2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第6章 反比例函数（压轴题专练）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

反比例函数（压轴题专练）题型01：反比例函数与一次函数交点问题1．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．

(1)当时，求D点的坐标和m值．(2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值．(3)当时，请直接写出t与m之间的关系式．【答案】(1)D（），(2)10(3)当时，；当时，【分析】（1）联立方程组求解可得，根据点为整点，可得，代入，求得，与联立，可求得，再通过联立求解可得，，即可得出答案；（2）根据题意可得，必为整点，即为偶数，由，可得，，进而推出，，建立方程求解即可得出答案；（3）当时，线段上有2个整点：设D（d，d），，，进而得出，建立方程求解即可求得；当时，线段上只有1个整点，设，则线段上有个整点，线段上有个整点，得出，，可推出，再把点的坐标代入，即可得出．【解析】（1），，由，解得：，，点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数，点的横坐标为1，，把代入，得，解得：，，联立得，解得：，，，由，解得：，，，线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，．；（2）线段上的整点个数为7，，必为整点，为偶数，，，，，线段上有3个整点，，，，，解得：；（3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点，∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，设D（d，d），则，又∴，∴，∴，∴，∴；当时，线段AD上只有一个整点A，∴线段BC上整点个数为m，由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B，∴，∴，∴，即；综上，当时，；当时，【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解决问题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，点是双曲线上的动点，横坐标为，作轴交直线于点，连接、．

(1)求a、b的值；(2)求的面积与的函数关系式，并求的最大值；(3)当四边形为平行四边形时，连接，并将直线向上平移个单位后与反比例函数的图象交于、两点，与直线交于点，设、、三点的横坐标分别为、、，是否存在正实数使得等式成立，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)，有最大值；(3)存在，．【分析】（1）将代入，求出的值，将代入，求的值即可；（2）由题意可得，，可求，则当时，有最大值；（3）由四边形为平行四边形，求出，再由待定系数法求直线的解析式，则平移后的直线解析式为，联立方程组，根据根与系数的关系可得，再联立方程组，可求，则，由题意可得方程，求的值即可．【解析】（1）解：在直线上，，，将点代入，；（2）解：点横坐标为，，轴，，，，当时，有最大值；（3）解：存在正实数使得等式成立，理由如下：四边形为平行四边形，，令，则，，，，解得或，，，，设直线的解析式为，，解得，，平移后的直线解析式为，联立方程组，整理得，，，，，联立方程组，解得，，，，，解得或，是正实数，．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，一元二次方程根与系数的关系．3．图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究：探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．

【答案】探究一：；探究二：；探究三：【分析】探究一：联立直线l与曲线c解析式得到对应的一元二次方程，根据只有一个交点得到一元二次方程有两个相等的实数根，据此求解即可；探究二：利用图象法求出A，B的坐标，进而求出n的值，进一步求出E，G的坐标，利用勾股定理求出的长即可得到答案；探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，求出，进而证明，再证明，得到，即，则E、F关于直线l对称，进而得到，设，推出，，则，即可求出，，再根据，得到，解方程即可得到答案．【解析】解：探究一：联立得：，∵直线l与曲线c有且只有一个交点，∴关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得，当时，原方程为，解得，不符合题意；当时，原方程为，解得，符合题意；∴；探究二：设，由函数图象可知，当直线l的函数图象在曲线c的函数图象上方时，自变量的取值范围为，∵当时，x的取值范围是，∴，联立得：，∵直线l与曲线c交于A，B两点，∴方程的两个实数根分别为，∴，∴直线l的解析式为，∴，∴；联立，解得，∴；联立，解得或，∴，∴，∴；探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，在中，当时，，当时，，∴，∴，又∵，∴，又∵直线平分，∴，∴，即，∴E、F关于直线l对称，∴，设，联立得：，联立，解得，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得（此时直线l与曲线c只有一个交点）（舍去）或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解一元二次方程，正确通过联立对应的解析式，从而表示出对应的交点坐标是解题的关键．4．如图，已知线段，，，现将线段沿y轴方向向下平移得到线段．直线过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线的一条分支上，

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)①直接写出不等式的解集；②若点P是y轴上一点，且的面积为8.5，请直接写出点P的坐标；(3)若点，在双曲线上，试比较和的大小．【答案】(1)y，；(2)①或；②或；(3)当或时，；当时，．【分析】（1）设线段沿y轴方向向下平移t个单位得到线段，则点M、N的坐标分别为、，将点M、N的坐标代入，得：，解得，再将点M、N的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求解；（2）①观察函数图象，结合点M、N的坐标，即可求解；②设直线MN与y轴的交点为C，先求出，再根据，求出的长，即可得到点P的坐标；（3）将点C、D的坐标分别代入反比例函数表达式得：，，则，根据a的取值分情况讨论即可求解．【解析】（1）设线段沿y轴方向向下平移t个单位得到线段，点M、N的坐标分别为、，将点M、N的坐标代入得：，解得：，点M、N的坐标分别为、，，反比例函数的解析式为：y，将点M、N的坐标代入一次函数解析式，得，解得：，一次函数解析式为：；（2）①观察函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象下方部分即为不等式解集，不等式的解集为或；②设直线与y轴的交点为C，令，则，∴如图，当点P在点C上方时，,的面积为8.5，∴解得，；如图，当点在点C下方时，同理可得，，，综上可知，点P的坐标为或；

（3）将点，分别代入反比例函数，得：，，则，当时，即或时，；当时，即时，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的性质等知识点，体现了方程思想，综合性较强，利用数形结合思想解决问题是解题关键．5．如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．

(1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______；(2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式；(3)当平行四边形的面积等于30时，求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）首先根据直线的解析式求出和的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，从而求出反比例函数解析式；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，利用可得点的坐标，再利用平移知，相同，从而解决问题；（3）根据的面积等于30，得的面积为30，由题意可得，，，再由（2）同理可得点的坐标，从而表示出，进而解决问题．【解析】（1）解：当，时，，当时，，当时，，，，为线段的中点，，反比例函数过点，，，故答案为：，；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，则轴，

∴，在平行四边形中，，，∴，∴，又，，∴，，，由（1）知，，，，，，，把代入中，得，，设直线为，直线由直线平移得到，，将代入中，得，，直线的解析式为为；（3）的面积等于30，的面积为15，点是的中点，的面积为30，由可得：，，∵B为线段的中点，∴，将代入中，得：，同（2）可得，，把代入中，得：，，，，的面积为30，，即，．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质等知识，利用由特殊到一般类比的数学思想是解决问题（3）的关键．题型02：反比例函数与几何-存在性问题6．如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．

(1)求的值，并直接写出点的坐标；(2)点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，点P的坐标为或【分析】（1）将代入直线解析式，可求出m，即可求出答案；(2)如图1，作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案；(3)分两种情况讨论：P在x轴上，P在y轴上，利用相似进行求解即可．【解析】（1）解：将点A的坐标为代入直线中，得，解得：，，，∴反比例函数解析式为，由，解得或，∴点B的坐标为；（2）解：如图，作轴于点E，轴于点F，则，

，，，，，，，，，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，，，，设的解析式为，，，解得：，解析式为，当时，，；（3）解：存在．理由如下：当点P在x轴上时，如图，

设点的坐标为，过点B作轴于点M，四边形是矩形，，，，，，，，，，，经检验符合题意，∴点的坐标为；当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2，设点的坐标为，四边形是矩形，，，，，，即，，经检验符合题意，∴点的坐标为，综上所述，点P的坐标为或．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用轴对称解决线段和的最小值问题，能用分类讨论的思想解决问题．7．综合与实践如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，把线段绕点B逆时针旋转得到，过点C作轴于点D，反比例函数的图象经过点C，与直线交于两点E和F．

(1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，若点E的横坐标是1，点F的纵坐标是．①直接写出线段和的数量关系和当时，x的取值范围；②连接和，求的面积；(3)当点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点A，D，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．【答案】(1)(2)①或；②15(3)或或．【分析】（1）证明，得到点，进而求解；（2）①观察函数图象即可求解；②由的面积，即可求解；（3）当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式和列出表达式，即可求解；当是对角线时，同理可解．【解析】（1）对于，令，解得，令，则，即点、的坐标分别为、，，，，，，，，，点，将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，故反比例函数表达式得：；（2）当时，，即点，同理可得，点，①由点、、的坐标知，，即，观察函数图象知，当时，的取值范围为：或；②延长交轴于点，设交轴于点，

设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：，即点；同理可得，直线的表达式为：，即点，则，，，则的面积；（3）设、，，当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式和得：，解得；即点；当是对角线时，同理可得：，解得，即点；当是对角线时，同理可得：，解得：，故点；综上，点的坐标为：或或．【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，涉及平行四边形的判定与性质，解方程，三角形全等，面积的计算，待定系数法求解析式，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接(1)求k，b的值.(2)当的面积为3时，求点P的坐标.(3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.【答案】(1)(2)(3)或，【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n；（2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标；（3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．【解析】（1）∵直线过点，∴，∴，∵直线过点，∴，∴，∵过点，∴；（2）∵点P的横坐标为t，∴，∴∴，∵，又，∴，∴，∴；（3）如图1，∵，，∴当是边，点D在x轴正半轴上，作于F，作于G，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（舍去），∴如图2，当点D在x轴的负半轴上时，由上知：，∴，∴，当是对角线时，当是对角线时，点D在x轴负半轴上时，可得：，∴，∴，∴，如图4，，∴，∴，（舍去），当时，，∴，综上所述：或，.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．9．如图，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．

(1)判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；(2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；(3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．【答案】(1)点B在反比例函数的图象上，理由见解析(2)证明见解析(3)点P的坐标为或或【分析】（1）求出点的坐标，判断即可；（2）证明，，推出四边形是平行四边形，再证明，可得结论；（3）分三种情况：当四边形是菱形时，；当四边形是菱形时，；当四边形是菱形时，．【解析】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上．理由：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，∴，∵A，B关于原点对称，∴，∵时，，∴点B在反比例函数的图象上；（2）证明：由题意，，，∵C，D关于原点对称，∴，∵A，B关于原点对称，∴，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∴四边形是矩形；（3）解：如图，当四边形是菱形时，．当四边形是菱形时，．当四边形是菱形时，，综上所述，满足条件的点P的坐标为或或．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．题型03：反比例函数与几何-最值问题10．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象交于点，其中，点A在x轴的正半轴上，点的坐标为，过点C作轴于点H．

(1)已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；(2)若点P是线段上的一点，满足，连接，过点作轴于点，记的面积为，设①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；②当T取最小值时，求m的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）设直线的解析式为，待定系数法求出函数解析式即可；（2）①过点B作，根据等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，得到，设，易得，解，求出的长，进而求出，的长，解，求出的长，即可得解；②利用二次函数的性质，求出点坐标，即可得解．【解析】（1）解：设直线的解析式为，把，代入，得：，∴，∴．（2）①过点B作，则：，，

∵轴，轴，∴，∴，设，∵，∴，，∴，∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②∵，∴当时，取得最小值，∴，∴，∴．【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次函数等知识，其中（2），确定点C的坐标，是本题解题的关键．11．【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标．【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．

(1)求点关于直线的对称点的坐标．(2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．设交直线于点，作轴于点，由轴对称的性质得，，则，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得点的坐标，即可求解；（2）连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．根据矩形的判定可得四边形是矩形，推得，，根据勾股定理即可得出结论．【解析】（1）解：（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．设交直线于点．作轴于点，如图1：

∵点，关于直线对称，∴直线是线段的中垂线，∴，，∴，∵点在直线上，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵点的横坐标为，且点在函数的图象上，故将代入，解得：，∴点坐标为，∴，．∴点坐标为．（2）解：如图2，连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．

∵由（1）知点坐标为，∴，．∵点的坐标为，∴，∴．∵，∴四边形是矩形．∴，，∴．即的最小值为．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及轴对称的性质是解题的关键．题型04：反比例函数与几何-动态几何12．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：

(1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______；(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像：①列表：x123469y0m4n0表中m＝______，n＝______；②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______．(3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长．②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值．【答案】(1)(2)①，；②见解析；③3，4(3)①；②【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据的长等于纵坐标之差求解即可；（2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可（3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度；②先求出点，点坐标，设点，可求,由四边形面积列式，即可求解.【解析】（1）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得；

故答案为：（2）①当，当时，故答案为：，；

②如图所示，

③观察函数图象，当时，有最大值为，故答案为:；（3）①根据题意可得代入中，可以得到，即，由可知函数在时,取得最大值为，∴当时,,即取得最大值，，∴在取得最大值时，矩形的对角线长为②∵直线与坐标轴分别交于点,∴点,点，设点，∴,点，，∵四边形面积由得,当时,有最大值为，即有最小值，∴四边形面积的最小值为.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键．13．已知点在反比例函数的图像上，点在轴上，连接，如图1，将绕着点顺时针旋转至点，点正好落在轴上．

(1)求的值和点的坐标；(2)若点在反比例函数图像上，连接并延长至点，使得，连接、，①如图2，连接并延长交轴于点，当轴时，试说明平分；②如图3，连接交于点，将沿着翻折，记点的对应点为，若点恰好落在线段上，求与面积之比．【答案】(1)，(2)①见解析；②2【分析】（1）过点M作轴于点A，由旋转性质得：，，可证得，得出，进而可得，求得，由，可得；（2）①过点E作轴于点F，过点H作于点G，则，由轴，可得，，由，可得，由，可得，再证得是等腰直角三角形，即，可得平分；②由折叠性质可得，，证得四边形是正方形，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组可得，进而得出，进而可得．【解析】（1）如图1，过点M作轴于点A，则，

∵将绕着点顺时针旋转至点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①证明：如图2，过点E作轴于点F，过点H作于点G，则，

∵，轴，∴，，∴，∵连接并延长至点E，使得，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴平分；②解：∵将沿着翻折，点H的对应点为恰好落在线段上，∴，，

∵，∴，∵，∴四边形是正方形，∵，∴，∵，∴，设直线的解析式为，将代入，得，解得：，∴直线的解析式为，联立得，解得：（舍去），，∴，∵，∴∵，∴．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，三角形面积，全等三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．14．如图1，在线段上找一点，把分成和两段，且满足，则我们称点为线段的品质点，他们的比们叫做品质数，记为．即：．显然，品质数与线段的长度无关，是一个定值．

(1)求的值；(2)如图2，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与坐标原点重合，边分别在轴、轴上，点为线段中点，连接，点为线段上一点，使得沿所在直线折叠后点与上的点重合．求证：是线段的品质点；(3)在（2）的条件下，如图3，已知点为线段上一动点，一次函数经过点，并与过点的反比例函数分别交于两点(其中)，若为线段的品质点，求的取值范围．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）设，，则，根据题意建立方程即可求解；（2）连接，设，则，，在中，，在中，，解方程得出，则，即可得证；（3）依题意得出，反比例函数解析式为，联立，消去得，，设的横坐标为，则是的两个根，则，，得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据平行线分线段成比例得出，进而得出，即，设，则，，得出，根据点为线段上一动点，一次函数经过点，得出，进而即可求解．【解析】（1）解：设，，则，∵，∴∴∵，∴解得：（舍去）或，经检验是原方程的解，∴；（2）解：如图所示，连接，

∵正方形的边长为，依题意，，∴，∵折叠，∴，，∴，设，则，，在中，，在中，，∴，解得：，∴，∴是线段的品质点；（3）解：∵∴代入，∴反比例函数解析式为，联立，消去得，，设的横坐标为，则是的两个根，∴，∴如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为

∴，∴，∵为线段的品质点，，∴，∴，即，设，则，∴，∴，，∴，∵点为线段上一动点，一次函数经过点，由（2）可得，∴，∴，则，∵，，∵，∴；又∵，，∴，综上所述，．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，坐标与图象，平行线分线段成比例，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型05：反比例函数新定义题15．中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻军对垒的分界线，数学中为了对两个图形进行分界，在平面直角坐标系中，对“楚河汉界线”给出如下定义：点P是图形上的任意一点，点Q是图形上的任意一点，若存在直线L：满足且，则称直线L：是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．

(1)在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有___________（填序号）：(2)如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点M是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求t的取值范围．【答案】(1)①、④(2)(3)或【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出与双曲线及正方形有一个公共点的直线为，没有公共点的直线为，根据“楚河汉界线”定义，即可解答；（2）先作出以原点O为圆心且经过的顶点D的圆，再过点D作的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t的取值范围．【解析】（1）如图所示，

从图中可知与双曲线及正方形没有公共点，与双曲线及正方形只有一个公共点，、不在双曲线及正方形之间，根据“楚河汉界线”定义可知，直线、是双曲线及正方形的“楚河汉界线”，故答案为①、④；（2）如图1，连接，以O为圆心，长为半径作，作轴于点G，过点D作的切线，则，∵D的坐标是，∴，∴直线是与的“楚河汉界线”，∵，∴，，∴，∴，∴，∴设直线的解析式为，则，解得，∴与的“楚河汉界线”的表达式是；（3）由得，∵直线与抛物线有唯一公共点，∴，∴，解得；，∴此时的“楚河汉界线”为，当正方形在“楚河汉界线”上方时，如图：

∵是此正方形的中心，∴顶点，∵顶点不能在直线下方，∴，即，当正方形在“楚河汉界线”下方时，如图：

对于函数，当时，；当时，，∴直线恰好经过点和点，对于直线，当时，，由不能在直线上方，，即，综上所述，或．【点睛】此题是二次函数综合题，考查一次函数、正方形的性质、一次函数的应用、二元二次方程组．一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．16．如图，在平面直角坐标系第一象限中，当，为正整数时：

将反比例函数图象上横坐标为的点叫做“双曲格点”，记作，例如，点表示图象上横坐标为的点，故点的坐标为．把的图象沿着轴平移或以平行于轴的直线为对称轴进行翻折，将得到的函数图象叫做它的“派生曲线”，例如，图中的曲线是图象的一条“派生曲线”．(1)①“双曲格点”的坐标为；②若线段的长为，则．(2)若“双曲格点”，的纵坐标之和为，求线段的长；(3)图中的曲线是图象的一条“派生曲线”，且经过点，则的函数表达式为；(4)已知图象的“派生曲线”经过“双曲格点”，且不与的图象重合，试在图中画出的位置(先描点，再连线)【答案】(1)①，②7(2)4(3)(4)见解析【分析】（1）①]表示图象上横坐标为的点，即可解决问题．②根据两点间距离公式即可解决问题．（2）列出方程即可解决问题．（3）由题意曲线是图象的向上平移所得，设向上平移个单位，曲线解析式为，把代入得到，，即可求解．（4）由题意图象的“派生曲线”是由沿直线翻折得到，由此画出图象．【解析】（1）解：①∵]表示图象上横坐标为的点，∴的坐标为．②由题意，∵是正整数，∴，故答案为，．（2）由题意的坐标为，的坐标为，∴解得，经检验，是分式方程的解．∴的坐标为，的坐标为，∴线段的长为．（3）∵曲线是图象的一条“派生曲线”，且经过点，∴曲线是图象的向上平移所得，设向上平移个单位，∴曲线解析式为，把代入得到，，∴f的函数表达式为．（4）∵图象的“派生曲线”经过“双曲格点”，且不与的图象重合，∴图象的“派生曲线”是由沿直线翻折得到，∴图象的“派生曲线”经过，，∴图象的“派生曲线”的图象如图所示，

【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题．17．类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动．(1)【小组合作：讨论交流】同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．”同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是，所以图像与轴不相交．”同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第象限．”……(2)【独立操作：探究性质】在平面直角坐标系中，画出的图像．

结合图像，描述函数图像与性质：①函数的图像是两条曲线；②该函数图像关于______________对称；③图像的增减性是__________________；④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由．(3)【拓展探究：综合应用】直接写出不等式的解集是____________________．【答案】(1)；一、二(2)画图见解析；轴；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；同学丁的说法是正确的，证明见解析(3)或或【分析】（1）根据的的取值进行解答即可；（2）通过列表、描点、连线即可得出函数图像，再根据函数图像进行解答即可②③，通过取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，可得，，，即可得出在的第一象限的曲线上；（3）通过解方程组，再结合函数图像即可得出答案．【解析】（1）解：∵，∴，∴因为自变量的取值范围，所以图像与轴不相交．因为函数值大于0，所以图像一定在第一、二象限．”故答案为：；一、二；（2）列表得：描点并连线得：

根据函数图像可得：①函数的图像是两条曲线；②该函数图像关于轴对称；故答案为：轴；③图像的增减性是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；④同学丁的说法是正确的，理由如下：取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，

∴，，，，∴∴，∴，∴，∴，∴在的第一象限的曲线上，故将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合，说法正确．（3）∵，∴或或，∴不等式的解集是：或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，函数图象的画法，反比例函数与一次函数的交点问题、旋转等知识，利用数形结合思想是解题的关键．18．定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．【解析】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，∴矩形“梦之点”满足，，∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，故答案为：，；（2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，∴把代入得，∴，∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，∴“梦之点”都在直线上，联立，解得或，∴，∴直线的解析式是，函数图象如图：

由图可得，当时，x的取值范围是或；故答案为：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，∴联立，解得或，∴，，∵∴顶点，∴，，，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．题型06：反比例函数的实际应用19．综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．【解析】解：（1）∵反比例函数，直线：，∴联立得：，解得：，，∴反比例函与直线：的交点坐标为和，当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．故答案为：4；2．（2）不能围出．∵木栏总长为，∴，则，画出直线的图象，如图中所示：∵与函数图象没有交点，∴不能围出面积为的矩形；（3）如图中直线所示，即为图象，将点代入，得：，解得；

（4）根据题意可得∶若要围出满足条件的矩形地块，与图象在第一象限内交点的存在问题，即方程有实数根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函数图象经过点，把代入得：，解得：，∴反比例函数图象经过点，令，，过点，分别作直线的平行线，由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；

把代入得：，解得：，∴．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．20．某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第t天的销售单价为（元/千克），则与之间满足如下关系：t123456…P（元/千克）1206040302420…而该水果每天的销售量（千克）与