2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题02 分式全章复习攻略（20个考点）与难点强化训练（解析版）

专题02分式全章复习攻略（20个考点）与难点强化训练思维导图考点一：分式的概念 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为0；分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．考点二：分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式，当时，分式有意义；当时，分式无意义．考点三：分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．考点四：分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：，．注意：（1）在运用分式的基本性质时，基于的前提是； （2）强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；（3）分式的基本性质是约分和通分的理论依据．考点五：约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．考点六：最简分式 一个分式的分子、分母没有相同的因式(1除外）时，这个分式叫做最简分式．约分可以把一个分式化为最简分式．考点七：约分的方法（1）当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公因数．（2）当分式的分子、分母中有多项式，则要先因式分解，再约分．（3）约分一定要彻底，即约分后分子和分母中不含公因式．考点八：分式的乘法法则 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示．考点九：分式的除法法则 分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘． 用公式表示为．考点十：分式的乘方法则 分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即．考点十一：分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】（1）在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算；（2）要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．例如：．考点十二：同分母的分式加减法法则同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．考点十三：异分母的分式加减法法则（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．考点十四：分式的综合运算与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．考点十五：分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫做分式方程考点十六：解分式方程（1）解分式方程的基本思想:“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了．（2）解分式方程的步骤：①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．考点十七：分式方程的应用其方法和步骤可归纳如下（1）审清题意，分清已知量和未知量；（2）设未知数；（3）根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；（4）解方程，并验根；（5）写出答案．考点十八：零指数；考点十九：负整数指数幂；考点二十：用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法绝对值大于0而小于1的数等于．题型一：分数的基本性质1.已知，求的值．【答案】．【解析】由，得，则； 所以．【总结】本题主要考查利用整体代入得思想进行分式的求值．2.已知满足，求的值．【答案】或．【解析】由题意，得，相加得， 当时，；当时，那么，代入，得； 综上所述，或．【总结】本题主要考查分式的求值，解题时注意分类讨论．3.已知，且，，求的值．【答案】或3．【解析】当时，； 当时，； 当时，； 当时，．4.已知，求的值．【答案】．【解析】因为，所以，即， 设，则． 所以原式．【总结】本题一方面考查分式的化简求值，另一方面考查整体代入思想的运用．5.如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即，那么 （结果用含的代数式表示，为正整数）．【答案】．【解析】，，； ， ∴（为正整数）．题型二：分式的运算1.已知，，求代数式的值．【答案】-2．【解析】，已知，，所以原式=．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．2.已知，求的值．【答案】．【解析】已知，则，所以，．，当，时，原式=．【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值．3.已知，求：（1）；（2）的值．【答案】（1）11；（2）．【解析】已知，则（等式两边同时除以），（1），（2）．【总结】考察分式的变形，这种变形经常用到，因此要彻底理解．4.计算：．【答案】．【解析】=．【总结】本题主要考查异分母分式的加法，注意先通分，通分时注意平方差公式的运用．5.计算：．【答案】0．【解析】．【总结】注意分式规律的运用．6.已知三个数满足，求式子的值．【答案】1．【解析】已知三个数满足，则，．【总结】本题综合性较强，主要考查整体代入思想的运用，以及通过恰当的变形，将异分母分式转化为同分母分式．7.计算：．【答案】．【解析】．【总结】分式计算时，先观察分式的规律，适当的时候作简便运算．8.已知，，，求的值．【答案】．【解析】已知，，则，，所以．【总结】利用解方程组的思想消元，得出未知数之间的关系，然后通过约分求出分式值．9.已知，，，求的值．【答案】1．【解析】【总结】本题计算比较复杂，解题时注意观察规律，将难度降低．10.计算：．【答案】．【解析】．【总结】考察有规律的分数运算，总结出规律为，类似分数的裂项运算．11.已知，求的值．【答案】．【解析】已知，则可设，．

【总结】考察分式的乘法运算，遇比设未知数进行约分求值是一种常用的方法．12.求证：．【解析】

．

【总结】本题综合性较强，主要考查分式的变形化简，解题时注意观察分子分母间的关系．13.已知，且，求的值．【答案】1．【解析】因为，所以，代入，可得：，即，，所以，所以，即，所以．【总结】本题一方面考察分式的变形，另一方面考查整体思想的运用，综合性较强．14.计算：．【答案】．【解析】【总结】本题主要考察分式的加法运算，注意观察分母的规律，通过裂项进行求解．15.已知，且，试求的值．【答案】2【解析】原式变形为：， 所以． 因为，所以， ∴， 所以．【总结】本题一方面考查分式的化简求值，另一方面考查整体思想的运用．16.已知，，求的值．【答案】0或±1．【解析】因为，所以，即．所以，即．所以或，当时，，∵，所以．综上，．【总结】本题综合性较强，主要是考察分式的变形及其运用．17.计算：．【答案】．【解析】原式 ．【总结】本题一方面考察完全平方公式的运用，另一方面考查分式的化简求值．18.已知，，用含的代数式来表示．【答案】．【解析】已知，则，所以， 所以．【总结】考察分式的变形．19.化简：（1）；（2）．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1） ；（2） 【总结】本题计算比较复杂，主要考查分式的加减运算，注意方法的选择运用．20.已知=，用表示的值．【答案】．【解析】因为，所以， 所以，即． 所以．【总结】本题主要考察分式的变形和完全平方公式的运用．21.化简：．【答案】．【解析】 【总结】考察分式化简，注意观察分式规律，利用裂项的方法进行运算．22.计算：．【答案】．【解析】 【总结】考察分式的运算，注意观察分母的规律，利用裂项法进行计算．23.如果，求的值．【答案】-1．【解析】如果，所以，设， 所以，所以．【总结】考察分式的变形以及利用设“k”法求值．24.已知：，求的值．【答案】1．【解析】原式 【总结】本题综合性较强，考察分式的整体计算，主要利用整体代入思想进行代入求值．25.化简：．【答案】0．【解析】 ．【总结】本题综合性较强，主要是通过因式分解和拆项找到分子与分母间的关系，然后利用裂项的方法进行求值．题型三：分式方程及其应用1.已知分式方程的解为非正数，则的取值范围是________．【答案】．【解析】方程两边同时乘以可得：，解得：，因为方程的解为非负数，所以，且，则．【总结】考察分式方程的解法，注意非正数的理解．2.解关于的方程：．【答案】．【解析】，两边同时乘以，可得：，解得：，经检验，是原方程的解，所以原方程的解为．【总结】考察分式方程的解法，要熟悉十字相乘法分解因式．3.方程有增根，求的值？【答案】．【解析】方程两边同时乘以可得：，解得：， 因为方程有增根，所以或， 当，所以，则， 当，所以，则， 所以．【总结】考察分式方程增根的定义4.若关于的分式方程无解，则．【答案】．【解析】方程两边同时乘以可得：，解得：， 因为分式方程无解，所以或或， 当，所以，则不存在， 当，所以，则， 所以．【总结】考察分式方程的解法和增根的定义，注意对方程无解的理解．5.已知分式方程的解为非负数，则的取值范围是________．【答案】且．【解析】方程两边同时乘以得：，所以，因为方程的解为非负数，所以且，所以且．【总结】分式的解要考虑分母不为零．6.解关于m的方程：．【答案】．【解析】原方程可化为，方程两边同时乘以可得：整理得：，解得：，经检验是原方程的解，所以原方程的解为．【总结】考察分式方程的解法，注意观察分式方程的规律．7.解关于x的方程：．【答案】．【解析】方程两边同时乘以可得：，整理可得：，解得：．所以方程的解为．【总结】本题考察分式方程的解法，注意这个方程不是分式方程，不需要验根．8.若关于的方程会产生增根，求的值．【答案】．【解析】方程两边同时乘以，可得：，因为方程有增根，所以或是这个方程的解当是这个方程的解，则可得，所以当是这个方程的解，则可得，所以所以方程的解为．【总结】本题主要考察分式方程的增根的定义．9.阅读下列材料解答下列问题：观察下列方程：①；②；③……（1）按此规律写出关于的第个方程为________________，此方程的解为_________；（2）根据上述结论，求出的解．【答案】（1），；（2）．【解析】①，方程的解为1或2；②，方程的解为2和3；③，方程的解为3或4；找规律可得答案．方程可变形为，由（1）可得：，所以．【总结】本题主要考察利用规律求分式方程的解．10.甲、乙两车同时从相距100千米的A地到B地，甲比乙晚出发30分钟，结果乙 比甲晚到30分钟，已知甲车速度是乙车速度的2倍，求甲、乙两车的速度（保留到整 数）．【答案】乙车速度为50千米/小时，则甲车速度为100千米/小时．【解析】设乙车速度为千米/小时，则甲车速度为千米/小时 则由题意有：，解得：，经检验，是原方程的解， 所以乙车速度为50千米/小时，则甲车速度为100千米/小时．【总结】考察分式方程的应用题．11.某客车从甲地到乙地走全长的高速公路，从乙地到甲地走全长的普通公路．又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间．【答案】4小时．【解析】设甲地到乙地的时间为小时，则有题意可得：，解得：，经检验，为原方程的解且符合题意，答：该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间为4小时．【总结】考察分式方程在实际问题中的应用，注意对题意的理解，列出准确的方程．一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）关于的分式方程有增根，则的值为A．2 B． C．0 D．1【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．【解答】解：方程两边都乘，得原方程有增根，最简公分母，解得，当时，．解得．故选：．【点评】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．（2022秋•上海期末）如果分式的值为零，那么等于A．2 B． C．2或 D．0【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的值即可．【解答】解：的值为零，且，解得．故选：．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．3．（2022秋•上海期末）分式中，当和分别扩大3倍时，分式的值A．扩大9倍 B．扩大6倍 C．扩大3倍 D．不变【分析】根据分式的基本性质化简即可．【解答】解：，分式的值扩大3倍，故选：．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．4．（2022秋•青浦区期末）关于代数式，下列说法正确的是A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1【分析】根据当时，有意义，且，即可解答．【解答】解：有意义的条件是：，解得：，即当时，故选：．【点评】本题考查了零指数幂有意义的条件，熟练掌握零指数幂有意义的条件是解题的关键．5．（2022秋•青浦区校级期末）下列分式方程中，解为的是A． B． C． D．【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．【解答】解：当时，．中，左边，右边，不符合题意；．中，，分母等于0，分式无意义，不符合题意；．中，左边右边，符合题意；．中，分母，不符合题意．故选：．【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况．6．（2022秋•青浦区校级期末）下列各式是最简分式的是A． B． C． D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：、是最简分式，故本选项符合题意；、，不是最简分式，故本选项不符合题意；、，不是最简分式，故本选项不符合题意；、，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了最简分式．熟练掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2023秋•奉贤区期中）当时，代数式的值是4．【分析】将代入计算即可．【解答】解：时，．故答案为：4．【点评】本题考查分式的值，较简单，代入计算要细心，避免出错．8．（2022秋•上海期末）要使分式有意义，则的取值范围是．【分析】分式有意义时，分母不等于零．【解答】解：当分母，即时，分式有意义．故答案为：．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．9．（2022秋•闵行区校级期末）将表示成只含有正整数指数幂的形式为．【分析】根据负整数指数幂的运算法则解答即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题考查的是负整数指数幂，熟知负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数是解题的关键．10．（2023秋•普陀区校级期中）计算：．【分析】利用分式的加减法则计算即可．【解答】解：原式，故答案为：．【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．11．（2022秋•宝山区校级期末）当时，分式的值为0．【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【解答】解：分式的值为0，且，解得：且，，，故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．12．（2022秋•杨浦区期末）如果，，那么1．【分析】根据等式的性质分别求出和，根据分式的加减法法则计算，得到答案．【解答】解：，，，，，，，故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的性质、等式的性质是解题的关键．13．（2022秋•浦东新区校级期末）方程的解是．【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，所以是原分式方程的解，故答案为：．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．14．（2022秋•闵行区校级期末）如果关于的分式方程无解，则的值为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值．【解答】解：，去分母得：，根据分式方程无解，得到，即，代入整式方程得：，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了分式方程的解，正确记忆在任何时候都要考虑分母为0无解是解题关键．15．（2022秋•闵行区校级期末）已知，则的值为．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后代入所求式子计算即可求出值．【解答】解：，即，原式．故答案为：．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是关键．16．（2022秋•青浦区期末）如果关于的分式方程无解，那么的值是或者．【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．【解答】解：，方程两边同时乘以，得：，整理得：，该分式方程无解，，，故答案为：或．【点评】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．17．（2023秋•普陀区校级期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的范围是且．【分析】解方程，用含代数式表示，由解为正数求出的取值范围，注意增根情况．【解答】解：，，，方程的解为正数，且，且，故答案为：且．【点评】本题考查含参数的分式方程的解，解题关键是要注意排除增根情况的的值．18．（2023秋•普陀区校级期中）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程为正整数）的根，你的答案是：或．【分析】首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程的根为：或，然后将化为，利用规律求解即可求得答案．【解答】解：由①得，方程的根为：或，由②得，方程的根为：或，由③得，方程的根为：或，方程的根为：或，可化为，此方程的根为：或，即或．故答案为：或．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程的根为：或是解此题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•静安区期中）若为最简分式，且对任意的值，有，且，求的值．【分析】将已知等式进行通分得出，，，得出，或，，，然后分情况代入求值即可．【解答】解：，，，，或，，，，当，，时，；当，，时，，综上得：的值为或5．【点评】题目主要考查分式的化简及通分运算，熟练掌握分式的运算进行分类讨论是解题关键．20．（2022秋•杨浦区期末）计算：【分析】首先应用平方差公式，可得，据此推得；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：【点评】此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①，为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．21．（2022秋•闵行区校级期末）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的的值代入计算即可．【解答】解：原式，且，且，，则原式．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．（2022秋•青浦区期末）先化简后求值：，其中．