专题03 一元二次方程的应用（一）（解析版）

专题三一元二次方程的应用（一）【专题导航】目录【考点一传播速度问题】8【考点二增长率问题】【考点三数字问题】【考点四图形面积问题】【考点五营销问题】【聚焦考点1】传播问题：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共(1+x)人传染，第二轮传染后共[1+x+x(x+1)]传染，a人经过两轮传染a（1+x）2=m【典例剖析1】【典例1-1】一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有(

)人A．20 B．22 C．60 D．61【答案】B【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共(1+x)人患流感，第二轮传染后共[1+x+x(x+1)]人患流感，列出方程进行计算即可．【详解】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共(1+x)人患流感，第二轮传染后共[1+x+x(x+1)]人患流感，根据题意得：1+x+x(x+1)=121，解得：x1=10，∴2(1+x)=22．故选：B．【点评】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．【典例1-2】如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有361人感染．（1）平均每人每轮感染多少人？（2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的a%，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求a的值．【分析】（1）设平均每人每轮感染x人，根据有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有361人感染．列出一元二次方程，解方程即可；（2）根据病毒的传播力度减少到原来的a%，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）设平均每人每轮感染x人，由题意得：1+x+x（x+1）＝361，解得：x1＝18，x2＝﹣20（不符合题意，舍去），答：平均每人每轮感染18人；（2）由题意得：361+361×18×a%＝10×361，解得：a＝50，答：a的值为50．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．针对训练1【变式1-1】去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．（1）每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？【分析】（1）设每轮传染中平均每头猪传染了x头健康猪，根据一头猪患病经过两轮传染后共有64头猪患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据第三轮又被感染的猪的只数＝经过两轮感染后患病的猪的只数×7，即可求出结论，再进行比较即可．【解答】解：（1）设每轮传染中平均每头猪传染了x头健康猪，依题意，得：1+x+（1+x）x＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．（2）64×7＝448（头）．∴448+64＝512＞500，∴患病的猪会超过500头，答：患病的猪会超过500头．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1-2】今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？【答案】（1）7头；（2）会超过1500头【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，根据“第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据3天后生猪发病头数=2天后生猪发病头数×（1+7），即可求出3天后生猪发病头数，再将其与1500进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，依题意，得3(1+x)解得：x1=7，答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．（2）192×(1+7)=1536（头)，1536>1500．答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【能力提升1】传播速度问题【提升1-1】.有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意：有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意得：1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256，解得：x1＝﹣17（不符合题意舍去），x2＝15，答：每轮传染中平均每人传染了15人．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【提升1-2】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数【答案】6【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，依题意得：1+x+x整理得：x2解得：x1=−7（不合题意，舍去），故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【聚焦考点2】增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．【典例剖析2】增长率问题【典例2-1】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某快递公司今年九月份与十一月份的投递总件数分别为10万件和12.1万件，该公司每月的投递总件数的增长率相同．求该快递公司投递总件数的月增长率．【分析】设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可．【解答】解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2＝12.1，解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【典例2-2】电影《流浪地球2》讲述了太阳即将毁灭，人类在地球表面建造出巨大的推进器，以便寻找新的家园．然而宇宙之路危机四伏，为了拯救地球，流浪地球时代的年轻人再次挺身而出，展开争分夺秒的生死之战的故事．2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．（1）求每张电影票的原定零售票价；（2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为（x﹣20）元，根据数量＝总价÷单价结合按原定票价需花费3000元购买的门票张数现在只花费了1800元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设原定票价平均每次的降价率为y，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．．【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为（x﹣20）元，依题意，得：，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．答：每张门票的原定票价为50元．（2）设原定票价平均每次的降价率为y，依题意，得：50（1﹣y）2＝32，解得：y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合题意，舍去）．答：原定票价平均每次的降价率为20%．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．针对训练2【变式2-1】“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；（2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．【解答】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得100（1+x）2＝196，解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去），答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，整理得，y2﹣4y+3＝0，解得y1＝1，y2＝3，∵要减少库存，∴y1＝1不合题意，舍去，∴y＝3．答：售价应降低3元．【点评】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程，是解题的关键．【变式2-2】随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加．某小区物业统计2023年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2021年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．（1）求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；（2）若2023年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量．【分析】（1）设2022年与2021年这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为x，根据2023年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2021年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．列出一元二次方程，解方程即可；（2）根据（1）的结果列式计算即可．【解答】解：（1）设2022年与2021年这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为x，则（1+x）2＝196，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣24（舍去），答：这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）490×（1+40%）＝686（辆），答：估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量约为686辆．【点评】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【能力提升2】增长率问题【提升2-1】两年前生产1吨某种药品的成本是5000元，现在生产1吨这种药品的成本是3200元，这种药品成本的年平均下降率是多少？【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：5000（1﹣x）2＝3200，解得x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答：该药品成本的年平均下降率是20%．【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．【提升2-2】某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，求平均每次下调的百分率．【分析】设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格列方程解答即可．【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝10%，x2＝（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．【点评】此题考查基本数量关系：预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格。【聚焦考点3】十位数字为x，个位数字y，这个两位数为10x+y.连续奇数，连续偶数都是相差2【典例剖析3】【典例3-1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是___．【答案】63【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可，等量关系为：原来的两位数-新两位数=27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可．【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x2－3，由题意得10(x2－3)＋x－(10x＋x2－3)＝27，整理得x2−x−6=0，解得∴十位数字为32则原来的两位数为63故答案为：63【点评】本题考查了列一元二次方程解应用题，弄清已知中的等量关系是解题的关键．【典例3-2】两个奇数，其中一个为另一个的平方，较大奇数与较小奇数的差为110，两个奇数分别为，．【分析】设较小奇数为x，则较大奇数为x2，根据“较大奇数与较小奇数的差为110”列方程x2﹣x＝110，解方程即可求解．【解答】解：设较小奇数为x，则较大奇数为x2，根据题意得x2﹣x＝110解之得x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）所以较大奇数为x2＝121．【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．针对训练3【变式3-1】有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为________．【分析】如果设最小的偶数为x，那么另外两个可表示为x+2，x+4，根据“第三个数的平方等于前两个数的平方和”作为相等关系可得出方程为（x+4）2＝x2+（x+2）2解方程即可求解．【解答】解：设最小的偶数为x，根据题意得（x+4）2＝x2+（x+2）2，解得x＝6或﹣2．当x＝6时，x+2＝8，x+4＝10；当x＝﹣2时，x+2＝0，x+4＝2因此这三个数分别为6，8，10或﹣2，0，2．故答案为6，8，10或﹣2，0，2．【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．【变式3-2】两个相邻正偶数的积是168，则这两个相邻正偶数中较小的数是．【分析】这两个相邻正偶数中较小的数是x，则较大的数是（x+2），根据两个数之积为168，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这两个相邻正偶数中较小的数是x，则较大的数是（x+2），依题意得：x（x+2）＝168，整理得：x2+2x﹣168＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意，舍去），∴这两个相邻正偶数中较小的数是12．故答案为：12．【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【能力提升3】数字问题【提升3-1】两个相邻的偶数的积是80，这两个偶数是．【分析】设这两个相邻偶数中较大的数是x，则较小的数是（x﹣2），根据两个数之积为80，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设这两个相邻偶数中较大的数是x，则较小的数是（x﹣2），依题意得：x（x﹣2）＝80，整理得：x2﹣2x﹣80＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣8，当x＝10时，x﹣2＝8；当x＝﹣8时，x﹣2＝﹣10；即这两个偶数是10和8或﹣8和﹣10．故答案为：10和8或﹣8和﹣10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【提升3-2】两个连续奇数的积是143，求这两个连续奇数．【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是143列出方程求解即可．【解答】解：设这两个连续奇数为x，x+2，根据题意x（x+2）＝143，∴x1＝11，x2＝﹣13，∴当x＝11时，x+2＝13；当x＝﹣13时，x+2＝﹣11．答：两个连续奇数为11，13或﹣13，﹣11．【点评】考查一元二次方程的应用；得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．【聚焦考点4】形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．【典例剖析4】图形面积问题【典例4-1】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；（2）把S＝650代入（1）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意，得x（72﹣2x）＝640，化简，得x2﹣36x+320＝0解得x1＝16x2＝20，当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为644m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，化简，得x4﹣366+322＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×335＝﹣4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．【典例4-2】如图，矩形绿地的长为8m，宽为6m，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了32m2，求绿地长、宽增加的长度．​【分析】设绿地的长、宽增加的长度为xm，由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了32m2，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度各为xm，由题意得：（8+x）（6+x）＝8×6+32，整理得：x2+14x﹣32＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），答：绿地长、宽增加的长度各为2m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．针对训练4【变式4-1】如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒．若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？【分析】设长方形硬纸板的宽为xcm，根据纸盒的体积是1500cm3可列出方程（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，求解即可．【解答】解：设长方形硬纸板的宽为xcm，根据题意，得（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，解得：x＝20；答：长方形硬纸板的宽为20cm．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．【变式4-2】园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．​（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．【分析】（1）设AB＝x米，根据三边所用木栏总长120米，列方程求解即可；（2）设网红打卡点的边长为m米，根据空白的面积＝长方形花圃的面积﹣花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可．【解答】解：（1）设AB＝x米，∴BC＝2AB＝2x米，根据题意，得2x+x+x＝120，解得x＝30，∴AB＝30米，BC＝60米，答：长方形ABCD花圃的长为60米，宽为30米；（2）设网红打卡点的边长为m米，根据题意，得（60﹣m）+m2＝60×30﹣1728，解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去），∴网红打卡点的面积为4×4＝16（平方米），答：网红打卡点的面积为16平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．【能力提升4】面积问题【提升4-1】在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．【分析】设金色纸边的宽为x分米，关键题意列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设金色纸边的宽为x分米，方程为（8+2x）（6+2x）＝80，解方程得：x＝﹣8或x＝1，经检验x＝﹣8或1都是所列方程的解，但是宽不能为负数，即x＝1，答：金色纸边的宽是1分米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键．【提升4-2】如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积﹣道路的面积＝试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设道路宽为x米，根据题意得：32×20﹣（32+20×2）x+2x2＝570，解得：x1＝1，x2＝35．∵35＞20，∴x＝35舍去．答：道路宽为1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积﹣道路的面积＝试验田的面积，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．【聚焦考点5】营销问题解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系.此类问题常见的等量关系是：总利润＝总售价－总成本或总利润＝每件商品的利润×销售数量，利润率＝eq\f(售价－进价,进价)×100%【典例剖析5】营销问题【典例4-1】百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【分析】（1）根据每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，得出每件童装降价5元，每天可售出20+5×2＝30件，再根据每件盈利40元，即可得出每天的盈利；（2）设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为2x件，每件的利润为（40﹣x），由总利润＝每件的利润×数量建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）∵每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，∴每件童装降价5元，每天可售出20+5×2＝30件；∴每天可盈利：（40﹣5）×30＝1050（元）；（2）设每件应降价x元，由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得：x1＝10，x2＝20，则每件童装应降价10元或20元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【典例4-2】某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元，那么每月就可以多售出50个．（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？（3）在2销售过程中，销量好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可求出值；（2）设每个学习机应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）由题意得：60×（360﹣280）＝4800（元），则降价前商场每月销售学习机的利润是4800元；（2）设每个学习机应降价x元，由题意得：（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，解得：x＝8或x＝60，由题意尽可能让利于顾客，x＝8舍去，即x＝60，则每个学习机应降价60元；（3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意得：（360﹣60+y﹣280）[5（60﹣y）+60]＝10580，方程整理得：y2﹣52y+676＝0，解得：y1＝y2＝26，则应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．针对训练5【变式5-1】某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．【变式5-2】某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．设销售单价定为x元．据此规律，请回答：（1）商店日销售量减少件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？【分析】（1）根据题目的条件：销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，填空即可；因为每件商品的成本为8元，所以每件商品盈利（x﹣8）元；（2）由利润＝每件利润×销售数量建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）∵销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，∴商店日销售量减少20（x﹣10）件，∵每件商品的成本为8元．∴每件商品盈利为（x﹣8）元，故答案为：20（x﹣10）（x﹣8）；（2）由题意可得：（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，解得：x1＝12x2＝16（舍）．答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求利润的公式列出方程．【能力提升5】营销问题【提升5-1】某汽车销售公司2月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当