专题10 二次函数中的几何图形存在性问题（二）（解析版）

数学八年级下暑假预习专题训练专题十二次函数中的几何图形存在性问题（二）（解析版）【专题导航】目录【考点一二次函数中直角三角形的存在性】...........................1【考点二二次函数中菱形的存在性】.................................9【考点三二次函数中等腰直角三角形存在性】.........................18【聚焦考点1】直角三角形的存在性构造直角三角形的一般思路:构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例代数法（1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示；（2）列出线段AB、AC、BC长度的平方；（3）分类列方程：①，②，③；2、几何法（用相似三角形，暂略）当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似（略）③勾股定理；【典例剖析1】【典例1-1】如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0），∴解得：，∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）用勾股定理在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20，设点P坐标为（0，p），∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2，①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2，∴20+9+p2＝17﹣8p+p2，解得：p＝﹣，∴P（0，﹣）．②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2，∴9+p2+17﹣8p+p2＝20，解得：p1＝1，p2＝3，∴P（0，1）或（0，3）．③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2，∴20+17﹣8p+p2＝9+p2，解得：p＝，∴P（0，）．综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．【典例1-2】在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点A（，0）和点B（0，3），顶点为P．（1）求二次函数解析式及点P的坐标；（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．【答案】（1）解析式：，顶点（1，4）；（2）点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．【解析】（1）由题意得，解得：，；∴二次函数解析式为，∴点P的坐标是（1，4）；（2）P（1，4），A（，0），∴设点Q的坐标是（x，0），则，．eq\o\ac(○,1)当时，，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴点Q的坐标是（1，0）；eq\o\ac(○,2)当时，，∴，解得：，∴点Q的坐标是（9，0）．eq\o\ac(○,3)当时，不合题意．综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．【点评】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标．针对训练1【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）、B（4，0）、C（0，2）．点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值；（3）是否存在点P，使是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）m=2；（3）（3），，．【解析】解：（1）∵二次函数过点A、B， ∴设二次函数为． 将点C（0，2）代入，解得． ∴二次函数解析式为：；（2）D点坐标为（0，）． ∴直线BD的解析式为：． ∴P点坐标为，Q点坐标为． ∵CD=PQ， ∴． 解得：m=2或m=0（舍），故m的值为2； （3），，．（注：可设过B或D的与BD垂直的直线，然后与二次函数联立后解出）【点评】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了二次函数解析式的确定，还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标．【变式1-2】如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣5与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式．（2）在对称轴l上是否存在点P，使△CPB为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式列式计算即可得解；（2）设P（2，t），根据勾股定理表示出△CPB的三边，分三种情况分别讨论，求得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣5对称轴为直线x＝2，∴−−m∴m＝4，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）存在点P，使△CPB为直角三角形，∵抛物线y＝x2﹣4x﹣5，令x＝0，则y＝﹣5，∴C（0，﹣5），令y＝0，则x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴B（5，0），设P（2，t），PC2＝22+（t+5）2＝t2+10t+29，PB2＝（5﹣2）2+t2＝9+t2，BC2＝52+52＝50，①当∠CPB＝90°时，PC2+PB2＝BC2，得t2+10t+29+9+t2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴点P的坐标为（2，﹣6）或（2，1）；②当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，则有t2+10t+29+50＝9+t2，解得t＝﹣7，∴点P的坐标为（2，﹣7）；③当∠PBC＝90°时，PB2+BC2＝PC2，则有9+t2+50＝t2+10t+29，解得t＝3，∴点P的坐标为（2，3），综上，存在点P，使△CPB为直角三角形，点P的坐标为（2，﹣6）或（2，1）或（2，﹣7）或（2，3）．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线的对称轴公式，直角三角形的性质，勾股定理的应用等，分类讨论思想的运用是解题的关键．【能力提升1】【提升1-1】在平面直角坐标系中，点A、B，C的坐标分别为（0，8），（﹣2，0），（4，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式及该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）设点P（m，t）是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，求直线BP的解析式及BP与抛物线的另一交点Q的坐标（用含t的式子表示）；（3）当t为何值时，S△ABQ（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式解方程组可得抛物线解析式；化作顶点式，可得出顶点坐标和对称轴；（2）根据待定系数法求出BP的解析式；令为y=t3x+23t=−x（3）根据三角形的面积公式分别表达△ABQ和△ABC的面积，建立等式可得结论；（4）需要分情况讨论，当点A，B，P分别为直角顶点式，画出图形求解即可．【解答】解：（1）设过A、B、C三点的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入上式，得：8=c0=4a−2b+c解得：a=−∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，由上式得：y＝﹣（x﹣1）2+9．所求抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，9）．（2）设BP的解析式为y＝kx+b，将B（﹣2，0），P（1，t）代入上式，得：0=−解得：k=1∴直线BP的解析式为y=t由y=−x2∵x1＝﹣2是上述方程的一根，∴方程的另一根x2代入y＝﹣x2+2x+8，得y=−∴点Q的坐标为(−（3）S△ABC∵直线BP：y=t3x+23∴S△ABQ=19t由S△ABQ=1即t2﹣30t+144＝0，解得：t1＝6，t2＝24（舍去），∴t＝6时，S△ABQ∴Q的坐标为（2，8）．（4）存在这样点P，使△ABP为直角三角形，理由如下：设点P的坐标为（1，m），∵A（0，8），B（﹣2，0），P（1，m），∴AB2＝68，AP2＝12+（8﹣m）2，BP2＝（1+2）2+m2，当点A为直角顶点时，则AB2+AP2＝BP2，∴68+12+（8﹣m）2＝（1+2）2+m2，解得m=31∴此时点P的坐标为（1，314当点B为直角顶点时，则AB2+BP2＝AP2，∴68+（1+2）2+m2＝12+（8﹣m）2，解得m=−∴此时点P的坐标为（1，−3当点P为直角顶点时，则AP2+AP2＝AB2，∴12+（8﹣m）2+（1+2）2+m2＝68，解得m＝4+13或m＝4−∴点P的坐标为（1，4+13）或（1，4−∴坐标为P1(1，−34)或(1，【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、两条直线平行的性质、三角形的面积的计算，分类讨论扽知识，（4）关键是进行正确的分类讨论，画出正确的图形．【聚焦考点2】菱形的存在性菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，平移再确定第4个点．【典例剖析2】【典例2-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；（2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；（3）由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．【解析】（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），则，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，设点Q的坐标为（s，t），∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），则或，解得或，故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）存在，理由：由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y＝（x+2），当x＝﹣1时，y＝（x+2）＝，故点M的坐标为（﹣1，），则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+＝+1．针对训练2【变式2-1】综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．【分析】（1）解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，即可得直线AC，BC的函数表达式；（2）①设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直线l∥BC可设直线BC的解析式为y＝3k+b，由点D的坐标可得b＝﹣4m﹣6，则M（﹣2，﹣4m﹣12），根据AC的函数表达式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根据S△DMN＝S△AOC可求得m，求出点D，点M的坐标，即可得DM的长．【解析】（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为（2﹣2，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，∴设直线l的解析式为y＝3x+b，∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N（﹣2，﹣4），∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，∵S△DMN＝S△AOC，∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M的坐标为（﹣2，8），∴DM＝＝3，答：DM的长为3．【能力提升2】【提升2-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，其中，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P，Q为直线下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线于C点和D点，连接，求四边形面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移2个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)、、．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意，求得直线解析式，以及四点坐标，得到、长度，利用二次函数的性质求解即可；（3）根据平移的性质，求得的表达式，分两种情况，讨论求解即可．【详解】（1）解：将，代入二次函数解析式，可得，解得即；（2）设直线解析式，代入，，可得，解得即，则，，，，，，即当时，最大，为；（3）由（2）可知，直线为与轴的交点为，与轴的交点为，两点之间的距离为，沿射线平移个单位，可看成向右移动了4个单位，向下移动了2个单位，∴，则平移后，抛物线的对称轴为，设，当时，如图：则，解得，∴或，当时，平移到，平移到，∴，当时，平移到，平移到，∴，当时，如下图：，解得，平移到，平移到，可得，综上点的坐标为、、．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、菱形的性质及应用等知识解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．【聚焦考点3】等腰直角三角形的存在性涉及知识点二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。基本题型一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题解题思路分类不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。（2）构造K型全等三角形（3）列方程【典例剖析3】【典例3-1】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣，﹣2）；当P点在M点下方时，同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1﹣，2）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．针对训练3【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），

由轴对称的性质可知CQ=EQ，∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，设直线AE的解析式为，∴，∴，∴直线AE的解析式为，当时，，∴点Q的坐标为（1，-2）；（3）解：如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，∴∠FMP=∠EPB，∴△FMP≌△EPB（AAS），

∴PE=MF，BE=PF，设点P的坐标为（1，m），∴，∴，，∴点M的坐标为（1-m，m-2），∵点M在抛物线上，∴，

∴，∴，解得或（舍去），∴点M的坐标为（-1，0）；同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥