2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题04 圆中的重要模型之圆幂定理模型（原卷版）

专题04圆中的重要模型之圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。模型1.相交弦模型条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。结论：。例1．（2023·山东菏泽·九年级统考期中）如图，已知、、、在同一个圆上，，与交于，若，，且线段、为正整数，则．

例2．（2022春·广东九年级期中）如图，为外接圆⊙O的直径，交于点F，且．(1)求证：是⊙O的切线；(2)求证：；(3)若，，，求⊙O的半径．例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：．证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据）∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径．模型2.双割线模型条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。结论：例1．（2023·浙江九年级月考）已知、为的两条割线，，，，，则的半径为．例2．（2023·北京九年级月考）如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（）A． B． C． D．7例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．求证：．证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______．又∵，∴______，∴______．即．研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．证明二：连接、，模型3.切割线模型条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。结论：例1．（2023春·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则．

例2．（2023·浙江台州·统考二模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，连接，且．(1)求证：；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由．

例3．（2022·河南驻马店·校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果、、三个量成连比例即，则叫做和的比例中项）(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图，是圆外一点，是圆的切线，直线为圆的割线．求证：证明：(2)已知，，则的长度是．模型4.弦切角模型条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。结论：1）；2）；3）。例1．（2023·广西九年级期中）定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角．（1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想．（2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论．例2．（2022·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，与相切于点，为直径，当圆心在上时，容易得到，所以弦切角，请帮助小高继续解决下面的问题．(1)如图2，是的切线，为切点，为直径，夹弧所对的圆周角为，求证：(2)如图3，是的切线，为切点，夹弧所对的圆周角为．求证；【解决问题】(3)如图4，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，直接写出与的数量关系：______例3．（2022·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明．小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决．小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明；(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；(4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______°模型5.托勒密定理模型条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦；结论：例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．已知：如图1，四边形内接于．求证：下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作，交于点E．∵∴（依据1）∴（依据2）∴∴∵∴∵∴即∴∴∴∴任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：____________________________________________．依据2：____________________________________________．（2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长．例2．（2023春·河南平顶山·九年级校联考阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务：罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家．托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程：证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，…任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______；(2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长．课后专项训练1．（2023·江苏九年级期中）如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为（）A． B． C． D．2．（2023·广西九年级期中）如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（）A． B． C． D．3.（2023·江苏无锡·九年级阶段练习）如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为．4．（2023·全国·九年级假期作业）如图，已知的两条直角边的长分别为3，4，以为直径作圆与斜边交于点D，则．

5．（2023九年级课时练习）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为．6．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点．证明情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）：，∴∴，即情况二点P在⊙O外时（如图2）：情况三当点A和点B重合时（如图3）7．（2023·山东青岛·统考一模）如图，是的外按圆，是的直径，点D是外一点，平分，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，点E是的中点，连接．(1)求证：是的切线；(2)若的直径为10，，求的长．

8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交圆于点，连接，过作交的延长线与点，(1)求证：是的切线；(2)若，求的长

9．（2023·云南昆明·统考一模）如图，P是以O为圆心的两个同心圆外一点，过P点的两条直线分别与大圆O交于A、B、C、D四个点，其中一条直线交小圆O于F点，F为线段的中点，，，垂足为E．(1)求证：为小圆O的切线；(2)若，，求大圆的半径．

10．（2023·广东揭阳·统考一模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图1，设点是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，作线段的中点；②以为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；③连接、，则、是圆的切线．(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；(3)如图2，连接并延长交圆于点，连接，已知，，求圆的半径．11．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，在中，，以的中点为圆心、为半径的圆交于点，是的中点，连接，．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)求证；(3)若，，求的长．12．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．(1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．

13．（2023秋·山西大同·九年级校考期末）如图在中，，以为直径的交于点D，点E是上的一点．(1)当点E在的什么位置，与相切?并说明理由；(2)求证：．

14．（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、．(1)求证：；(2)连接，若，，求⊙的半径．15．（2023·山东济宁·一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长．16．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．(1)求证：；(2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）(3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示．

17．（2022秋·广东九年级期中）探究问题：

(1)阅读理解：①如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离．②如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理．知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图D，在的外部以为一边作等边及其外接圆；第二步：在上任取一点，连接．易知________；第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出的费马点P，则线段______的长度即为的费马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．18．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）已知：如图①四边形是的内接四边形

求证：证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．

19．（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题：克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．托