2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题09三线八角及平行线的判定（4大考点+7种题型）（解析版）

专题09三线八角及平行线的判定（4大考点+7种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：同位角、内错角、同旁内角(三线八角)考点二：平行线的定义考点三：平行线的基本性质考点四：平行线的三种判定方法题型一：同位角、内错角、同旁内角题型二：平面内两直线的位置关系题型三：用直尺、三角板画平行线题型四：平行线基本性质的应用题型五：同位角相等两直线平行题型六：内错角相等两直线平行题型七：同旁内角互补两直线平行考点一：同位角、内错角、同旁内角(三线八角)若直线a，b被直线所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．（如）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如）112345678注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．考点二：平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．考点三：平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．考点四：平行线的三种判定方法两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．题型一：同位角、内错角、同旁内角【例1】．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）如图，的同位角是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】在两条直线的同一侧，在截线的同一旁，所得的两个角是同位角，根据定义判断．【详解】解：与不是同位角，故A不符合题意；与不是同位角，故B不符合题意；与是同位角，故C符合题意；与不是同位角，故D不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了同位角的定义，正确理解定义及图形特征是解题的关键．【变式1】．（2022下·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）下列图形中，和是同位角的图有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据同位角的定义（截线的同一侧，被截线的同一方位）解决此题．【详解】解：根据同位角的定义，第二个图和第三个图中的∠1和∠2是同位角．故选：C．【点睛】本题主要考查同位角的定义，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．【变式2】．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）如图所示的5个角中，内错角有对，同旁内角有对．

【答案】23【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答．【详解】解：由图可知：内错角有：和，和，共2对，同旁内角有：和，和，和，共3对，故答案为：2，3．【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形．【变式3】．（2022下·上海杨浦·七年级校考期中）如图：与成内错角的是；与成同旁内角的是．【答案】、和、、和【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．【详解】解：如图，与成内错角的是、和，与成同旁内角的是：、、和．故答案分别是：、和，、、和．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．【变式4】．（2023下·上海松江·七年级统考期中）如图，一共有对同旁内角．【答案】【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案．【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，共有对．故答案为：．【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．题型二：平面内两直线的位置关系【例2】．（2022下·上海·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．不相交的两条直线叫做平行线B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C．平角是一条直线D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【答案】B【分析】根据平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质依次判断．【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故选项A错误；同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故选项B正确；平角是角的两边在同一直线上的角，故选项C错误；过同一平面内三点中任意两点，能画出1条或3条直线故选项D错误；故选：B．【点睛】此题考查语句的正确性，正确掌握平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质是解题的关键．【变式1】．（2023下·七年级单元测试）下列说法中，正确的个数是（

）．①两条不相交的直线叫平行线；②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③连接两点间的线段叫做两点间的距离；④如果直线，，那么；⑤在同一平面内，如果直线，，那么．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据平行线的定义、平行公理、两点间距离的定义、平行公理的推论、平行的性质，逐项判断，即可求解．【详解】解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故①错误；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故③错误；根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两直线平行，故④正确；在同一平面内，如果直线，，那么，故⑤错误；综上可知，正确的只有④．故选A．【点睛】本题考查平行线的定义和性质，平行公理及推论，两点间距离的定义等，属于基础题，掌握相关定义和性质是解题的关键．【变式2】．（2021下·上海浦东新·七年级校考期中）下列说法中正确的是（

）A．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．过一点有且只有一条线平行于已知直线C．两条直线的位置关系是相交、平行、垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离【答案】A【分析】根据垂线的性质，平行公理，两直线的位置关系，点到直线的距离解答即可．【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法正确，符合题意；B、经过直线外一点，有且只有一条线平行于已知直线，说法错误，不符合题意；C、同一平面内，两条直线的位置关系是相交、平行、重合，说法错误，不符合题意；D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，说法错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了垂线的性质，平行公理，直线的位置关系以及点到直线的距离，解题的关键是正确把握相关定义和性质．题型三：用直尺、三角板画平行线【例3】．（2022下·上海静安·七年级统考期中）按下列要求画图并填空

已知直线AB、CD相交于点O，点P为这两条直线外一点

(1)过点P画直线PE⊥AB，垂足为E(2)过点P画直线PF⊥CD，垂足为F(3)过点P画直线PM∥AB，交CD于点M(4)点P到直线CD的距离是线段的长(5)直线PM与AB间的距离是线段的长【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)PF(5)PE【分析】（1）根据垂线的定义作图即可；（2）根据垂线的定义作图即可；（3）根据平行线的定义作图即可；（4）点P到直线CD距离是线段PF的长；（5）点PM与AB的距离是线段PE的长．【详解】（1）解：如图所示PE即为所求；（2）解：如图所示PF即为所求（3）解：如图所示PM即为所求（4）解：由题意可知点P到直线CD距离是线段PF的长．（5）解：由题意可知点PM与AB的距离是线段PE的长．【点睛】本题主要考查了复杂-作图，点到直线的距离以及平行线间的距离，掌握垂线和平行线的定义以及画法是解题的关键．【变式1】．（2021下·上海奉贤·七年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，根据下列要求作图并回答问题．(1)过点C画直线lAB；(2)过点A分别画直线BC和直线l的垂线段，垂足分别为点D、E，AE交BC千点F；(3)线段的长度是点A到BC的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AD【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）根据几何语言画出对应的几何图形；（3）根据点到直线的距离的定义求解．【详解】（1）如图，直线l为所作；（2）如图，AD、AE为所作；（3）线段AD的长度为点A到BC的距离．故答案为：AD．【点睛】此题考查了点到直线的距离，用直尺、三角板画平行线，作图—复杂作图．正确掌握各作图方法是解题的关键。【变式2】．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）如图，在中，

(1)画出点A到边的垂线，垂足为D．(2)过点A作的平行线．(3)点A到直线的距离是线段______的长度．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据垂线的画法画图即可；（2）根据平行线的画法画图即可；（3）根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，判断即可．【详解】（1）解：如图，线段即为所求；

（2）如图，即为所求；（3）点A到直线的距离是线段的长度．【点睛】本题考查了垂线，平行线，点到直线的距离，掌握相应的画法和定义是解题的关键．【变式3】．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．

(1)找一格点D，使得直线，画出直线．(2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据直线的定义，平行线的定义画出图形即可．（2）根据直线的定义，垂线的定义画出图形即可．【详解】（1）直线如图所示；（2）直线，点F如图所示．

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型四：平行线基本性质的应用【例4】．（2021下·上海静安·七年级上海市市西初级中学校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长度C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线平行于已知直线【答案】C【分析】点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．【详解】解：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，A、B说法均不正确；在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，C说法正确；在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故D说法错误．故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定、平行公理即推论，点到直线的距离，熟练掌握平行线的判定，平行公理及推论是解题的关键．【变式1】．（2021下·上海浦东新·七年级期中）下列语句正确的个数是（）（1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由题意直接根据平行公理及平行线的判定定理进行判断即可．【详解】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确；平面内，平行具有传递性，故（3）正确；同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确，∴正确的有（1）、（3）、（4），故选：C．【点睛】本题考查平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握理解平行线公理及判定定理是解题的关键．【变式2】．（2021下·上海杨浦·七年级统考期中）下列说法中，正确的有（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②从直线外一点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；③两平行线间距离处处相等；④平行于同一直线的两直线互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平行线公理及推论逐一判定．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；②从直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误；③两平行线间距离处处相等，原说法正确；④平行于同一直线的两直线互相平行，原说法正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的判定、点到直线的距离、平行公理，准确判断是解题的关键．【变式3】．（2022下·上海·七年级上外附中校考期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是．【答案】/【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可．【详解】解∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．题型五：同位角相等两直线平行【例5】．（2023下·上海虹口·七年级上外附中校考期末）下列各图中，已知，则可以得到的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据平行线的判定条件逐一进行分析，即可得到答案．【详解】解：A、，，，，，符合题意，选项正确；B、不能得到，不符合题意，选项错误；C、不能得到，不符合题意，选项错误；D、不能得到，不符合题意，选项错误，故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题关键．【变式1】．（2023下·七年级单元测试）如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转度．【答案】42【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转．【详解】解：如图：

∵，∴，∵，∴当时，，∴直线b绕点A逆时针旋转．故答案为：42．【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．【变式2】．（2022下·上海松江·七年级校考期中）如图，已知，平分，平分，且，请填写说明DE∥BF的理由的依据．解：因为平分，平分（已知）所以，（______）因为（已知）所以（______）因为（______）所以（______）所以DEBF（______）【答案】角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行【分析】根据角平分线定义和已知求出，推出，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：因为平分，平分（已知），所以，（角平分线的定义），因为（已知），所以（等量代换），因为（已知），所以（等量代换），所以（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线的定义，掌握同位角相等，两直线平行是关键.【变式3】．（2023下·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）如图，已知平分平分，且，说明的理出．

解：平分（已知），，（

）．同理，又，（已知）______________，又（已知），______________（

），（

）．【答案】见详解【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解．【详解】解：平分（己知），，（角平分线的定义）．同理，又，（己知），又（已知），（等量代换），（同位角相等，两直线平行）；故答案为角平分线的定义，1，3，2，3，等量代换，同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．【变式4】．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）如图，，和分别平分和，，请完成的说理过程．

解：和分别平分和（已知），（

）又（已知）____________（等量代换）（已知）________________________（等量代换）（

）．【答案】角平分线的定义；3；2；3；同位角相等，两直线平行【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定求解即可．【详解】解：和分别平分和（已知），（角平分线的定义）又（已知）（等量代换）（已知）（等量代换）（同位角相等，两直线平行）【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，熟记平行线的判定方法并灵活运用是解本题的关键．【变式5】．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．

解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，∴____，____(_____)即，，又∵(___)，∴____=____(___)，∴(___)．【答案】、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行．【分析】根据垂直的性质，平行线的判定求证即可．【详解】证明：∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，∴，(垂直的定义)即，，又∵(已知)，∴(等量代换)，∴(同位角相等，两直线平行)．故答案为：、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．【变式6】．（2023下·七年级单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，那么，请说明理由．【答案】见解析【分析】根据角平分线的定义得到，，根据垂直的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．题型六：内错角相等两直线平行【例6】．（2022下·上海·七年级专题练习）如图，能推断的是（）A．∠3＝∠4 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4+∠5 D．∠3＝∠1+∠2【答案】C【分析】利用平行线的判定进行分析即可．【详解】解：A、∠3＝∠4不能推断，故此选项错误；B、∠2＝∠4不能推断，故此选项错误；C、∠3＝∠4+∠5能推断，故此选项正确；D、∠3＝∠1+∠2不能推断，能推出，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．【变式1】．（2022下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）如图所示，已知，，，下列条件中，能得到AB∥CD的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的判定定理，即可求解．【详解】解：A、若，则∠4≠∠1，则不能得到AB∥CD，故本选项不符合题意；B、若，则∠5≠∠3，则不能得到AB∥CD，故本选项不符合题意；C、若，则∠4≠∠1，则不能得到AB∥CD，故本选项不符合题意；D、若，则∠5=∠3，则能得到AB∥CD，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式2】．（2023下·七年级单元测试）如图，下列推论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】解：A、，∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；B、，∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；C、由无法得到，不符合题意；D、，∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．【变式3】．（2022下·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么∥，判断依据是．【答案】ABCD内错角相等，两直线平行(答案不唯一)【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【详解】∵∠1+∠3+∠ABD＝180°，∠1＝56°，∠3＝80°，∴∠ABD＝180°﹣56°﹣80°＝44°，∵∠2＝44°，∴∠2＝∠ABD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．【变式4】．（2022下·上海·七年级专题练习）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．解：因为(已知)，(______)，所以(______)．因为平分，所以(______)．因为平分，所以______，得(等量代换)，所以______(______)．【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；；内错角相等，两直线平行【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定．【详解】解：（已知），（平角的定义），（同角的补角相等）．平分，（角平分线的定义）．平分，，（等量代换），（内错角相等，两直线平行）．故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．【变式5】．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）如图：已知直线与相交于点O，，，试说明的理由．

【答案】见解析【分析】首先根据等量代换和对顶角相等得到，然后利用内错角相等，两直线平行得到．【详解】证明：∵，∴∵∴∴．【点睛】此题考查了对顶角相等，内错角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式6】．（2022下·上海·七年级专题练习）已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2．求证：BE∥CF．证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC（已知）∴∠ABC＝90°，∠BCD＝90°（）即∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°又∵∠1＝∠2（）∴＝（）∴BE∥CF（）【答案】见解析【分析】由垂直的定义得∠ABC=90°，∠BCD=90°，即∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，求出∠3=∠4，即可得出结论．【详解】解：，∵AB⊥BC，CD⊥BC（已知），∴∠ABC=90°，∠BCD=90°（垂直的定义），即∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，又∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等角的余角相等），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定以及垂直的定义；熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．【变式7】．（2023下·七年级单元测试）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．(1)求的度数；(2)试说明的理由．【答案】(1)的度数为(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义推出，再根据对顶角性质求解即可；（2）结合等量代换得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．【详解】（1）解：∵，分别平分和，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．题型七：同旁内角互补两直线平行【例7】．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知，，直线和平行吗？为什么？AI【答案】平行，理由见解析【分析】先根据平行线的判定得出，，再根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出结论．【详解】解：平行．理由：因为，所以，又因为，所以，所以．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．【变式1】．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）请将下列证明过程补充完整：已知：如图，平分，平分，且求证：．证明：∵平分，∴．∵平分（已知），∴______（角的平分线的定义）．∴（______）．即．∵（已知），∴______（______）．∴（______）．【答案】角平分线的定义，，等式性质，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．【分析】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．先根据角平分线的定义，得到，再根据，即可得到，进而判定．【详解】证明：∵平分

（已知），∴（角平分线的定义）．∵平分（已知），∴（角的平分线的定义）．∴（等式性质）．即．∵（已知），∴（等量代换）．∴（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，，等式性质，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．【变式2】．（2022下·上海·七年级阶段练习）如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？解：∵∠1＝∠3（），∠1＝120°（已知）∴∠3＝（）∵∠2＝60°（已知）∴∠3+∠2＝180°（）∴∥（）【答案】对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行【分析】根据等式的性质以及平行线的判定定理即可解答．【详解】解：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝120°（已知），∴∠3＝120°（等量代换）∵∠2＝60°（已知）∴∠3+∠2＝180°（等式的性质）∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【变式3】．（2022下·上海·七年级专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB//EF的理由．【答案】见解析【分析】根据同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行、平行公理即可得出AB∥EF．【详解】解：，，，，．【点睛】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、熟练运用平行公理是解决此题的关键．【变式4】．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，的平分线交于E，交于点F，且．

(1)试说明：．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平分，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行；（2）根据，，可得，根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．一、单选题1．（2024下·全国·七年级假期作业）下列说法正确的是（

）A．两条不相交的直线是平行线B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．平行于同一条直线的两条直线平行D．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种【答案】C2．（2024下·全国·七年级假期作业）下列各图中，与是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】D3．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，如果与、与分别互补，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同角的补角相等，平行线的判定；根据同角的补角相等可得，根据内错角相等，两直线平行可得．【详解】解：∵与、与分别互补，∴，∴，故选：B．4．（2023下·七年级课时练习）如图，下列能判定的条件有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C5．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系，再比照五种说法判断对错，即可得出结论．【详解】解：根据内错角、同位角以及同旁内角的定义分析五种说法．①和是同位角，即①正确；②和是内错角，即②正确；③和是内错角，即③不正确；④和是同位角，即④正确；⑤和是同旁内角，即⑤正确．故选：D．6．（2024下·全国·七年级假期作业）已知与是同旁内角．若，则的度数是（

）A． B． C．或 D．不能确定【答案】D二、填空题7．（2023上·江苏·七年级专题练习）如果，那么．【答案】/【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行于同一直线的两直线平行是解题的关键．【详解】解：如果，那么（平行于同一直线的两直线平行），故答案为：．8．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是，的内错角是，的同位角是．

【答案】【分析】两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．【详解】解：由图可得：的同旁内角是；的内错角是；的同位角是，故答案为：；；．【点睛】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键．9．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则．

【答案】16【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，结合图形进行分析即可进行分析即可【详解】解：同位角有：与，与，内错角：与，与，同旁内角：与，与，与，与，，，，，故答案为：16【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．10．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，写出能判定的一个条件（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了平行线的判定．要判断，要看它们的截线所构成的“三线八角”图中各角的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可．【详解】解：∵，∴（内错角相等，两直线平行）；∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）；∵，∴（内错角相等，两直线平行）；∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）；故答案为：（答案不唯一）．11．（2024下·全国·七年级假期作业）小友把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边，在同一条直线上，可以得到．【答案】12．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是．【答案】内错角相等，两直线平行【分析】本题考查了平行线的判定；根据题意，，得出，即可求解．【详解】解：∵根据题意，，∴，依据为：内错角相等，两直线平行故答案为：内错角相等，两直线平行．13．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有（填写所有正确条件的序号）．【答案】①③/③①【分析】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键．根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①，，符合题意；②，，故本选项错误；③，，故本选项正确；④；，故本选项错误；故选答案为：①③．14．（2023下·河南焦作·七年级校考阶段练习）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是.

【答案】①【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角．【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确；与构成同位角的角的是，有1个，故②错误；与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误；故答案为：①．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念．三、解答题15．（2021下·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．

证明：∵（已知），（______________），∴（_______________），又∵（已知），∴（____________）（等式的性质）∴（_______________）又∵（_____________），∴（等式的性质）∵（已知），∴，∴（___________________________）【答案】对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线平行【分析】根据对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理，进行作答即可．【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等），∴（等量代换），又∵（已知），∴（）（等式的性质）∴（同旁内角互补，两直线平行）又∵（邻补角互补），∴（等式的性质）∵（已知），∴，∴（内错角相等，两直线平行）故答案为：对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．16．（2022上·黑龙江绥化·七年级统考期末），，．与平行吗？为什么？

解：．，，即．又，且，∴．理由是：．．理由是：．【答案】90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行【分析】由垂直于，利用垂直的定义得到为直角，进而得到与互余，再由与互余，根据，利用等角的余角相等得到，利用同位角相等两直线平行即可得证．【详解】解：．，，即．又，且，．理由是：等角的余角相等．．理由是：同位角相等，两直线平行．故答案为：90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键17．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，点A在射线上，点C在射线上，，．求证：．请将下面的证明过程补充完整．证明：∵（已知），，∴______，∵（已知），∴______（______），∴（______）．【答案】，，等量代换，同位角相等，两直线平行【分析】本题考查的是逻辑推理及其推理依据的理解；根据同角的补角相等可得，再根据等量代换可得，再利用平行线的判定方法可得．【详解】证明：∵（已知），，∴，∵（已知），∴（等量代换），∴（