第二讲分式根式及其运算讲义高一上学期数学暑假初高中衔接

第二讲分式、根式及其运算知识点讲解：1．知识巩固（1）二次根式的定义一般地，形如的式子叫做二次根式．（2）二次根式性质：①②③④（3）分式形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式．（4）分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．用式子表示为：．（5）无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式．例如：，是无理式，而不是无理式．（6）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式．例如：．（7）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式．常用的有理化因式有：①与．②与．（8）繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式．如：或等．繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算．2．运算法则1．根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件：（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；（3）被开方数不含分母．把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如，．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号．2．n次根式实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果，那么x叫做a的n次方根．例如，由于和，我们把2或叫做16的4次方根．当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示，也可以把两个方根合起来写作．例如，，，合起来写作．类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内．3．分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高．分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式．分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步．4．繁分式像，，…这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像，，…这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，

例题讲解：例1.分式化简：．例2.化简：．例3.化简：．例4.化简：．例5.阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：。以上这种化简的步骤叫做分母有理化．参照上面的方法化简：．例6.“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由解得，即．根据以上方法，化简．例7.观察下列等式第1个等式：；第2个等式；第3个等式；第4个等式．按上述规律，回答以下问题（1）请写出第5个等式；（2）写出你猜想的第为正整数）个等式（用含的等式表示），并利用上述规律计算．（3）设实数，满足，求的值．例8.阅读下列解题过程：；．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①；②；（2）应用：求的值；（3）拓广：．例9.观察下列一组等式，然后解答后面的问题，，（1）观察上面规律，计算下面的式子（2）利用上面的规律比较与的大小．例10.化简：．变式练习：1．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：甲：；乙：设有理数，满足：，则；丙：；丁：已知，则；戊：．以上结论正确的有A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁2．3．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分．的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：，；（2）找一组正整数、、、填空：；（3）化简．4．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，．那么便有：，问题解决：化简：，解：首先把化为，这里，，由于，，即，．，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用（3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．5．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：，，，，，．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简．（2）若．求：①求的值．②直接写出代数式的值；．6．先化简，再求的值；其中满足，且为偶数．7．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）．如：；再如：．解决下列问题：（1）分式是分式（填“真分式”或“假分式”；（2）假分式可化为带分式的形式；（3）如果分式的值为整数，那么的整数值为．8．化简：．9．化简：．10．计算（1）；（2）；（3）．11．化简：．

答案与解析例题讲解：例1.分式化简：．【答案】．【分析】先把除法变成乘法然后约分，再计算分式减法即可．【解答】解：．例2.化简：．【答案】【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．【解答】解：．例3.化简：．【答案】【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．【解答】解：．例4.化简：．【答案】．【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．【解答】解：．例5.阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．参照上面的方法化简：．【分析】分子、分母同时乘以即可．【解答】解：．故答案为：．例6.“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由解得，即．根据以上方法，化简．【答案】．【分析】设，计算，利用平方根的意义求得，再利用分母有理化的法则化简即可．【解答】解：设，，．．．原式．例7.观察下列等式第1个等式：；第2个等式；第3个等式；第4个等式．按上述规律，回答以下问题（1）请写出第5个等式；（2）写出你猜想的第为正整数）个等式（用含的等式表示），并利用上述规律计算．（3）设实数，满足，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）0．【分析】（1）根据题中等式得出结论；（2）根据题中等式猜想得出结论，再根据结论求值；（3）先根据题中方法变形划去分母，再利用等式的性质计算．【解答】解：（1），故答案为：；（2）；；（3），①，②，①②得：，．例8.阅读下列解题过程：；．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①；②；（2）应用：求的值；（3）拓广：．【分析】（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；（2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；（3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案．【解答】解：（1）①；②；故答案为：；；（2）；（3）．故答案为：．例9.观察下列一组等式，然后解答后面的问题，，（1）观察上面规律，计算下面的式子（2）利用上面的规律比较与的大小．【分析】（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；（2）根据上面的规律可以比较与的大小．【解答】解：（1）；（2），，又，，即．例10.化简：．【解答】解：变式练习：1．【答案】【分析】读懂题意，利用分母有理化计算并判断即可．【解答】解：，甲正确；，，，解得，，乙错误；，，，丙正确；已知，，，，则，丁错误；，戊正确，正确的有甲丙戊，故选：．2．【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：．故答案为．3．【答案】（1），；（2）21，4，1，2；（3）．【分析】（1）将用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；（2）设，则，比较完全平方式右边的值与，可将和用和表示出来，再给和取特殊值，即可得答案；（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．【解答】解：（1），，，，故答案为：，．（2）设．则．，，若令，，则，．故答案为：21，4，1，2．（3）．4．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据模型，得，，进而求得和分别为1和，代入求解即可；（2）将原式化为．根据模型，得，，进而求得和分别为和，代入求解即可；（3）根据勾股定理，求得边的长度，再根据模型化简即可．【解答】解：（1），．，，，，．（2）．，，，，，，．（3）．，，，，，，，．5．【答案】（1）5；（2）①4；②0，2．【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；（2）将分母有理化得，移项并平方得到，对①，②的式子进行变形后代入求值．【解答】解：（1）原式；（2）①，，，，；②，，原式；，，原式．故答案为：0，2．6．【分析】由满足，得出，为偶数得出，再进一步化简，代入求得答案即可．【解答】解：满足，，，，且为偶数，，原式．7．【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义判断即可；（2）原式变形，化为带分式即可；（3）分式化为带分式后，即可确定出的整数值．【解答】解：（1）分式是真分式；（2）；（