专题08 二次函数的应用（解析版）

数学八年级下暑假预习专题训练专题八二次函数的应用（解析版）【专题导航】目录【考点一二次函数的最值】.........................................1【考点二根据实际问题列二次函数关系式】...........................8【考点三二次函数的实际应用】.....................................13【聚焦考点1】二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．【典例剖析1】【典例1-1】已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．【分析】（1）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据m+n＝0，可以解答本题；（2）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据mn＝2，记M为m，n中的最大者，可以求得M的最小值．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，∴y1+y2≥m+n，∵m+n＝0，∴y1+y2≥0；（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+）2+，∴m＝，∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+）2+，∴n＝，∵mn＝2，m，n均大于0，∴•＝2，解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，∴，∴m＝，n＝，∵M为m，n中的最大者，∴当0＜a＜2时，M＝＞，当a＝2时，M＝，当a＞2时，M＝由上可得，M的最小值是．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是明确题意，可以将函数的一般式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答问题．【典例1-2】如图，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中点，点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0＜t＜6）时，△EBF的面积为ycm2．（1）求y与t的函数关系式；（2）当t为何值时，y取得最大值，并求出此最大值．【分析】（1）分点E在BS上、点E在SD上和点E在DC上讨论解答即可；（2）根据（1）的结论解答即可．【解答】解：（1）点E在BS上（当0＜t≤2.5时），，点E在SD上（当2.5≤t≤4时），y＝12﹣2t；点E在DC上（当4≤t≤6时），y＝t2﹣12t+36；（2）当0＜t≤2.5时，，对称轴t＝3，y随x的增大而增大，∴t＝2.5，y的最大值为7；当2.5≤t≤4时，y＝12﹣2t，是减函数，∴t＝2.5时，y有最大值为7；当4≤t≤6时，y＝t2﹣12t+36，对称轴为t＝6，y随x的增大而减小，∴t＝4，y有最大值为4．综上所述，t＝2.5时，y有最大值为7．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．针对训练1【变式1-1】当k分别取﹣1，1，2时，函数y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．【分析】当k分别取﹣1，1，2时，函数y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．【解答】解：k可取值﹣1，1，2（1）当k＝1时，函数为y＝﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k＝2时，函数为y＝x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k＝﹣1时，函数为y＝﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，则当x＝﹣1时，函数有最大值为8．【点评】本题考查了二次函数的最值．需要根据k的不同取值进行分类讨论，这是容易失分的地方．【变式1-2】如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别为边BC，CD上的点，且CE＝CF．（1）设CF＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；（2）当x为多少时△AEF面积能够取得最大值，最大值是多少？【分析】（1）根据正方形性质得出BC＝DC，再根据△AEF的面积＝正方形面积﹣△ABE的面积﹣△ADF的面积﹣△CEF的面积，列出关系式整理即可；（2）根据二次函数的性质及一般式的顶点坐标求出△AEF面积最大值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∵CE＝CF＝x，∴BE＝DF＝8﹣x，∴y＝64﹣（8﹣x）×2﹣x2＝﹣x2+8x（0＜x≤8）；（2）y＝﹣x2+8x（0＜x≤8），∵a＝﹣＜0，∴x＝8时，y有最大值，最大值是32，∴x为8时△AEF面积能够取得最大值，最大值是32．【点评】本题考查了二次函数的最值、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握这三个知识点的综合应用，其中求出y关于x的函数解析式是解题关键．【能力提升1】【提升1-1】定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y＝．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．【分析】（1）写出y＝ax﹣3的相关函数，代入计算；（2）①写出二次函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数，代入计算；②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．【解答】解：（1）y＝ax﹣3的相关函数y＝，将A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，解得a＝1；（2）二次函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数为y＝，①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x+得m2﹣4m+＝，解得：m＝2+（舍去），或m＝2﹣，当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣＝，解得：m＝2+或m＝2﹣．综上所述：m＝2﹣或m＝2+或m＝2﹣；②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为，当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x＝2，当x＝0有最小值，最小值为﹣，当x＝2时，有最大值，最大值y＝，综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣．【点评】本题考查的是互为相关函数的定义，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．【提升1-2】如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值．【分析】设DN＝x，BM＝y，将△DNA绕点A顺时针旋转90°至△ABF，证明△ANM≌△AFM（SSS），△DAN≌△EAN（AAS），在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，从而得出xy+x+y﹣1＝0，再用x和y表示的S△ANM，将②③代入①并整理可得④，解不等式即可求得S的最小值．【解答】解：设DN＝x，BM＝y，∴NC＝1﹣x，MC＝1﹣y，C△NCM＝NC+CM+NM＝2，∴NM＝x+y．将△DNA绕点A顺时针旋转90°至△ABF，则NM＝MF，AM＝MA，AN＝AF，∴△ANM≌△AFM（SSS）．∴∠NAM＝45°，∠DNA＝∠AFB＝∠ANE．过点A作AE⊥NM，垂足为E，∵∠AEN＝∠D，∠DNA＝∠ANE，AN为公共边，∴△DAN≌△EAN（AAS），∴AE＝AD＝1，∵在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，∴化简得：xy+x+y﹣1＝0，①∴S△ANM＝（x+y）②．∵（x﹣y）2≥0，∴（x+y）2≥4xy，∴xy≤，③∴将②③代入①并整理可得S2+2S﹣1≥0，④∴（S+1）2≥2．∵S＞0，∴S≥﹣1，∴△MAN的面积的最小值为﹣1．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、二次函数与不等式的运算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并综合运用是解题的关键．【提升1-3】某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，在此价格基础上，若涨价5元，则每月销售量将减少150件，若每月销售y（件）与价格x（元/件）满足关系y＝kx+b．（1）确定k，b的值；（2）为了使每月获得利润为1920元，问商品价格应是每件多少元？1920元是最大利润吗？【分析】（1）可根据题意用待定系数法，求出k，b的值．（2）利润＝单件的利润×销售的数量．然后根据函数的性质来求出利润最大的方案．【解答】解：（1）由题意可知：，解得：k＝﹣30，b＝960．（2）由（1）可知：y与x的函数关系应该是y＝﹣30x+960设利润为W，由题意可得W＝（x﹣16）（﹣30x+960）＝﹣30x2+1440x﹣15360．∵﹣30＜0，∴当x＝﹣＝24时利润最大，W最大＝1920答：当定价为24元时利润最大，最大的利润为1920元．【点评】考查了二次函数的最值，此类应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，利用函数求最值时，主要应用函数的性质．【聚焦考点2】根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【典例剖析2】【典例2-1】有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．【分析】根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过x轴上的点（10，0），从而可以设出抛物线的顶点式，进而求得抛物线的解析式．【解答】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为（5，4），过点（10，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣5）2+4，则0＝a（10﹣5）2+4，解得，a＝﹣，即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，设出抛物线的解析式，利用数形结合的思想解答问题．【典例2-2】某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为≥550个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100+＝550进而得出答案；（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P＝51，则当100＜x＜550时，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣得到P为分段函数，写出解析式即可；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x＝500，1000即可得到对应的利润．【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100+＝550，根据实际出厂单价不能低于51元，因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．故答案为：≥550；（2）当0＜x≤100时，P＝60当100＜x＜550时，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣当x≥550时，P＝51所以P＝；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝（P﹣40）x＝，当x＝500时，L＝22×500﹣＝6000（元）；当x＝1000时，L＝11×1000＝11000（元），因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，注意利用自变量取值范围得出函数解析式是解题关键．针对训练2【变式2-1】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．【解答】解：由题意得：y＝x×＝﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．【变式2-2】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．【分析】（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长﹣3AB），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）结合（1）及AD不大于9可得自变量的公共取值．【解答】解：（1）S＝BC×AB＝（24﹣3x）x＝﹣3x2+24x由题意得：0＜x＜8（2）∵24﹣3x≤9∴x≥5结合（1）得，5≤x＜8．【点评】考查一次函数的应用；得到AD边长的关系式是解决本题的突破点；得到自变量的取值是解决本题的易错点．【能力提升2】【提升2-1】如图1，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式．学生小龙在解答图1所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；③根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（﹣1，1）；④代入y＝ax2得﹣1＝a•1，所以a＝﹣1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝﹣x2．数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”．（1）请指出小龙的解答从第③步开始出现错误，错误的原因是什么？（2）请你写出完整的正确解答过程．【分析】（1）第③步开始出现错误，B点坐标错误；（2）以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过最高点和B点的坐标求得函数关系式．【解答】解：（1）第③步开始出现错误，B点坐标错误；（2）以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（﹣1，﹣1）；代入y＝ax2得﹣1＝a•（﹣1）2，所以a＝﹣1；所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝﹣x2．【点评】本题考查了同学们根据函数图象求函数关系式的能力．【提升2-2】在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．【分析】（1）依题意可得总费用＝镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y＝6x×30+45+2x2×120化简即可．（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费＝195元，即可列出方程求解．【解答】解：（1）y＝（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120＝240x2+180x+45；（2）由题意可列方程为240x2+180x+45＝195，整理得8x2+6x﹣5＝0，即（2x﹣1）（4x+5）＝0，解得x1＝0.5，x2＝﹣1.25（舍去）∴x＝0.5，∴2x＝1，答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．【点评】本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．【聚焦考点3】二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【典例剖析3】【典例3-1】某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论；（2）分两种情况求出函数最值，然后比较得出结论即可．【解答】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；综上所述，y＝；（2）设每天的销售利润为w元，当10＜x≤14时w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，∵k＝640＞0，∴w随着x的增大而增大，∴当x＝14时，w＝4×640＝2560元；当14＜x≤30时，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，∵﹣20＜0，14＜x≤30，∴当x＝28时，w有最大值，最大值为6480，∵2560＜6480，∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．【点评】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．【典例3-2】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，∴x＝2，答：此时x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，∵墙的长度为10m，∴0＜x≤，根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．【典例3-3】如图1的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2的平面直角坐标系．（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案．（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可．（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，延长BA交x轴于点E，则Q（t，t），用含t的式子表示出PQ关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+10，把（0，0）代入，得400a+10＝0，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣20）2+10．即y＝﹣x2+x．（2）石块能飞越防御墙AB，理由如下：把x＝30代入y＝﹣x2+x，得y＝﹣×900+30＝7.5，∵7.5＞3+3，∴石块能飞越防御墙AB．（3）设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），把（30，3）代入，得3＝30k，∴k＝．故直线OA的解析式为y＝x．如图：设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，交x轴于点D，则Q（t，t），∴PQ＝﹣t2+t﹣t，＝﹣t2+t＝﹣（t﹣18）2+8.1．∵二次项系数为负，∴图象开口向下，PQ有最大值∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．针对训练3【变式3-1】某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120，∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400＝﹣2（x﹣40）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＜0时，w随x的增大而增大，∵20≤x≤38，∴当x＝38时，w有最大值，最大值为792，∴售价定为38元/件时，每天最大利润为792元．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．【变式3-2】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．（1）苗圃ABCD的另一边BC长为（24﹣3x）米（用含x的代数式表示）；（2）若苗圃ABCD的面积为45m2，求x的值；（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【分析】（1）根据木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC长为（24﹣3x）米；（2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45，即可解得x的值；（3）w＝x•（24﹣3x）＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，∴BC长为22﹣3x+2＝24﹣3x，故答案为：（24﹣3x）；（2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45，解得x＝3或x＝5，∵x＝3时，24﹣3x＝15＞14，∴x＝3舍去，∴x的值为5；（3）设苗圃ABCD的面积为w，则w＝x•（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴x＝4时，w最大为48，答：当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题得关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．【变式3-3】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？（结果保留根号）【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：由一直可得抛物线顶点C坐标为（0，2），设抛物线解析式为y＝ax2+2，将A（﹣2，0）代入得：0＝4a+2，解得：a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，∴水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2﹣4）米，答：水面宽度增加（2﹣4）米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【能力提升3】【提升3-1】神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．（1）直接写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？（3）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．【分析】（1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式．（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值．（3）将1200元代入新函数，先求解x的值，再根据最大利润为1250元进行检验即可得到的m．【解答】解：（1）设解析式为y＝kx+b，根据图象可知，点（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上∴，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160；（2）设每天获利w元，根据题意得w＝（x﹣30）⋅（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，∴当x＝55时，w取最大值为1250，答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．（3）由（2）知，当w最大＝1200时，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∴m的值为50即m＝50．【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键．【提