数学建模-数理统计总结

数学建模之数理统计知识回顾统计的基本概念参数估计假设检验数据的统计描述和分析由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.1.统计量这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.一、统计量定义请注意:常用的统计量样本平均值样本方差样本标准差它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息它反映了总体k阶矩的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩

k=1,2,…它反映了总体k阶中心矩的信息统计量的观察值二、统计三大抽样分布记为分布1、定义:

设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：

所服从的分布为自由度为

n

的分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布.分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分注1.

设相互独立,都服从正态分布则这个性质叫分布的可加性.3．若近似正态分布N(0,1).(应用中心极限定理可得)2．设且X1,X2相互独立，E(X)=n,D(X)=2n.概率密度函数为：

定义:

设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布.2、t分布由定义可见，3、F分布~F(n2,n1)定义:

设U与V相互独立，则称随机变量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第自由度，n2称为第二自由度，记作F~F(n1,n2).即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.1.F分布的数学期望为:若n2>2若F~F(n1,n2)，F的概率密度为2.F分布的分位数抽样分布定理样本均值的分布样本方差、均值的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布例1解二、参数估计点估计区间估计寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法4.最小二乘法5.贝叶斯方法……3.顺序统计量法1.矩估计法矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的.由辛钦定理,若总体的数学期望有限,则有其中为连续函数.

这表明

,当样本容量很大时

,在统计上,可以用用样本矩去估计总体矩.这一事实导出矩估计法.定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩,又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数,这种参数点估计法称为矩估计法

.理论依据:大数定律矩估计法的具体做法如下：设总体的分布函数中含有k个未知参数,那么可建立如下k个方程：都是这k个参数的函数,记为：

例1

设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知.是来自X

的样本,试求a,b

的矩估计量.解

即

解得于是a,b的矩估计量为样本矩总体矩

矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.

2.极大似然法它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇

.

费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.极大似然法的基本思想先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.

极大似然估计原理：当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律(离散型)为f(x1,x2,…,xn

;).f(x1,x2,…,xn;)这里x1,x2,…,xn

是样本的观察值.似然函数：

极大似然估计法就是用使达到最大值的去估计.称为的极大似然估计值.看作参数的函数，它可作为将以多大可能产生样本值x1,x2,…,xn

的一种度量.

f(x1,x2,…,xn;)而相应的统计量称为的极大似然估计量.解：似然函数为例2

设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的极大似然估计.i=1,2,…,n对数似然函数为解：似然函数为i=1,2,…,n=0(2)由(1)得=0(1)对分别求偏导并令其为0,对数似然函数为用求导方法无法最终确定用极大似然原则来求.

(4)在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的极大似然估计值

.求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：

(1)由总体分布导出样本的联合分布率(或联合密度);

(2)把样本联合分布率(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然

函数L();

(3)求似然函数L()

的最大值点(常常转化为求ln

L()的最大值点)，即

的MLE;一、置信区间定义满足设是一个待估参数，给定X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度)为的置信区间.和分别称为置信下限和置信上限.若由样本区间估计这里有两个要求:可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量).一旦有了样本，就把估计在区间内.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.

2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.（一）均值的区间估计二、单个正态总体置信区间的求法方差已知，对均值的区间估计1、则所求均值的置信区间为~N(0,1)选

的点估计为,求参数的置信度为的置信区间.

例1

设X1,…Xn是取自

的样本，明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.解寻找一个待估参数和统计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.对给定的置信水平查正态分布表得对于给定的置信水平,根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.使为什么这样取？从中解得对给定的置信水平查正态分布表得使也可简记为于是所求的置信区间为从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平

是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,X2,…Xn)

3.寻找一个待估参数和估计量T

的函数U(T,),且其分布为已知.

4.对于给定的置信水平

，根据U(T,)的分布，确定常数a,b，使得P(a<U(T,)<b)=

5.对“a<S(T,)<b”作等价变形,得到如下形式:即于是就是的100(

)％的置信区间.可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数和估计量T的函数U(T,),且U(T,)的分布为已知,不依赖于任何未知参数.而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.（一）均值的区间估计二、单个正态总体置信区间的求法方差未知，对均值的区间估计1、则所求均值的置信区间为（二）方差的区间估计二、单个正态总体置信区间的求法均值未知，对方差的区间估计仅讨论则所求的置信度为置信区间为例2随机地取炮弹10发做试验，得炮口速度的标准差,炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信水平为0.95的置信区间.由解于是得到的置信水平为的置信区间为这里可得到的置信水平为的置信区间为假设检验的基本思想和方法假设检验的一般步骤假设检验的两类错误假设检验假设检验参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题一、假设检验的基本思想和方法单个正态总体参数的假设检验表条件拒绝域成立时检验统计量及其分布（1）提出假设（2）选检验统计量（3）确定拒绝域与接受域二、假设检验的一般步骤（4）判断

例1

某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布未知，现从该厂生产的一