1【答案】(1)15(2)232－1(3)0【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）添加上(2−1)，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；（3）根据（2）的规律，多次利用平方差公式即可得出答案．【详解】（1）解：(2−1)(2+1)(2故答案为：15；（2）(2+1)(=(2−1)(2+1)(=(=(=(=(=2（3）2(3+1)(=(3−1)(3+1)(=(=(=(=(=(=3∵31=3，32=9，33=27可知3n的个位数呈3、9、7、1...64÷4=16，∴3∴3即2(3+1)(3【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．【题型5乘法公式的几何背景】【例5】（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）【知识生成】【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到a+b2【直接应用】（1）若x+y=3，x2+y【类比应用】（2）填空：①若x3−x=1，则x②若x−3x−4=1，则x−3【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若AD=16，S△AOC

【答案】（1）xy=2；（2）①7；②3；（3）30．【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案；（2）①设x=m，3−x=n，则mn=1，m+n=3，由x2②设x−3=a，x−4=b，则ab=x−3x−4=1，a−b=1（3）设AO=p，DO=q，由题意可得，p+q=16，p2+q2=136【详解】解：（1）∵x+y=3，∴x+y2∴x2∵x2∴xy=9−5答：xy=2；（2）①设x=m，3−x=n，则mn=1，m+n=3，∴==9−2=7，故答案为：7；②设x−3=a，x−4=b，则ab=x−3x−4=1∴=1+2=3，故答案为：3；（3）设AO=p，DO=q，∵AD=16，S△AOC∴p+q=16，12即p+q=16，p2∴2pq==16即pq=60，∴S答：一块直角三角板的面积为30．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．【变式5-1】（2023春·全国·八年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.【分析】（1）①根据面积差可得结论；②根据图形可以直接得结论；（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案为9．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．【变式5-2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数间刻时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题．构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式（填选项即可）；

A．a2−2ab+b2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①若x2−9y2=12,x+3y=4②计算：20192−2020×2018=构图二：如图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为1的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．

构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形MNPQ与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为a(a+4b)，正方形MNPQ的边长为a，则八边形ABCDEFGH的面积为．

【答案】构图一：（1）B；（2）①3；②1；构图二：x3−x=x(x−1)(x+1)【分析】构图一：（1）根据图1和图2中阴影部分的面积不变，数形结合列出代数式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式变形，再整体代入求解；构图二：根据体积不变求解；构图三：先求出小长方形的短边，再求解．【详解】解：构图一：（1）图1中阴影部分的面积为：a2−b2，图2中阴影部分的面积为：故选：B；（2）①∵x2−9∴x−3y=3，故答案为：3；②20192故答案为：1；构图二：根据体积不变得x3构图三：由题意知小长方形的短边为b，∴八边形ABCDEFGH的面积为a(a+4b)+2b故答案为：a2【点睛】本题考查了根据几何图形列代数式，平方差公式的几何背景，数形结合，掌握列代数式准确表示题中几何图形关系是解题的关键．【变式5-3】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到a+b(1)写出由图2所表示的数学等式：________________________．(2)根据上面的等式，如果将a−b看成a+−b，直接写出n−1n+12(3)已知实数a、b、c，满足以下两个条件：a2+b2+【答案】(1)a+b+c(2)n−1n+1(3)2或6．【分析】（1）把大正方形面积和小矩形面积之和表示出来，根据大正方形面积也等于各个小矩形面积之和写出相应关系式；（2）根据提示可得n−1n+12=（3）运用换元法，简化计算，有助于快速解出题目．【详解】（1）大正方形面积＝a+b+c2，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和即：a∴a+b+c2故答案为：a+b+c2（2）根据（1）中公式，n−=n2由题意得：n−1∵n2∴n−1∴n−1∴n−1∴n−1（3）∵a2∴a+12令A＝a＋1，B＝b−2，C＝c＋3，可得A2∴a＝A−1，b＝B＋2，c＝C−3，∴a＋b−c＝A−1＋B＋2−（C−3）＝A＋B−C＋4，（a＋1）（c＋3）＋（b−2）（c＋3）＝（a＋1）（b−2）变形得，A⋅C＋∴A+B−C2＝A∴A＋B−C＝−2或2，∴a＋b−c＝A＋B−C＋4＝2或6．【点睛】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键．【题型6整式的乘除中的新定义问题】【例6】（2023上·北京丰台·八年级统考期末）设a，b是任意有理数，定义一种新运算：a∗b=a−b2．下面有四个推断：①a∗b=b∗a；②a∗b=a2−b2；③A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③【答案】D【分析】各式利用题中的新定义结合完全平方公式判断即可．【详解】解：根据题中的新定义得：①∵a∗b=a−b2，∴a∗b=b∗a，故①正确；②∵a∗b=a−b∴②错误；③∵−a∗b=−a−b2∴−a∗b=a∗④∵a∗b+c=a−∴a∗b+c综上，正确的是①③．【点睛】本题考查了完全平方公式，正确理解新定义、熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式6-1】（2023·重庆·八年级统考期中）已知x，y均为有理数，现定义一种新运算“”，满足下式：x∗y=x(1)求出2∗(−4)的值．(2)化简(a−b)∗(a+b)2，并求出当【答案】(1)10(2)−4ab+2，10【分析】（1）根据新运算代入计算即可；（2）根据新运算整体代换，化简求值即可．【详解】（1）解：∵x∗y=∴2∗（2）解：原式=a−b===−4ab+2当a=−2，b=1时，原式=−4×=10【点睛】本题考查新定义下的有理数运算和整式化简求值，完全平方公式，正确理解新定义下的运算方式和掌握相关运算法则和公式是解题的关键．【变式6-2】（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）定义运算a∗b=ab+a+b，比如1∗2=1×2+1+2=5，1∗a=1×a+1+a=2a+1，那么关于“*”运算，以下等式成立的是．①a∗b=b∗a；

②a+1∗b=a∗b+1∗b；

③【答案】①③/③①【分析】根据新运算的定义、整式的加法与乘法法则进行计算，逐个判断即可得．【详解】解：a∗b=ab+a+b，b∗a=ba+b+a=ab+a+b，则等式①成立；a+1∗b=a∗b+1∗b=ab+a+b+1⋅b+1+b=ab+a+3b+1，则等式②不成立；a∗b==abc+ac+bc+ab+a+b+c，a∗=a=abc+ab+ac+a+bc+b+c，则等式③成立；综上，等式成立的是①③，故答案为：①③．【点睛】本题考查了整式的加法与乘法，理解新运算的定义是解题关键．【变式6-3】（2023春·湖南怀化·八年级溆浦县第一中学校考期中）配方法是数学中重要的一种方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形以及解决代数式最大、最小值等问题中.定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，解决问题：(1)已知13、28、37三个数中，“完美数”是_________________.(2)请将x2(3)试问当k为何值时，S=x2+4y2+4x−12y+k（【答案】(1)13和37；(2)x−22(3)当k=13时，S是“完美数”，理由见解析【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）配方后根据非负数的性质可得x−22（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论．【详解】（1）解：∵13=22+∴13和37是“完美数”，故答案为：13和37；（2）∵x2∴x2又∵x−22∴x−22∴x2（3）解：当k=13时，S是“完美数”，理由如下：S===∵x，y是整数，∴x+2，2y−3也是整数，∴S是一个“完美数”．【点睛】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．【题型7整式运算中的定值问题】【例7】（2023春·江苏苏州·八年级期中）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系．如图，大长方形GMAN由5个全等的长为a，宽为b的小长方形和另外两个长方形拼成．记其中长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2，设CD=x，且当x>b时，不论x取何值，S1−S2为定值，则【答案】a=2b【分析】根据图形，将S1和S2的表达式写出，根据“当x>b时，不论x取何值，S1【详解】解：根据题意可得：AB=x,bc=2b,HE=a,EF=DF−DE=a+x−3b∴S1S2∴S=2bx−=2b−a∵当x>b时，不论x取何值，S1∴2b−a=0，即a=2b．【点睛】本题主要考查了正数的混合运算，列代数式，解题的关键是根据图形，列出正确代数式．【变式7-1】（2023上·浙江杭州·七年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为①小长方形的较长边为y−12；②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为x−y+4；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为y−12cm，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为2x−y+4cm，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为22x+4，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为xy−20y+240【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，∴小长方形的长为y−3×4=y−12∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为y−12cm∴阴影A的较短边为x−2×4=x−8阴影B的较短边为x−y−12∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−8+x−y+12=2x−y+4∵阴影A的较长边为y−12cm，较短边为x−8阴影B的较长边为3×4=12cm∴阴影A的周长为2y−12+x−8阴影B的周长为212+x−y+12∴阴影A和阴影B的周长之和为2x+y−20∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；∵阴影A的较长边为y−12cm，较短边为x−8阴影B的较长边为3×4=12cm∴阴影A的面积为y−12x−8阴影B的面积为12x−y+12∴阴影A和阴影B的面积之和为xy−12x−8y+96+12x−12y+144=xy−20y+240当x=20时，xy−20y+240=240cm综上所述，正确的说法有①③④，共3个，【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．【变式7-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）将4块相同的小长方形绿化带按如图所示的方式不重叠的放在长方形花坛ABCD内AD>AB，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形面积分别为S1，S2，已知小长方形绿化带的长为a米，宽为b米，且(1)当AD=20米时，请用含a，b的式子分别表示S1=米2，S2=米2，S(2)由于空间有限，花坛的短边AB长度为定值，而花坛的长边AD可以延伸，将这4块小长方形绿化带按同样的方式放在新的长方形花坛ABCD内，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积S1=S2，求【答案】(1)40b−2ab，20a−2ab，40b−20a(2)a=2b【分析】（1）由题意可得，根据长方形面积公式表示S1和S2，即可得（2）设AD=y，由题意可得，根据长方形面积公式表示S1和S2，使S1=S【详解】（1）解：由题意可得：S1的长边为AD−a，S1的短边为2b，S2的长边为AD−2b，S根据长方形面积公式得S1S2那么S1故答案为：40b−2ab；20a−2ab；40b−20a．（2）解：设AD=y，由题意可得，S1的长边为AD−a，S1的短边为2b，S2的长边为AD−2b，S根据长方形面积公式得：S1S2因为S1=S即a=2b，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积S1=S2，a，【点睛】此题考查了整式的乘法法则以及列代数式等问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式7-3】（2023下·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）阅读理解，若x满足30−xx−10=160，求解：设30−x=a，x−10=b，则30−xx−10a+b=30−x30−x2归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．解决问题：(1)若x满足2021−xx−2016=2，则(2)若x满足2021−x2+x−2018(3)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？【答案】(1)21(2)−(3)364平方单位【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可．（2）根据题意可得，a2+b2=2020，a+b=（3）根据题