第03讲二项式定理（教师版）

第03讲二项式定理（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2022年新I卷，第13题,5分两个二项式乘积展开式的系数问题无2020年全国甲卷（理），第8题,5分求指定项的二项式系数无2020年全国丙卷（理），第14题,5分求指定项的系数无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算4.会三项式、乘积式的相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习知识讲解1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即增减性当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大；当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大，最大值为；当n是奇数时，中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1项和第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或二项式系数和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.考点一、求二项展开式的第k项1．（2023·河南·校考模拟预测）的展开式中第3项是.【答案】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式的第项为.故答案为：2．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，第四项为（

）A．160 B． C． D．【答案】D【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.【详解】在的展开式中，第四项为.故选：D.1．（2023·北京·校考模拟预测）在的二项展开式中，第四项为．【答案】【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.【详解】在的二项展开式中，第四项为.故答案为：.2．（2023·全国·高三专题练习）二项式的展开式的常数项为第_____项A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【详解】试题分析：由二项式定理可知,展开式的常数项是使的项,解得为第19项,答案选C.考点：二项式定理考点二、由二项展开式的第k项求参数值1．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】求出，解方程即得解.【详解】解：的展开式的通项，当时，则，解得．故选：A2．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知的展开式的常数项是第7项，则.【答案】8【解析】通过计算通项，令次数为0即可得到答案.【详解】根据题意，可知第7项为，而常数项是第7项，则，故.故答案为：8.【点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题.1．（2023·全国·高三专题练习）若在的展开式中，第4项是常数项，则．【答案】12【分析】写出二项展开式的通项公式，再根据题意可得到，即可求得答案【详解】设展开式中第项为，则，又展开式中第4项是常数项，∴时，，∴故答案为：122．（2022·贵州校联考模拟预测）已知展开式中第5项为常数项，则n＝.【答案】5【分析】由二项式写出展开式通项，根据第5项为常数项求n即可.【详解】由题设，，由第5项为常数项，即时，，可得.故答案为：5考点三、求指定项的二项式系数1．（山东·统考高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】第项的二项式系数为，故选：A.2．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）在二项式的展开式中，项的二项式系数为．【答案】20【分析】写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数.【详解】因为，，1，2，…，6.令，得，所以项的二项式系数为.故答案为：203．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则.【答案】5【分析】根据二项式系数的概念以及组合数的性质可求出结果.【详解】依题意可得，得，即.故答案为：.4．（2022·河北唐山·统考二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（

）A． B．C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是1【答案】AD【分析】求得的值判断选项AB；求得常数项的值判断选项C；求得展开式中所有项的系数和判断选项D.【详解】由，可得，则选项A判断正确；选项B判断错误；的展开式的通项公式为令，则，则展开式的常数项是.选项C判断错误；展开式中所有项的系数和是.判断正确.故选：AD1．（2022·北京通州·潞河中学校考三模）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（

）A．5 B． C．10 D．【答案】A【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数.【详解】解：由题设，，∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）的展开式中含项的二项式系数为.【答案】【分析】写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数．【详解】由题意知：通项为，令，得，所以的展开式中含项为第六项，第六项的二项式系数为：．故答案为：．3．（2022·江苏无锡·统考模拟预测）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（

）A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【分析】易知展开式中，含项的二项式系数为，再利用组合数的性质求解.【详解】解：因为二项式为，所以其展开式中，含项的二项式系数为：，，，，，.故选：B考点四、二项式系数和1．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则.【答案】【分析】根据题意，由二项式系数之和的公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，则.故答案为：2．（2022·四川德阳·统考一模）已知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,则n=.【答案】12【分析】根据后三项二项式系数和为79,建立等式,解出即可.【详解】解:由题知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,所以,即,化简可得:,解得:(舍)或.故答案为:121．（2023·河北张家口·统考二模）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为.（用数字作答）【答案】【分析】利用二项式系数的性质及二项式定理展开式的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，解得，.设展开式中的第项为，令，解得.所以该展开式的常数项为.故答案为：.2．（2023·北京朝阳·二模）已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则，展开式中的系数为.【答案】【分析】由二项式系数和求n，再应用二项式定理写出含的项，即可得结果.【详解】由题意，则，故原二项式为，所以其展开式通项为，当，则，故所求系数为.故答案为：，考点五、二项式系数的增减性和最值1．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（

）A．20 B．160 C．180 D．240【答案】B【分析】写出展开式的通项，根据二项式系数的性质，可知时，二项式系数最大，代入即可得出答案.【详解】展开式的通项为，，二项式系数为，，当时，二项式系数最大，则该项的系数为.故选：B.2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：C3．（2023·陕西西安·校联考一模）设m为正整数，展开式中二项式系数的最大值为a，展开式中二项式系数的最大值为b，若，则展开式中的常数项为．【答案】15【分析】根据条件求出，然后可得答案.【详解】由题可知，．因为，所以，即，解得，故展开式中的常数项为．故答案为：1．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）展开式中二项式系数最大的项的系数为．【答案】【分析】利用二项式系数的单调性结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项的系数.【详解】由二项式系数的基本性质可知展开式中二项式系数最大的项为.因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为.故答案为：.2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）的展开式中二项式系数最大的项是.【答案】/【分析】根据二项式系数的性质即可知最大，由二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】的二项展开式有7项，其二项式系数为，由组合数的性质可知最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是.故答案为：3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是.【答案】【分析】根据二项式系数的性质求n，然后由通项公式可得.【详解】由题可得，，解得，所以.故答案为：考点六、求指定项的系数1．（2023·北京·统考高考真题）的展开式中的系数为（

）．A． B． C．40 D．80【答案】D【分析】写出的展开式的通项即可【详解】的展开式的通项为令得所以的展开式中的系数为故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.2．（北京·统考高考真题）在的展开式中，的系数为（

）．A． B．5 C． D．10【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）的展开式中的系数是．（用数字作答）【答案】35【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.【详解】因为展开式的通项公式为，令，解得，可得，所以的系数是35.故答案为：35.4．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560【答案】B【分析】根据二项式系数的性质求得，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.【详解】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则又因为的展开式的通项公式为，令，所以展开式中的项的系数为．故选：B.1．（2021·天津·统考高考真题）在的展开式中，的系数是．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为：160.2．（天津·统考高考真题）在的展开式中，的系数是．【答案】10【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．3．（2023·天津·统考高考真题）在的展开式中，项的系数为．【答案】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.4．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）的展开式中项的系数为．（用数字作答）【答案】【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出指定项的系数作答.【详解】因为的展开式的通项为，所以项的系数为．故答案为：考点七、由项的系数确定参数1．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知的展开式中的系数是，则.【答案】【分析】结合二项展开式通项，根据的系数可构造方程求得结果.【详解】因为展开式通项为，令，则展开式中的系数为，即，解得：或，又，.故答案为：.2．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知的展开式中一次项系数为，则.【答案】【分析】首先利用通项公式，，求得带入通项公式即可得解.【详解】因为，，1，2，…，7，令，解得，所以一次项系数为，所以.故答案为：3．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知展开式中的第三项的系数为45，则（

）A． B．展开式中所有系数和为C．二项式系数最大的项为中间项 D．含的项是第7项【答案】BCD【分析】由二项式定理相关知识逐项判断即可.【详解】展开式的第三项为：，所以第三项的系数为：，所以，故A错误；所以，所以令得展开式中所有系数和为，故B正确；展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；通项公式为，令，解得，所以含的项是第7项.故D正确；故选：BCD.1．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知的展开式中的系数为，则实数．【答案】【分析】写出展开式通项，进而确定特定项系数.【详解】二项式展开式的通项为，所以的展开式通项为或，所以令，解得，所以展开式中的系数为，解得，故答案为：.2．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）若的二项展开式中的系数是，则实数的值是．【答案】2【分析】利用二项式展开式通项，结合对应项的值列方程求参数即可.【详解】题设二项式展开式通项为，，所以，即，故，则.故答案为：23．（2023·河北·统考模拟预测）已知的展开式中含的项的系数为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二项展开的通项公式，根据指定项求出，再根据系数求出参数.【详解】解：根据二项展开的通项公式，则，整理得，因为展开式中含的项的系数为，所以，解得，所以系数，解得.故选：.考点八、有理项（含常数项）、无理项及其系数1．（2021·北京·统考高考真题）在的展开式中，常数项为．【答案】【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.【详解】的展开式的通项令，解得，故常数项为．故答案为：.2．（2022·天津·统考高考真题）的展开式中的常数项为.【答案】【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.【详解】由题意的展开式的通项为，令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.1．（2023·湖北·模拟预测）展开式中无理项的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先根据题意得出展开式中的通项为，则要求展开式中无理项的个数，需求出不是整数的个数即可．【详解】由，则其通项为，其中，，若不是整数时，即得到展开式中的无理项，当，时，的值为；当，时，的值为；当，或时，的值为或；当，或时，的值为或；当，或或时，的值为或或；当，或或时，的值为或或，综上，展开式中无理项的个数为8．故选：C．2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二项式系数和求得n，利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以.则即，通项公式为，故展开式共有9项，当时，展开式为有理项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有种,故有理项都互不相邻的概率为,故选：C1．（全国·统考高考真题）的展开式中常数项是（用数字作答）．【答案】【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2．（2023·山东烟台·校联考三模）已知的展开式中共有项，则有理项共项．（用数字表示）【答案】【分析】先求n，然后化简通项，由指数为整数可得.【详解】因为的展开式中共有项，所以，则通项，当时，，相应项为有理项，故有理项共有4项.故答案为：43．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为．【答案】2【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以当时,,当时,,符合题意所以展开式中有理项的个数为2故答案为：24．（2023·广东惠州·统考一模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解.【详解】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故，展开式的通项，当是偶数时该项为有理项，有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为．故选：A．考点九、二项展开式各项系数和1．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则，．【答案】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．【详解】含的项为：，故；令，即，令，即，∴，故答案为：；．2．（2021·浙江·统考高考真题）已知多项式，则，.【答案】;.【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】，，所以，，所以.故答案为：.3．（浙江·统考高考真题）设，则；．【答案】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】的通项为，令，则，故；.故答案为：；.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）若，，则.【答案】【分析】根据赋值法，分别令，求解可得.【详解】令可得：，再令可得：，所以.故答案为：5．（2023·山东日照·三模）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】令即可判断A；令再由选项A即可判断C；由通项公式即可判断B；令，再由选项C即可判断选项D.【详解】由，令得，故A正确；由的展开式的通项公式，得，故B错误；令，得①，再由，得，故错误；令，得②，①②再除以2得，故D正确.故选：AD考点十、由二项展开式各项系数和求参数1．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）在的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则．【答案】或【分析】利用赋值法确定各项系数的和，由二项式的性质得各二项式系数的和，利用比值为，列出关于的方程，解方程即可.【详解】因为的展开式中各项系数的和为，各二项式系数的和为，所以由题意得，所以，或，解得，或．故答案为：或．2．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）若的展开式中各项系数之和为1024，则第四项与第五项的系数之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先令，根据各项系数之和解得，再求对应项系数计算比值即可.【详解】令，得，解得，所以的通项公式为，所以第四项与第五项的系数之比．故选：D3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）在的展开式中，各项系数的和为1，则（

）A． B．展开式中的常数项为C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为【答案】BC【分析】先根据各项系数和结赋值法得判断A，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含的系数及无理项系数之和判断BCD.【详解】根据题意令，得的展开式中各项系数和为，则，A错误；则，又的展开式的通项为，，所以展开式中的常数项为，B正确；含的项为，其系数为160，C正确；展开式中无理项的系数之和为，D错误.故选：BC.1．（2022·湖北武汉·三模）在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则．【答案】【分析】赋值法得到，，两式相减结合所有奇数次幂项的系数之和为20得到方程，求出的值.【详解】设令得：①，令得：②，两式相减得：，因为，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，所以，解得：.故答案为：2．（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中各项的系数之和为256，记展开式中的系数为，则.【答案】【分析】根据给定条件，求出幂指数n，再求出二项式展开式的通项公式，并求出a值作答.【详解】依题意，取，得，解得，展开式的通项公式，，令，解得，于是，所以.故答案为：3．（2023·河北·统考模拟预测）（多选）已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（

）A．B．展开式中的系数为C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32D．展开式中二项式系数最大的项为【答案】ACD【分析】赋值法求得，根据二项式定理求展开式通项，结合二项式系数性质求的系数、奇数项的二项式系数和、二项式系数最大的项.【详解】令，则，可得，A对；，当时，，B错；由原二项式的二项式系数和为，则奇数项的二项式系数的和为32，C对；由上知：二项式系数最大为，即，则，D对.故选：ACD考点十一、奇次项与偶次项的系数和1．（2022·北京·统考高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）若，则.【答案】15【分析】由函数观点结合赋值法即可求解.【详解】不妨设，令得，令得，所以.故答案为：15.2．（2023·北京大兴·校考三模）若，则.【答案】【分析】求得二项式展开式的通项公式，得到，令，即可求解.【详解】二项式展开式的通项公式为，所以，令，可得.故答案为：.3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）若，则.【答案】【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子计算即可.【详解】已知，对式子两边同时求导，得，令，得.故答案为：2404．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若，则.【答案】【分析】二项展开式中通过赋值法求解即可.【详解】令，得，令，得，所以．故答案为：.考点十二、三项展开式的系数问题1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）的展开式中的系数为（

）A． B．10 C． D．30【答案】C【分析】可以看做个盒子，每个盒子中有，，三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，利用组合数公式，即可求出展开式中的系数.【详解】可以看做个盒子，每个盒子中有，，三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含的项为，故展开式中的系数为.故选：C.2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在的展开式中，项的系数为（

）A．1680 B．210 C．－210 D．－1680【答案】A【分析】相当于在7个因式中有3个因式选，余下的4个因式中有2个因式选，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，求解即可.【详解】相当于在7个因式中有3个因式选，有种选法，余下的4个因式中有2个因式选，有种选法，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，而，所以项的系数为.故答案为：A.3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）的展开式中的系数为12，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】的展开式中的系数可以看成：6个因式中选取5个因式提供，余下一个因式中提供或者6个因式中选取4个因式提供，余下两个因式中均提供，故的系数为，∴，∴，故选：C4．（2023·湖北·模拟预测）展开式中无理项的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先根据题意得出展开式中的通项为，则要求展开式中无理项的个数，需求出不是整数的个数即可．【详解】由，则其通项为，其中，，若不是整数时，即得到展开式中的无理项，当，时，的值为；当，时，的值为；当，或时，的值为或；当，或时，的值为或；当，或或时，的值为或或；当，或或时，的值为或或，综上，展开式中无理项的个数为8．故选：C．5．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知常数，的二项展开式中项的系数是780，则m的值为．【答案】3【分析】转化为，利用展开式的通项公式讨论计算即可.【详解】=，设其通项为，设的通项为，要求项的系数，只有为偶数，当，此时项的系数为，当，此时项的系数为，当，此时项的系数为，当，不合题意，故项的系数为.故答案为：31．（2023·广东汕头·统考三模）展开式中的系数是.【答案】【分析】的展开式中项可以由4个项、3个项和0个常数项，或3个项、1个项和2个常数项相乘，从而得解．【详解】因为是7个相乘，的展开式中项可以由4个项、3个项和0个常数项，或3个项、1个项和3个常数项相乘，所以展开式中的系数是.故答案为：.2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】【分析】，然后两次利用通项公式求解即可；【详解】因为，设其展开式的通项公式为：，令，得的通项公式为，令，所以的展开式中，的系数为，故答案为：3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）展开式中的常数项为.【答案】【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解.【详解】可看作7个相乘，要求出常数项，只需提供一项，提供4项，提供2项，相乘即可求出常数项，即.故答案为：4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知二项式的展开式中含的项的系数为，则．【答案】2【分析】表示有5个因式相乘，根据的来源分析即可求出答案.【详解】表示有5个因式相乘，来源如下：有1个提供，有3个提供，有1个提供常数，此时系数是，即，解得：故答案为：.5．（2023·福建·校联考模拟预测）展开式中的常数项为.（用数字做答）【答案】49【分析】利用分类计数原理求解即可.【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下：（1）4个因式中都不取，则不取，全取，相乘得到常数项.常数项为；（2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为；（3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项.常数项为.合并同类项，所以展开式中常数项为.故答案为：.考点十三、两个二项式乘积展开式的系数问题1．（全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.2．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为28故答案为：283．（2023·福建龙岩·统考二模）已知的展开式中的系数为21，则．【答案】1【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】由二项式定理可知的展开式中含的项分别为，故的展开式中含的项为，即.故答案为：4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在的展开式中，x的系数为．【答案】【分析】分别列出的展开式的通项，由此确定结论.【详解】二项式的展开式的通项为，二项式的展开式的通项为，，所以，令，可得，故或，所以的展开式中，含x的项为，所以在的展开式中，x的系数为.故答案为：.5．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）展开式中的系数为.【答案】56【分析】根据多项式乘法法则，求得中的系数，应用乘法法则计算可得．【详解】展开式中含的项为：．故答案为：56．1．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）展开式中的系数是.【答案】【分析】根据通项公式可求出结果.【详解】，的通项公式为，，所以展开式中的系数是.故答案为：.2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，系数最大的项为.【答案】【分析】分别求出和展开式系数最大的项，即可得出答案.【详解】因为的通项为，的通项为，∵展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，∴在的展开式中，系数最大的项为.故答案为：.3．（2023·浙江·校联考模拟预测）的展开式中的系数为（用数字作答）.【答案】14【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为14.故答案为：144．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知的展开式中常数项为120，则.【答案】【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于的方程，解出即可.【详解】的展开式通项为，的展开式中的常数项为,解得.故答案为：.5．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为．【答案】【分析】首先根据系数和公式求，再根据二项展开式的通项公式求的系数.【详解】依题意，解得，的展开式的通项为，，，其中不含有项，的二项展开式中，当时，项的系数为，可得的展开式中的系数为．故答案为：．考点十四、求系数最大(小)的项1．（2023·山东·模拟预测）（多选）的展开式中系数最大的项是（

）A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项【答案】BC【分析】先求出通项公式，可得第项的系数为：，设第项的系数最大，则，解出的范围，从而可得答案【详解】的展开式的通项公式为：则第项的系数为：设第项的系数最大，则即，即解得，所以或时，的展开式中系数最大即的展开式中系数最大是第3,4项,故选：BC2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（

）A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项【答案】B【分析】先利用二项式系数的增减性求出的值，再根据展开式的通项公式求解即可.【详解】因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，所以，解得，则的展开式通项为，当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，为偶数，由展开式通项可知，，，，，所以展开式中系数最大的是第三项，故选：B3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（

）A．项 B．项 C．项 D．项【答案】D【分析】根据展开式中前三项的二项式系数和为求出的值，然后利用不等式法可求出展开式中系数最大的项对应的项数.【详解】的展开式中前三项的二项式系数和为，整理可得，且，解得，的展开式通项为，设展开式中第项的系数最大，则，即，解得，因为，故，因此，展开式中系数最大的项为第项.故选：D.1．（2023·浙江·校考模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值.【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为，显然当是偶数时，该项为有理项，时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，.经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选：A.2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为.【答案】【分析】设第项的系数最大，列不等式求，再由通项求解即可.【详解】设展开式的第项的系数最大，则，解得，所以系数最大的项为第或第项，所以系数最大的项为：，.故答案为：3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，系数最大的项为.【答案】【分析】分别求出和展开式系数最大的项，即可得出答案.【详解】因为的通项为，的通项为，∵展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，∴在的展开式中，系数最大的项为.故答案为：.考点十五、整除和余数问题1．（2023·山西·统考模拟预测）除以5的余数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用二项式定理即可求解.【详解】由题意可知，，由此可知除以5的余数，即为除以的余数，故所求余数为.故选：D.2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知，则！被5除所得余数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据阶层公式理解判断余数即可.【详解】∵被5除所得余数为3，而的均能被5整除，∴！被5除所得余数为3．故选：C.3．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）若，则被8整除的余数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取得，取得，两式相减得，即，因为因为能被8整除，所以被8整除的余数为5，即被8整除的余数为5，故选：B.4．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）（多选）若，则（

）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余数为6D．的个位数为6【答案】AB【分析】根据二项式定理的展开式逆用知，据此可判断AB，由可判断C，由可判断D.【详解】，可以被整除，故A正确；，可以被整除，故B正确；被27除的余数为5，故C错误；，个位数为，故D错误.故选：AB1．（2023·山西太原·太原五中校考一模）被1000除的余数是（

）A． B． C．1 D．901【答案】C【分析】利用二项式定理展开可求解.【详解】，所以展开式中从第二项开始都是1000的倍数，因此被1000除的余数是1.故选：C2．（2023·辽宁丹东·统考一模）除以7所得余数为．【答案】【分析】由并应用二项式定理展开，判断各项是否被7整除，进而确定余数.【详解】，其中各项均可被7整除，只需判断除以7的余数即可，而，所以余数为.故答案为：3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）若，则被10除所得的余数为.【答案】【分析】令，可得，结合二项展开式，即可求解.【详解】令，可得，所以被10除所得的余数为.故答案为：.4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若，则被5除所得的余数为．【答案】1【分析】取，可以求得，进而根据二项式定理展开，判断被5除得的余数.【详解】由题知时，，，故所以被5除得的余数是1.故答案为：1.考点十六、二项式定理与近似计算1．（2022·全国·高三专题练习）的计算结果精确到个位的近似值为A．106 B．107 C．108 D．109【答案】B【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.【详解】∵，∴.故选B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．（全国·高三专题练习）求的近似值．(精确到两位小数)【答案】【解析】由，利用二项式定理可求得近似值.【详解】.3．（2023·全国·高三专题练习）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为（

）【答案】B【分析】变形，然后根据题中的方法计算即可.【详解】.故选：B.1．（2023·全国·高三专题练习）用二项式定理估算.（精确到0.001）【分析】利用二项式定理进行近视计算作答.【详解】.2．（2023·全国·高三专题练习）利用二项式定理计算，则其结果精确到0.01的近似值是（

）【答案】D【分析】根据可得选项.【详解】解：．故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）（小数点后保留三位小数）．【分析】由二项展开式展开，结合二项展开式的性质可知从项开始均远小于，即可按所需保留位数近似求和【详解】，由二项展开式的性质易知，远小于，依次类推，故.故答案为：1.172.考点十七、二项式定理与数列求和1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A．2 B．1 C．0 D．2【答案】B【分析】根据题意，分别令和，代入计算即可求解.【详解】根据题意，令，得，令，得，因此.故选：B.2．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.【详解】依题意，，当时，，于是得.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和．【答案】【分析】根据二项式的性质化简可得，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则，因为，所以，所以，所以对恒成立，所以，，所以等差数列的通项公式，所以，所以数列的前项和．故答案为：.1．（2022·全国·高三专题练习）设是正整数，化简.【答案】【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可.【详解】设，，所以有，故答案为：2．（2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知，则.【答案】【分析】先利用二项式展开式的通项求出，然后利用二项式系数的性质即可求解.【详解】由于，所以展开式的通项为，又，所以，所以由二项式系数的对称性知，所以.故答案为：.3．（2023·全国·高三对口高考）已知数列的通项公式为．求的值．【答案】【分析】根据二项式展开式的特征，即可求解.【详解】由于，所以考点十八、杨辉三角1．（2023·全国·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前34项和为（

）A．959 B．964 C．1003 D．1004【答案】A【分析】先算出2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，9，36，84，126，126，84，36，9这36项的和，再减去36和9．【详解】将这个数列分组：第一组1个数；第二组2个数；，第七组7个数，这7个数的和为第八组8个数，前八组共36项，前36项和为，所以前34项和为，故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.；若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（

）A． B．C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为【答案】A【分析】确定，计算，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案.【详解】.对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：当时，，错误；对选项D：当时，，错误；故选：A1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（

）A．B．在第2022行中第1011个数最大C．记“杨辉三角”第行的第i个数为，则D．第34行中第15个数与第16个数之比为【答案】AC【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可.【详解】A：所以本选项正确；B：第2022行是二项式的展开式的系数，故第2022行中第个数最大，所以本选项不正确；C：“杨辉三角”第行是二项式的展开式系数，所以，，因此本选项正确；D：第34行是二项式的展开式系数，所以第15个数与第16个数之比为，因此本选项不正确，故选：AC6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（

）A．当是偶数时，中间的一项取得最大值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B．C．D．【答案】BC【分析】对于A，应该是最小值，所以A错误；利用组合数的性质和莱布尼茨三角形的性质判断选项BCD.【详解】解：对于A，根据杨辉三角的特点，当为偶数时，中间的一项取得最大值，当为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以同一个正数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以A错误；对于B，第行的第2个数等于第行的第一个数和第行的第一个数相乘，所以B正确；对于C，直接根据组合数的性质得，所以，所以C正确；对于D，开始每个数均等于其“脚下”两个数之和，即，所以D错误.故选：BC1．（2023·全国·高三专题练习）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则.【答案】【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，，所以，，所以，所以，.故答案为：.2．（2023·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）杨辉三角A．在第10行中第5个数最大B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等C．D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数【答案】D【分析】A、B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项，由及即可判断；D选项，由及即可判断.【详解】A选项，第10行，10是偶数，所以在时取得最大值，也就是在第10行中第6个数最大，故选项A错误；B选项，第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；C选项，由可得，故选项C错误；D选项，，故选项D正确.故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（

）A．B．当且时，C．为等差数列D．存在，使得为等差数列【答案】ABD【分析】由组合数性质可判断A；利用组合数公式化简可判断B；组合数公式结合等差数列定义可判断CD.【详解】A选项：由组合数的性质可知A正确；B选项：，因为，所以，所以，B正确；C选项：，C错误；D选项：当时，，所以数列为公差为1的等差数列，D正确.故选：ABD.4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：、、、、、、、、、、，其前项和为，则下列说法正确的有（

）（参考公式：）A． B．第一次出现是C．在中出现了次 D．【答案】ACD【分析】分析出在第行第个，求出的值，可判断A选项；根据每行最后一个数为奇数，推导出第一次出现的位置，可判断B选项；分析出在数阵中出现的行数，可判断C选项；计算出的值，可判断D选项.【详解】对于A，，且，故在第行第个，则，A对；对于B，因为第行最后一个数为，该数为奇数，由，可得，所以，第一次是出现在第行倒数第个，因为，即第一次出现是，B错；对于C，因为第一次是出现在第行倒数第个，在第行至第行，在每行中各出现一次，故在中出现了次，C对；对于D选项，设第行的数字之和为，则，故，D对.故选：ACD.【基础过关】一、单选题1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）的展开式中的常数项是（

）A． B． C．250 D．240【答案】D【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，即可求得答案.【详解】由题意得二项式的通项公式为，令，则常数项为，故选：D二、多选题2．（2023·云南保山·统考二模）已知二项式的展开式中各项系数之和是128，则下列说法正确的有（

）A．展开式共有7项B．所有二项式系数和为128C．二项式系数最大的项是第4项D．展开式的有理项共有4项【答案】BD【分析】由题意先得，再根据二项式定理及其性质一一判定即可.【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是128，所以令，可得，因为，所以展开式共有8项，故A不正确；因为，所以所有二项式系数和为，故B正确；因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，故C不正确；设展开式通项为，，当时，对应的是有理数，即对应项为有理项，故D正确.故选：BD.3．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．展开式中各项的系数最大的是C． D．【答案】AC【分析】利用二项式定理的计算及性质求解.【详解】令，得，则A正确．展开式的通项为，则，故B错误．令，得，令，得，则，故C正确，D错误．故选：AC.三、填空题4．（2023·山东潍坊·三模）已知,则.（用数字作答）【答案】33【分析】令可得,令可得,令可得,两式相加得,再减去即可得出结果.【详解】因为.令,得;令,得①;令,得②;①+②得,所以.故答案为:.5．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为．【答案】80【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.【详解】由题意，令，则，解得，则的展开式第项，令，解得，所以.故答案为：6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）二项式的展开式中含x的正整数指幂的项数是.【答案】5【分析】利用二项式的展开式的通项公式求解.【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，当时，x次数是正整数指幂，所以二项式的展开式中含x的正整数指幂的项数是5，故答案为：57．（2023·广西·校联考模拟预测）若，那么的值为．【答案】【分析】根据题意利用赋值法分析运算.【详解】令，可得；令，可得；所以．故答案为：.8．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若的展开式中x的系数与的系数相等，则实数a＝．【答案】【分析】根据题意，写出二项式展开式的通项公式，由条件列出方程，即可得到结果.【详解】因为的展开式的通项公式为，且x的系数与的系数相等，则，即，所以，且，所以.故答案为：.9．（2023·贵州遵义·统考三模）在的展开式中，的系数为（用数字作答）.【答案】21【分析】由二项式的展开式通项公式待定系数求值即可.【详解】设的展开式通项为，令，则，即的系数为21.故答案为：21.10．（2023·上海·统考模拟预测）的展开式中，常数项为.【答案】【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.【详解】因为的展开式为，令，解得，不合题意；令，解得；所以的展开式中的常数项为.故答案为：.【能力提升】一、单选题1．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，则在的展开式中，含的系数为（

）A．480 B． C．240 D．【答案】B【分析】根据定积分可得，进而由二项式表示6个因式的乘积，即可得到含的项，即可算出答案.【详解】,表示6个因式的乘积，在这6个因式中，有3个因式选，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选，即可得到含的项，故含的项系数是故选：B.2．（2023·江西·校联考二模）若，则（

）A． B．48 C．28 D．【答案】A【分析】根据给定条件，把按展开，求出的系数作答.【详解】依题意，按展开的展开式中的系数即为，于是展开式的通项公式为，则，所以.故选：A3．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据，结合二项式定理求解即可.【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.故选：B4．（2023·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（

）A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则D．第34行中第15个数与第16个数之比为【答案】D【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错.【详解】第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确；第行是二项式的展开式的系数，故第行中第个数为，第个数为，又，B正确；“杨辉三角”第行是二项式的展开式的系数，所以，，C正确；第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D不正确.故选：D.二、多选题5．（2023·湖北·统考模拟预测）若，则（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】令，二项式化为，然后利用二项式定理求得的项得其系数，判断A，赋值法令计算后可判断B，令和0计算后可判断C，令计算后可判断D．【详解】，令，则，对于，故A错误；对于，令，得，故B正确；对于，令，得，令，则，故C错误；对于D，令，得，所以，故D正确.故选：BD.6．（2023·河北·统考模拟预测）已知．则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】A选项令求解判断；B选项利用的展开式的通项公式求解判断；CD选项利用赋值法令，求解判断.【详解】解：由，令得，故A正确；由的展开式的通项公式，得，故B错误；令，得①，再由，得，故C错误；令，得②，①②再除以2得，故D正确；故选：AD三、填空题7．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，设，则．【答案】【分析】先令，可求出，然后对等式两边同时求导，并赋值即可.【详解】由，取，得到；等式两边同时求导，得到，取，得到.于是.故答案为：8．（2023·江西九江·统考三模）展开式中，的系数为．【答案】15【分析】利用二项展开式的通项即可求得的系数.【详解】展开式的通项为，令，解得，∴展开式中的系数为．故答案为：15.9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）若，则．【答案】【分析】分别令，和求出即可求解.【详解】令得，所以，令得，所以，而，所以.故答案为：.10．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）在的展开式中，项的系数为．【答案】32【分析】由变形可得，利用二项式定理求的展开式中项的系数即可.【详解】因为，所以的展开式中含项的系数即展开式中项的系数，又，其中的展开式中不存在含的项，又的展开式中含的项为，所以在的展开式中，项的系数为.故答案为：.【真题感知】一、单选题1．（浙江·高考真题）展开式中的常数项是（

）A． B．36 C． D．84【答案】C【分析】利用二项式展开公式得到，令，即可得到答案.【详解】展开式的通项公式为,令,求得,可得展开式中的常数项是故选：C.2．（重庆·高考真题）若展开式中含项的系数等于含x项的系数的8倍，则n等于（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【分析】由二项展开式通项公式得和的系数，由其比值为8求得值．【详解】，所以，解得（负值舍去）．故选：A．3．（重庆·高考真题）若的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中项的系数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】求出的展开式中前三项的系数、、，由等差数列知识求出，再利用通项公式求出项的系数即可．【详解】解：因为的展开式中前三项的系数、、成等差数列，所以，即，解得或（舍，所以二项式展开式的通项为，令可得，所以的系数为．故选：B．4．（山东·高考真题）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（

）