专题06复数常考题型归类（考题猜想10题型）

专题06复数一．复数的概念与分类1．（2324高一下·广东广州·期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（

）A． B． C．6 D．【答案】C【解析】因为，则，所以的虚部为6.故选：C.2．（2324高一下·江苏盐城·月考）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为纯虚数，所以，解得，所以，所以.故选：B3．（2324高一下·安徽芜湖·期中）若复数是实数，则等于（

）A．1 B． C． D．不存在【答案】A【解析】因为是实数，所以，解得，故选：A4．（2324高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，可知，所以，解得或，因为，所以或或.故选：D5．（2324高一下·安徽铜陵·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论正确的是（

）A．若，则z为纯虚数 B．若，则z为实数C．若，则点Z在直线上 D．若，则点Z在第三象限【答案】BC【解析】对于A，当时，，是实数，故A错误；对于B，当时，，是实数，故B正确；对于C，当时，，所以，所以点在直线上，故C正确；对于D，由，得，由，得，所以不存在点在第三象限，故D错误．故选：BC.二．复数与点一一对应1．（2324高一下·山东济宁·期中）复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.2．（2324高一下·湖南·月考）已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，又，，所对应的点在第一象限.故选：A.3．（2324高一下·安徽定远·月考）若为第四象限角，则复数（为虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为为第四象限角，所以，，复数对应的点为，为第四象限角.故选：D4．（2324高一下·福建圃田·月考）若（是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【解析】复数表示的点为，由题设知，解得.故选：B.5．（2324高一下·广东广州·月考）已知是虚数单位，若复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则的取值范围为．【答案】【解析】因为复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，所以，解得，即实数的取值范围为.三．复数与向量一一对应1．（2324高一下·江苏连云港·期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】复数与分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为.故选：C.2．（2324高一下·重庆·期中）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是．【答案】【解析】∵复数与分别表示向量与，∴，，又，∴向量表示的复数是.3．（2324高一下·河北张家口·月考）设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为.【答案】【解析】因为，在复平面内对应的向量分别为、，所以，，则，所以向量对应的复数所对应的点的坐标为.4．（2324高一下·广西南宁·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则．【答案】【解析】由图可知，所以，，所以，所以.5．（2324高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知复数，其中，是虚数单位.(1)若，求与的值.(2)设复数在复平面上对应向量分别为，若且，求的单调区间.【答案】(1)或；(2)递增区间为，，递减区间为.【解析】（1）由及，得，则且，解，，得或，当时，，当时，，所以或.（2）依题意，，由，得，因此，由，得，由或，得或，由，得，所以的单调递增区间为，，递减区间为.四．复数模的运算与求参1．（2324高一下·河北·期中）若，则.【答案】2【解析】由题意得，，则，解得．2．（2324高一下·吉林·期中）若复数，，则（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【解析】因为，，所以．故选：B3．（2324高一下·重庆璧山·月考）已知复数满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，由得即，，由得，得，所以，，故选：A.4．（2324高一下·辽宁·期中）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（

）A． B．5 C． D．1【答案】C【解析】因为，所以其对应点为，关于直线对称的点为，则，所以，故选：C．5．（2324高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（

）A． B． C． D．5【答案】C【解析】由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上；由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上；因为直线和直线的交点为，所以，所以.故选：C.五．复数的四则运算1．（2324高一下·山西运城·月考）已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2．（2324高一下·福建福州·期中）若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由题设知，故，故，故选：D3．（2324高一下·河南新乡·期中）已知，则复数（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，.故选：A4．（2324高一下·广东茂名·期中）（多选）已知复数满足，则（

）A．的实部是 B． C． D．【答案】ABC【解析】因为，所以，所以，所以的实部是，虚部为，，，故A、B、C正确；，故D错误.故选：ABC5．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，，满足，，为虚数单位，则．【答案】【解析】设（），（），由，得，即，整理得，又，因此，所以.六．复数高次幂的周期性1．（2324高一下·北京·期中）i表示虚数单位，则．【答案】1【解析】.2．（2324高一下·北京·期中）若复数，则的虚部为.【答案】【解析】因为，，所以，所以的虚部为.3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（

）A．i B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A．4．（2223高一下·河北衡水·期末）若复数：，则．【答案】2【解析】因为，，，，且，所以，，所以．5．（2223高一下·全国·单元测试）若是奇数，则．【答案】【解析】因为，，而，所以，所以当是奇数时，.七．与复数模有关的轨迹问题1．（2223高三上·江苏·期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，故选：D.2．（2223高一下·河南濮阳·期中）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【解析】设，复数的对应点在以原点为圆心，半径的圆上运动，表示点与复数的对应点的距离，故选：B.3．（2324高一下·福建南平·期中）若，则的最大值为.【答案】3【解析】令且，又，所以，即，所以复数z对应点在以为圆心，半径为1的圆上，又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，所以的最大值为.4．（2324高一下·浙江绍兴·月考）已知，且，为虚数单位，则的最大值是．【答案】【解析】设，由，则，表示的是圆心为，半径为的圆，而，表示的是圆上一点到的距离，如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长，即最大值为.5．（2324高一下·山西运城·月考）已知复数满足，则的最大值为．【答案】/【解析】设复数，由，得，整理得，于是，即，，由，得复平面内表示复数的对应点在以表示复数的对应点为圆心，1为半径的圆上，表示这个圆上的点到表示复数的对应点的距离，距离的最大值是.八．模与共轭复数的综合辨析1．（2324高一下·重庆渝中·期中）（多选）已知复数，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】对于A，取，，而，A错误；对于B，设，，由，得，，B正确；对于C，由及已知得，设，，解得，则，C正确；对于D，取，，而，D错误.故选：BC2．（2324高一下·山东济宁·期中）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的虚部为2 D．【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以，A正确；对于B，，B正确；对于C，因为，所以，所以的虚部为，C错误；对于D，因为，所以，又，所以，D正确.故选：ABD3．（2324高一下·江西九江·月考）（多选）已知复数，，下列结论正确的有（

）A． B．若，则C． D．若，则点的集合所构成的图形的面积为【答案】ACD【解析】设，则,对于A，，A正确；对于B，取，满足，而，B错误；对于C，，，C正确；对于D，是复平面内表示复数的点的集合是以为圆心，为半径的圆及内部，因此点的集合所构成的图形的面积为，D正确.故选：ACD4．（2324高一下·重庆·期中）（多选）已知复数则下列结论正确的是（

）A．若则 B．若则C． D．【答案】CD【解析】对于A，不妨取，则，但是，A错误；对于B，取，则，，B错误；对于C，设，则，所以，C正确；对于D，设，则，因为，所以，又，所以，D正确.故选：CD5．（2324高一下·福建莆田·期中）（多选）设，，为复数，，下列命题中正确的是（

）A．若则 B．若则C．若则 D．【答案】ABD【解析】设（），对于A，若，则，因为，结合复数相等的知识，所以，所以选项A正确；对于B，由，所以，所以，，，同理：，所以，所以选项B正确；对于C，令，，但是，所以选项C错误；对于D，设分别表示复数，由，若不共线时，如图：，即，若共线且反向时，如图：易知，若共线且同向时，如图：易知，综上：，所以选项D正确.故选：ABD.九．复数范围内的解方程1．（2324高一下·安徽·月考）已知关于的实系数二次方程的一根为(其中是虚数单位)，则．【答案】0【解析】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的，故都是方程的解，所以.2．（2324高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，，即，则，得，所以，.故选：B3．（2324高二下·广东·期中）已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因为是关于复数z的方程的一根，所以也是关于复数z的方程的一根，则，，所以，所以.故选：C.4．（2324高一下·广东广州·期中）（多选）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．若，则【答案】ACD【解析】，所以方程的根为，不妨设，，可知，故A正确；由韦达定理知，所以，故C正确；所以，因为，所以，故B错误；时，，，计算可得，，，，所以，故D正确；故选：ACD.5．（2324高一下·江苏连云港·期中）（多选）已知，是关于的方程的两根，其中，．若（为虚数单位），则（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】A/B：由题意可得，即，所以，故，故A、B正确；C：利用AB解析可得，故C错误；D：利用AB解析由可得，所以，而，故D错误；故选：AB.十．复数的新定义题型1．（2324高一下·山东青岛·期中）（多选）欧拉公式（其中为虚数单位）被誉为最美数学公式．依据欧拉公式，下列选项正确的有（

）A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数C．复数的模等于 D．的共轭复数为【答案】BC【解析】对于A，由题知，而，则复数对应的点位于第二象限，故A错误；对于B，，则为纯虚数，故B正确；对于C，，则的模为，故C正确；对于D，，其共轭复数为，故D错误，故选：BC.2．（2324高一下·河北张家口·月考）（多选）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．当，时，复数为纯虚数B．当，时，C．当，时，D．【答案】BCD【解析】对于A，，，为实数，A错误；对于B，，，B正确；对于C，，，C正确；对于D，，则，D正确.故选：BCD3．（2324高一下·河南濮阳·月考）（多选）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（

）A．B．对任意，与互为共轭复数C．对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上D．复数的实部为【答案】BCD【解析】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：，，所以对任意，与互为共轭复数，故B正确；对于C：因为，所以在复平面内对应的点为，又，所以在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，故C正确；对于D：的实部为，故D正确.故选：BCD4．（2324高一下·福建泉州·期中）（多选）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而