2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题10平行线的性质定理（2大考点+8种题型）（解析版）

专题10平行线的性质定理（2大考点+8种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：平行线的性质定理考点二：综合应用题型一：两直线平行同位角相等题型二：两直线平行内错角相等题型三：两直线平行同旁内角互补题型四：根据平行线的性质探究角的关系题型五：根据平行线的性质求角的度数题型六：根据平行线判定与性质求角度题型七：根据平行线判定与性质证明题型八：利用平行线间距离解决问题考点一：平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； 简记为：两直线平行，同旁内角互补．考点二：综合应用1．三个距离：两点之间的距离；点到直线、射线、线段的距离；平行线间的距离．2．几种角：余角：∠1+∠2=90°，补角：∠1+∠2=180°；邻补角：∠1+∠2=180°(有一条公共边和公共顶点)；对顶角；同位角、内错角、同旁内角．3．可以用来推理的依据：同角的余角相等，同角的补角相等；对顶角相等；邻补角的意义；角平分线的意义；垂直的意义；判定平行线的三个方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行线的三个性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；平行线间的距离处处相等；等量代换；等式的性质．4．几个基本性质两点之间，垂线段最短；垂线段最短；经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；经过直线外的一点有且只有一条直线平行于已知直线．题型一：两直线平行同位角相等【例1】．（2023下·上海·七年级期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】B【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等．【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．【变式1】．（2022下·七年级单元测试）如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点C，D分别落在点，处，与交于点G．已知，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的性质得出，求出，根据折叠得出，得出，求出结果即可．【详解】解：∵矩形纸条中，∴，∴，根据折叠可知，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等．【变式2】．（2023下·上海闵行·七年级统考期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为．

【答案】/41度【分析】根据两直线平行同位角相等求出，再根据即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．

【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记平行线的性质是解题的关键．【变式3】．（2021下·上海闵行·七年级校考期中）如图，已知，垂足分别为点D、G，且，请说明与相等的理由．

【答案】见解析【分析】根据，得出，根据平行线的性质得出，证明，得出，根据平行线的性质得出．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式4】．（2021下·上海松江·七年级校考期中）已知：如图，线、线是直线，，，．试说明．解：∵（已知），∴_________（

），∴（已知），∴_________（

），∵（已知），∴（

），即_________，∴_________（

），∴（

）．

【答案】，两直线平行，同位角相等；，等量代换；等式的性质；；，等量代换；内错角相等，两直线平行．【分析】由已知条件和两直线平行，同位角相等得出，根据，进而得出，根据，得出，最终得出，证出．【详解】证明：∵（已知），（两直线平行，同位角相等），（已知），（等量代换），（已知），（等式的性质），，（等量代换），（内错角相等，两直线平行）．故答案为：，两直线平行，同位角相等；，等量代换；等式的性质；；，等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．【变式5】．（2022下·上海·七年级上外附中校考期末）如图，已知∠B＝∠F，∠BAC+∠ADE＝180°，说明AFBC的理由．解：因为∠BAC+∠ADE＝180°（已知），所以ABDE（______）．所以∠B＝∠______（______）．因为∠B＝∠F（已知），所以∠______＝∠______（______）．所以AFBC（______）．【答案】同旁内角互补，两直线平行；DEC；两直线平行，同位角相等；F，DEC；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】先根据平行线的判定证得ABDE，根据平行线的性质得出∠B=∠DEC，进一步证得AFBC．【详解】解：因为∠BAC+∠ADE＝180°（已知），所以ABDE（同旁内角互补，两直线平行），所以∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等），因为∠B＝∠F（已知），所以∠F＝∠DEC（等量代换），所以AFBC（内错角相等，两直线平行）；故答案为：同旁内角互补，两直线平行；DEC；两直线平行，同位角相等；F，DEC；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．题型二：两直线平行内错角相等【例2】．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）如图，已知，下列说法中正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质对每一项判断即可解答．【详解】解：项∵由得不到，故项不符合题意；项∵由得不到，故项不符合题意；项∵由得不到，故项不符合题意；项∵由可得到，故项符合题意．故选．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式1】．（2022下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）如图：已知，，试说明的理由．【答案】过程见详解【分析】充分利用两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等，同位角相等两直线平行和内错相等两线直平行，即可得证．【详解】证明∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴AB//EF，∴∠3=∠5，∵∠3=∠B，∴∠5=∠B，∴DE//BC，∴∠7=∠C．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．【变式2】．（2020下·上海金山·七年级统考期中）如图，已知，，说明的理由．【答案】理由见解析【分析】证明DE∥BC，得到，通过等量代换，证明，进而结论得证．【详解】证明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．解题的关键在于找出角度的数量关系．【变式3】．（2021下·上海·七年级校考期中）如图，已知，BD//EF，那么∠B与∠1相等吗？为什么？【答案】∠B=∠1；证明见详解；【分析】根据平行线的性质即可求证；【详解】解：∠B=∠1，理由如下：∵，∴DE//BC．∴．∵BD//EF，∴，∴∠B=∠1．【点睛】本题主要考查平行线的性质及证明，掌握平行线的相关性质并灵活应用是解题的关键．【变式4】．（2022下·上海·七年级专题练习）已知：如图，△ABC求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，∵CE∥AB，∴∠1＝∠B，∠2＝∠A，∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．【答案】已知；两条直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换【分析】作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，根据平行线的性质得到∠1＝∠B，∠2＝∠A，由平角的定义得到∠1+∠2+∠ACB＝180°，等量代换即可得到结论．【详解】解：∵CE∥AB，（已知）∴∠1＝∠B，（两条直线平行，同位角相等）．∠2＝∠A，（两直线平行，内错角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，（等量代换）．故答案为：已知；两条直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题关键．题型三：两直线平行同旁内角互补【例3】．（2023下·上海松江·七年级统考期中）如图，已知，，，求的度数．（请写出过程依据）【答案】，过程依据见解析【分析】由平行线的性质可得，由对顶角相等得，等量代换得，把，代入求出的值可得出结论．【详解】解：（已知），（两直线平行，同旁内角互补），（对顶角相等），（等量代换），即，解得：，．【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，已知，，，，求的度数．【答案】【分析】由平行线的性质得到，，再利用补角的性质得到，进而列方程解答即可．【详解】解：∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质，补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式2】．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明．解：因为（已知）所以（____________）因为（已知）所以______（两直线平行，同旁内角互补）所以（____________）因为、分别是和的角平分线（已知）所以，（____________）所以______（等式性质）因为（已知）所以（两直线平行，内错角相等）所以（____________）所以（____________）【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；等量代换；同位角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【详解】解：∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补），∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补），∴（同角的补角相等），∵、分别是和的角平分线（已知），∴，（角平分线定义），∴（等式性质），∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），∴（等量代换），∴同位角相等，两直线平行），故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式3】．（2022下·上海·七年级期中）如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°．【答案】见解析【分析】首先过点E作EMAB，过点F作FNCD，由：∠E＝∠F，∠1＝∠2，易证得∠MEF＝∠NFE，由平行线的判定，可得EMFN，继而可得ABEMFNCD，然后由平行线的性质，即可证得：∠ABH＋∠CHB＝180°．【详解】证明：过点E作EMAB，过点F作FNCD，∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN，∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2，∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EMFN，∴ABEMFNCD，∴∠ABH+∠CHB＝180°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是关键，注意数形结合思想的应用．【变式4】．（2022下·上海·七年级校联考期末）如图所示，、之间是一座山，一条高速公路要通过、两点，在地测得公路走向是北偏西如果、两地同时开工，那么在地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？【答案】在地按北偏东施工【分析】根据题意可得有平行线的性质，同旁内角互补即可得出解答．【详解】解：在地按北偏东施工，就能使公路在山腹中准确接通．指北方向相互平行，、两地公路走向形成一条直线，这样就构成了一对同旁内角，，两直线平行，同旁内角互补，可得在地按北偏东施工．【点睛】本题考查了平行线的性质和方向角，熟练地掌握同旁内角互补的知识点是解决此题的关键．题型四：根据平行线的性质探究角的关系【例4】．（2021下·上海·七年级上海市南洋模范初级中学校考期中）如图，已知，，于点，那么与有什么数量关系？为什么？【答案】∠4与∠5互余，理由见解析【分析】由题意知∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠2＝∠5，得到∠5＋∠4＝90°，进而可判断两角关系．【详解】解：∠4与∠5互余，理由：∵OE⊥OA，∴∠AOE＝90°，即∠2＋∠3＝90°，∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠4＝90°∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝90°，∵，∴∠2＝∠5，∴∠5＋∠4＝90°，即∠4与∠5互余．【点睛】本题考查了同角的余角相等，平行线的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．【变式1】．（2023下·上海·七年级专题练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)；理由见详解【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形内角和是180°，可得．【详解】（1）解：如图：过点作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如图：过点作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．【变式2】．（2023下·上海·七年级专题练习）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】(1)证明见详解(2)①；证明见详解；②；证明见详解【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．【详解】（1）解：如图4所示：过点作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如图5过点作，∵∴∴，，∵，∴；②如图6过点作，∵∴∴，，∵，∴．【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．【变式3】．（2023下·七年级单元测试）（1）问题发现：如图①，直线，连结，可以发现请把下面的证明过程补充完整：证明：过点作，∴（______）．∵（已知），．∴（______）．∴．∵（______）．∴．（等量代换）．（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：．（3）解决问题：如图③，，是与之间的点，直接写出，，之间的数量关系．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；（2）见解析（3）见解析【分析】（1）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点作，过作，过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】（1）证明：过点作，∴（_两直线平行，内错角相等_____）．∵（已知），．∴（__平行于同一条直线的两条直线互相平行____）．∴．∵（______）．∴．（等量代换）（2）证明：∵过做∴∵∴∴∴∴∵∴(3)解：理由如下：过点作，过作，过作∴，，，∴，，∴，，，∴【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．【变式4】．（2021下·上海金山·七年级统考期中）已知直线，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)(2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：．过点作，如图1所示．，，，，，，．（2）解：结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．，，，，，，．②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．【变式5】．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，已知直线，直线与直线，分别交于点和点，在直线上存在一点．(1)若点在点与点之间运动，那么，，有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点在两点的外侧运动（点与点不重合），试探索，，之间的关系（请直接写出答案）．【答案】(1)，理由见解析(2)或，理由见解析【分析】（1）过作，则，，利用平行线的性质可得，，两式相加即可得．（2）当点在、两点的外侧运动时，由直线，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：和【详解】（1）解：，理由如下：过作，∵，，，，，即．（2）解：或，理由如下：①当在的延长线上时，∵，∴，∵，∴；②如图所示，当在的延长线上时，∵，∴，∵，∴．综上所述，或【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的相关性质定理是解决本题的关键．【变式6】．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．

(1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．

(2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点作，如图1，由得，由得，则，所以；（2）如图2，根据平行线的性质由得，根据三角形外角性质得，所以，即．【详解】（1）．理由如下：过点作，如图1，，，，，，；（2）如图2，，，而，，即．

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式7】．（2022下·上海·七年级专题练习）探究并尝试归纳：(1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．(2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝度．(3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】【答案】(1)360°(2)540(3)【分析】（1）过作//直线，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）过作//直线，//直线，则AC//BD//直线，根据平行线的性质即可得到结论；（3）根据平行线的性质即可得到结论．【详解】（1）解：过A作AB//直线，则AB//直线，，；（2）解：过作AC//直线，BD//直线，则AC//BD//直线，，，故答案为：540；（3）解：由（1），（2）知，当形成个折时，所有角与、的总和，当形成个折时，所有角与、的总和，当形成个折时，所有角与、的总和，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．题型五：根据平行线的性质求角的度数【例5】．（2022下·上海·七年级期末）如图，直线DE经过点A，DEBC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度数．【答案】∠DAB＝42°，∠CAD＝123°【分析】由平行线的性质可得∠DAB＝∠B，∠C+∠CAD＝180°可求得答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝42°，∠CAD+∠C＝180°，∴∠CAD＝180°﹣∠C＝180°﹣57°＝123°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．【变式1】．（2022下·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图，已知∠A的两边与∠D的两边分别平行，且∠D比∠A的3倍少20°，求∠D的度数．【答案】130°【分析】由∠A和∠D的两边分别平行，即可得∠A+∠D＝180°，又由∠D比∠A的3倍少20°，即可求得∠D的度数．【详解】解：设∠A＝x°，则∠D＝（3x﹣20）°，∵ABDE，∴∠DGC＝∠A＝x°，∵DFAC，∴∠DGC+∠D＝180°，即x+3x﹣20＝180，解得x＝50，3x﹣20＝130，∴∠D＝130°．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握由∠A和∠D的两边分别平行，即可得∠A+∠D＝180°．【变式2】．（2023下·上海闵行·七年级统考期中）已知：如图，，度，度，求∠C的度数．【答案】【分析】根据平行线的性质得出，进而根据已知建立方程，解方程即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵度，度，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，解一元一次方程，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式3】．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）如图，，，是的角平分线，求的度数．

【答案】【分析】根据平行线的性质得到，从而求出，再根据角平分线的定义计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵是的角平分线，∴．【点睛】本题主要考查两直线平行，同旁内角互补的性质，角平分线的定义，解题的关键是利用平行线的性质求出．【变式4】．（2022下·上海·七年级期中）如图，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，(1)求∠BAC的度数；(2)求∠PAG的度数．【答案】(1)96°(2)12°【分析】（1）利用两直线内错角相等得到两对角相等，相加即可求出所求的角；（2）由AP为角平分线，利用角平分线定义求出∠PAC的度数，由∠PAC−∠CAG即可求∠PAG的度数．【详解】（1）解：∵，∴∠BAG＝∠ABD＝60°，∠CAG＝∠ACE＝36°，∴∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝96°．（2）∵AP为∠BAC的平分线，∴∠BAP＝∠CAP＝48°，∴∠PAG＝∠CAP﹣∠GAC＝12°．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解本题的关键．【变式5】．（上海普陀·七年级统考期中）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．(1)求的度数；(2)当点P运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；(3)当点P运动到某处时，，求此时的度数．【答案】(1)(2)不变．比值是2(3)【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明即可；（2）不变，可以证明，；（3）想办法证明即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴，∵，分别平分和，∴．（2）解：不变．理由如下：∵，∴，，又∵平分，∴，即的比值是2．（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．【变式6】．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了两盏激光探照灯如下图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．

(1)如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒，①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°；用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°．②如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求的值．(2)如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？【答案】(1)①t，；②(2)光线旋转10秒或85秒时，与光线平行【分析】（1）①根据题意求出和即可；②过点H作，根据平行线的性质得出，，得出，即，求出t的值即可；（2）分两种情况讨论，当秒时，当秒时，分别画出图形，进行求解即可．【详解】（1）解：①∵光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，∴；；故答案为：t，；②过点H作，如图所示：

∵，∴，∴，，∵，∴，即．解得．（2）解：设光线旋转时间为t秒，当秒时，如图所示：

∵，∴，∵，∴，∴时，∴，解得；当秒时，如图所示：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得．综上分析可知，光线旋转10秒或85秒时，与光线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并注意进行分类讨论．【变式7】．（2021下·上海·七年级期中）（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则度（请直接写出答案）．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290【分析】（1）由可得，，，则；（2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得；（3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况．【详解】解：（1）如图1，，，，，．（2）由（1）中探究可知，，，且，，；（3）如图，当为钝角时，由（1）中结论可知，，；当为锐角时，如图，由（1）中结论可知，，即，综上，或．故答案为：70或290．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键．【变式8】．（2021下·上海浦东新·七年级校考期中）请回答下列各题．(1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F．(2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？(3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝度（请直接写出答案）．【答案】(1)证明见解析(2)60°(3)70或290【分析】（1）由可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，从而可以证明结论成立；（2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数为60°，由对顶角相等可得；（3）分两种情况讨论，即∠AGQ是钝角与∠AGQ是锐角时．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD．（两直线平行内错角相等），同理可证，∠F＝∠DCF．∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF，∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代换）（2）解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，，∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°．故答案为：60°．（3）如图3中，当点Q在直线GH的右侧时，∵AB∥CD∥EF，∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°，即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°，∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°，当点Q在直线GH的左侧时，由（1）的结论可得：．故答案为：70或290．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质是解题关键．【变式9】．（2023下·上海·七年级专题练习）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．【详解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如图1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射线DC沿DE翻折交AF于点G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．题型六：根据平行线判定与性质求角度【例6】．（2022下·上海·七年级期末）阅读并填空：如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝57°，求∠4的度数．解：因为∠1＝∠3（已知），所以_______（同位角相等，两直线平行）．所以∠2______．因为∠2＝57°（已知），所以______＝57°（等量代换）．因为∠4+_____＝180°（邻补角的意义），所以∠4＝_____°（等式性质）．【答案】a//b，＝∠5，∠5，∠5，123【分析】根据同位角相等，推出a//b，根据平行线性质求出∠5，根据∠4+∠5＝180°即可得答案．【详解】解：∵∠1＝∠3，∴a//b，∴∠2＝∠5，∵∠2＝57°，∴∠5＝57°，∵∠4+∠5＝180°，∴∠4＝123°，故答案为：a//b，＝∠5，∠5，∠5，123．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．【变式1】．（2023下·上海·七年级统考期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？

解：过点E作，得（）因为（已知）（所作）所以（）．得（两直线平行，同旁内角互补）所以．（等式性质）即．因为（已知）所以．（等式性质）【答案】两直线平行同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；；【分析】过E作，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，再由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到，利用两直线平行得到又一对同旁内角互补，两等式相加，可得出，将度数代入即可求出的度数．【详解】解：过点E作，得（两直线平行同旁内角互补），因为（已知），（所作），所以（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．得（两直线平行，同旁内角互补），所以（等式性质）．即．因为（已知），所以（等式性质）．故答案为：两直线平行同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；；．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，属于推理型题目，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．【变式2】．（2023下·上海松江·七年级统考期末）如图，已知点分别在的边上，，，，求：的度数．

【答案】【分析】根据，推导，从而得出，，再利用推导出．【详解】解：∵，，∴∴∴，又∵，∴【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【变式3】．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．(1)求a，b的值；(2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数；(3)如果灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒．两灯的光线互相平行？【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）由非负数的性质即可得出结果；（2）如图1，过点作，可得，设两灯转动时间为秒，则，，根据角的和差关系得到关于的方程，解方程即可求解；（3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯射线到达之前；②在灯射线到达之后；进行讨论即可求解．【详解】（1）解：，，，解得：，；（2）解：如图，过点作，

，，设两灯转动时间为秒，则，，，，，，，解得，，；（3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行，①如图，

，，，，，在灯射线到达之前，由题意得：，解得：；②如图，

，，，，，在灯射线到达之后，由题意得：，解得：．综上所述，灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【变式4】．（2022下·上海杨浦·七年级校考期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点．(1)如图，平分，若，求的度数．(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论．【答案】(1)(2)或，证明见解析【分析】（1）首先作，根据平行线的性质，推得；然后根据，推得，据此求出的度数即可．（2）①首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可．②首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可．【详解】（1）解：如图，作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，，．（2）解：①如图，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．②如图，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．综上，可得当在直线上运动（不与点重合）时，或．【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．【变式5】．（2022下·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．【详解】（1）解：如图①，过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如图②，过点M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如图③，∵ME⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵MF平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵MG平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．题型七：根据平行线判定与性质证明【例7】．（2023下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，已知，．试说明的理由．

【答案】见解析【分析】根据得出，再利用等量代换得出，即可判定，再利用平行的性质得出，进而得出结论．【详解】解：，，，，，，又，．【点睛】本题考查平行线的性质和判定定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式1】．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）请将下列证明过程补充完整：如图，于D，于G，，说明平分的理由．

证明：因为于D，于G（已知）所以（_________________）所以（_________________）所以（_________________）所以_________（_________________）又因为（已知）所以___________．（等量代换）所以平分．【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；【分析】先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，然后根据等量代换可得，最后根据角平分线的定义即可得证．【详解】证明：∵于，于（已知），∴（垂直的定义），（同位角相等，两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等），又∵（已知），∴（等量代换），∴平分（角平分线的定义）．故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．【变式2】．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）如图，已知，，．说明的理由．

【答案】见解析【分析】根据内错角相等，两直线平行，先证明，再根据两直线平行，同旁内角互补得，结合已知条件，可得出，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明．【详解】∵，∴，∴，即，∵，，∴，即，∴．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式3】．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，，，直线与，的延长线分别交于点E、F，试说明：．

【答案】见解析【分析】由平行线的性质得到，进而推出，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】证明：∵，，，，∴，．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟记两直线平行，同位角相等，内错角相等和内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．【变式4】．（2023下·上海宝山·七年级校考期中）如图，已知，，垂足分别为点，，试说明的理由．

【答案】见解析【分析】先证明，得到，再由，得到，由此即可证明．【详解】证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．【变式5】．（2023下·上海普陀·七年级统考期末）已知：如图，在中，点D、G分别在边、上，且，F在的延长线上，E在上，如果，说明的理由．

解：因为（已知），所以（______）所以______（______）．因为______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．因为（已知），所以______（等式性质）．所以（等量代换）．【答案】同位角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，【分析】根据平行线的判定与性质解答即可．【详解】解：因为（已知），所以（同位角相等，两直线平行），所以（两直线平行，内错角相等）．因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．因为（已知），所以（等式性质）．所以（等量代换）．故答案为：同位角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．【变式6】．（2023下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，已知，，，试说明的理由．

解：因为（已知），所以（______）．因为（已知），所以______（______）．因为（已知），所以（______）即．所以______．所以（______）．【答案】两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式性质；；内错角相等，两直线平行．【分析】由得到，得到，由得到，则，即可得到结论．【详解】解：因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）．因为（已知），所以（等量代换）．因为（已知），所以（等式性质）．即．所以．所以（内错角相等，两直线平行）．【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式7】．（2021下·上海浦东新·七年级上海市建平实验中学校考期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得到和，再根据等量代换得出结论；（2）过点E作，根据平行线的性质可得，，表示出，从而可得三者之间的关系．【详解】解：（1）过点E作，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）；过点E作，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，即．【点睛】本题考查了平行线的性质，作出辅助线并熟记性质是解题的关键．【变式8】．（2023下·上海松江·七年级统考期中）填空，并把证明过程补充完整．如图，已知中，、、分别是、、边上的点，点是线段上的点，且，求证：．证明：点是线段上的点，______，已知，______．请补充证明过程，并写出过程依据【答案】邻补角定义；同角的补角相等；其余过程见解析【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【详解】证明：点是线段上的点，邻补角定义，(已知，同角的补角相等，，，，，，．故答案为：邻补角定义；同角的补角相等．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式9】．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）如图，已知在中，为边上一点，，交边于点，且，，请说明的理由．

解：因为（已知），所以_________（__________________）．即_________．因为（已知），所以_________（两直线平行，同位角相等）．因为（已知），所以_________（等量代换）．所以（__________________）．【答案】，等式性质，，，，内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定和性质证明即可．【详解】解：因为（已知），所以∠DBC（等式性质）．即∠DBF．因为（已知），所以ABC（两直线平行，同位角相等）．因为（已知）所以DBF（等量代换）．所以（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．题型八：利用平行线间距离解决问题【例8】．（2023下·上海杨浦·七年级统考期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，与交于点E．与的面积相等吗？为什么？

解：作，垂足为，作，垂足为．又因为（已知），所以______（平行线间距离的意义）．（完成以下说理过程）【答案】相等，理由见解析．【分析】作，垂足为，作，垂足为，根据平行线间间距相等得到，再根据三角形面积公式得到，进而可得．【详解】解：相等，理由如下：作，垂足为，作，垂足为．又因为（已知），所以（平行线间距离的意义）因为，，所以，所以，所以，所以与的面积相等．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线间间距相等是解题的关键．【变式】．（上海黄浦·七年级统考期中）（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点在m上移动到何位置，总有与同底等高，因此它们的面积相等；（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；（3）连结，过点作的平行线，连结或，则或即为所修直路．【详解】（1）∵与有共同的边AB，又∵，∴与的高相等，即与同底等高，∴=，故答案为：=；（2）方法一：连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，则与同底等高，∴，∴，即，又由可知与同底等高，∴，∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；方法二连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，则与同底等高，∴，∴，即，又由可知与同底等高，∴，∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；（3）方法一连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：∵，则与同底等高，∴，则，即，又由可知与同底等高，∴，∴满足修路方案；方法二：连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：∵，则与同底等高，∴，则，即，又由可知与同底等高，∴，∴满足修路方案．【点睛】本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形．一、单选题1．（2023下·上海·七年级统考期中）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（

）

A．； B．； C．； D．.【答案】C【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；B、∵，∴是的平分线，故该选项错误，不符合题意；C、∵，∴，故该选项正确，符合题意；D、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．2．（2023下·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（

）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】由平行线的性质以及角平分线的定义求得，再证明得到，据此即可求解．【详解】解：∵，∴，∵、分别平分、，∴，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴与互余的角有，共5个，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义以及互余的定义，由角平分线的定义及平行线的性质得出是解题关键．3．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（

）A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对【答案】A【分析】画出图形，根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行分析．【详解】解：如图所示，和，和两对角符合条件．∴，或，即两个角相等或互补，故选：A．

【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题时要联想的平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况．4．（2023下·上海·七年级期中）如图，，a、b被c所截，得到的依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行D．内错角相等，两直线平行【答案】A【分析】由图形可知和是一对同位角，且是由平行得到角相等，可知是平行线的性质．【详解】解：∵和是一对同位角，∴由得到是根据平行线的性质，即两直线平行，同位角相等，故选：A．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④，⇒．5．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（

）．

A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120【答案】D【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键．【详解】解：分两种情况：当时，如图：

∵，，，；当时，如图：

∵，；综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．6．（2023下·上海·七年级期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案．【详解】解：过C作，过M作，∵，∴，∴，，，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．二、填空题7．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）如图，已知直线被直线所截，，且，，那么°．

【答案】【分析】根据平行线的性质得出，列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，解得：，∴，即．故答案为：65．【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意列出方程求出x是解答本题的关键．8．（2023下·上海徐汇·七年级统考期末）如图，已知，点P是直线上的点，，，那么的度数是度．

【答案】33【分析】求出，利用平行线的性质，即可解答．【详解】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．9．（2023下·上海宝山·七年级统考期末）如图，直线、被直线所截，如果，，那么．

【答案】【分析】根据平行线的性质得出，然后根据对顶角相等即可求解．【详解】解：∵，，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（2023下·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，，则∠B、∠C、∠D的关系是．

【答案】【分析】如图，过作，证明，，，从而可得答案．【详解】解：如图，过作，

∵，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．11．（2021下·上海松江·七年级校考期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好是和第一次拐弯之前的道路平行，则．【答案】/97度【分析】过B作，由推出，再根据平行线的性质可求出和，进而求出．【详解】解：如图，过B作，∵，∴，∴，∵，∴，则．故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和角的计算．12．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，于A点，过A点作，若，则．【答案】45°/45度【分析】本题考查平行线的性质和垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．先根据补角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案为：．13．（2023下·上海·七年级统考期中）如图，已知，平分，，那么．

【答案】【分析】根据平行线的性质得到，根据平分，得出，然后根据平行线的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．14．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）如图，在梯形中，，点分别在边上，如果，，那么．

【答案】1.8【分析】连接，由平行线的性质可知，点，，到的距离相等，可得，，进而可求得答案．【详解】解：连接，

∵，∴点，，到的距离相等，∴，，∴，故答案为：1.8．【点睛】本题考查平行线的之间的距离，掌握平行线之间的距离相等是解决问题的关键．15．（2023下·上海闵行·七年级统考期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是．

【答案】【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式．【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示．

过点C作，则（两直线平行，则同位角相等）．∵，∴，∴（两直线平行，则内错角相等），又∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起．16．（2023下·上海徐汇·七年级统考期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是．

【答案】/度【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等，即可求出答案．【详解】解：过点作，如图所示：

，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键．17．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是．

【答案】【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得．【详解】解：如图，过点作，过作

，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．18．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）已知，如图，四边形中，，点E在线段上，为线段上一点，过点作，交直线于点．将沿翻折，使点的对应点落在线段上，当时，的度数是．

【答案】/65度【分析】由对折的性质及求出，再和前面方法一样用互余计算即可．【详解】解：，，，，由折叠有，，，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，．故答案为：．【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行线的性质与判定及余角，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题19．（2023下·上海闵行·七年级统考期中）已知：如图，与互补，，试说明．解：因为与互补所以（）所以（）又因为（）所以（等式性质）即所以（）所以（）【答案】同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】根据平行线的性质与判定定理，完成填空即可求解．【详解