数学建模B题交巡警服务平台的设置与调模型

摘要:本文通过对交巡警服务平台的设置与调度的分析,旨在解决交巡警工作量不均衡、出警时间过长以及对突发事件的快速反应等问题。对于问题（1.1）,通过合理的假设并根据最短路径原则运用floyd算法求出各巡警平台的管辖范围。对于问题（1.2），由非线性规划方程，计算出在一个平台的警力最多封锁一个路口时的合理调度方案，即需要出警的服务平台、所封锁的路口节点及其到该路口节点的路程，求出的最小最大路程，最优方案的路程之和。对于问题（1.3），定义有效出勤路程为发案率与到这个路口的出警路程的乘积。根据实际情况，利用非线性规划建立约束方程。最终在在添加个平台时得出所有平台的总有效出勤路程；通过进一步分析运算得出最佳方案是添加个交巡警平台，添加的路口编号分别是、、、。在问题（2.1）中，将有效出勤路程最小的约束用Lingo计算后发现，结果与题中所有的现有交巡警平台排布相同，即原排布是按有效出勤路程最优（和最小）来进行的分配的。这个过程中没有考虑到每一个平台工作量的均衡以及最长路长最小的实际情况。因此，需要对全市现有交巡警服务平台另加约束进行重新分配，运用问题（1.3）中的模型分别求出分配方案。对于问题（2.2）的最佳围堵方案，假设犯罪嫌疑人的逃逸速度与交巡警速度相同，以三分钟内犯罪嫌疑人可以到达的区域确定一个范围。此范围在路口间形成分割点。此时取分割点外侧的路口为要封堵的节点，运用问题（1.2）中所建立的模型，求出此时最佳的封堵方案。满足最大路程长度的最小值，且路程和最小为。关键字:Floyd非线性规划对策矩阵问题的重述“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：问题（1.1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。问题（1.2）对于重大突发事件，需要调度全区个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。问题（1.3）根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加至个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。问题（2.1）对全市（主城六区，，，，，）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。问题（2.2）如果该市地点（第个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。模型的假设与符号说明模型的假设(1)所管辖的范围内出现突发事件时，交巡警赶往目的地途中路况相同，无堵车及意外情况发生。（时速保持60km/h）(2)案发地点全部为路口，且工作量以发案率为标准进行处理。(3)假设接到报案时，交巡警全部在各自的平台并在接到报案后立刻出发。符号的说明：表示一个行列的0-1决策矩阵；：矩阵第行第列的元素表示平台管辖路口；：表示由平台到路口的最短长度，见附录（3）；：表示第个平台总路程（平台的总路程定义为每个平台所辖的路口到它的路程之和）；：表示由路口到所属平台的最短路程；：表示路程和的最大值；：表示最大总路程的最小值；：表示所有平台到所辖路口的最短路程之和；：区所有平台的有效出勤路程之和；：表示一个决策向量；模型的分析对巡警服务平台管辖范围的分析由于此问题中只要求出警时间尽量短而没有提到工作量，而出警时间可以量化为从交巡警平台到达辖区内各个路口的路程。因此根据最短路径原则，每个路口都应由最接近它的平台管辖。对个平台封锁个路口的分析个交巡警服务平台要以最快速度封锁个进出该区的路口，必须根据就近原则进行处理。也就是说，在一个平台的警力最多只能封锁一个路口的前提下，只需要最符合条件的个平台出动警力封锁路口即可实现“快速”“全”封锁，因为更远距离的个平台即使出动警力也达不到“快速”及“合理”的效果。利用非线性规划中的最大最小模型求出合理的调度方案，具体的计算将在模型建立时讨论。对增加个交巡警平台的分析为了均衡工作量，可利用数学转化思想将其工作量化为发案率及交巡警服务平台赶到达案发地点（即路口）的路程，则每天的工作量则可以看成是发案率与到这个路口的出警路程的乘积；为了避免出警时间过长，可人为地限定出警时间在超出限度即为不合理，即出警时间，一旦有路口在报案后交巡警仍没有赶到的话，则视为无解。再次利用非线性规划分别计算在增加个交巡警平台时的有效出勤路程，通过比较求出最优方案。对全市现有巡警服务平台设置方案是否合理的分析通过对附件1、2中的数据进行分析可知，现有的平台分布并没有实现对全市所有的路口进行全面地覆盖，并且有若干平台的工作量过大，但加上有效出勤路程最小的约束用计算后发现，结果与题中所有的现有平台排布相同，即原排布是按有效出勤路程最优来进行的。因此，需要对全市现有交巡警服务平台另加约束进行重新分配。由前三个问题的解决方案可知，平台设置方案的合理性取决于两个条件：工作量和出警时间。因此，要想分配出合理的平台设置方案，首先要考虑就仍是有效出勤路程。按现实情况考虑，一个区的交巡警在一般情况下只会接到自己区的报警。所以各个区的平台设置方案应互相独立，但可以对各个区的平台数量进行重新分配。在各区的平台数量分配后，可用问题（3）中的模型分别求出分配方案。对最佳围堵方案的分析假设犯罪嫌疑人的逃逸速度与交巡警速度相同，以三分钟内犯罪嫌疑人可以到达的区域确定一个范围。此范围在路口间形成分割点。此时取分割点外侧的路口为要封堵的节点，运用问题（2）中所建立的模型，求出此时最佳的封堵方案。由于最优匹配的交巡警平台与封堵的最短路程可能大于犯罪嫌疑人与这些路口的最短路程，后的第一次封堵也就有可能不成功，因此就需要扩大封堵范围进行第二次封堵。以一分钟扩大一次封堵范围的频率进行枚举。模型的建立与求解根据以上模型的分析可知，该题目的求解过程主要是以非线性规划和最短路径原则，但各个问题的求解又有其不同之处，以下将针对它们的特点一一详述。对巡警服务平台管辖范围的建模及求解根据对问题的分析，求出的92个路口之间的最短距离构成矩阵：利用算法编程并将附件2中各路口的坐标导入程序即可计算出每个平台到各个路口的最短路程，见附录（1）。而其中巡警平台管辖边界两个路口之间的路应按与两平台的最短路程相等来分割处理：如图1，设该路段距离为的分割点距离左边为，路段左边路口距离平台为路段边路口距离右平台为，有关系式，解得。设该路段用线段表示，分割点为且坐标分别为,，由定比分点得点坐标:,图1由此得出的交巡警平台管辖范围如下表所示（以内的编号表示分配给各个平台的路口,A1-A55表示在路上的分割点，路口和分割点的坐标具体见附录（2）：交巡警平台位置编号辖区内各个路口编号11、67、68、69、71、73、74、75、76、78、A41、A42、A43、A44、A45、A46、A47、A48、A49、A50、A51、A5222、39、40、43、44、70、72、A2、A12、A23、A25、A28、A29、A44、A45、A46、A4733、54、55、65、66、A1、A29、A42、A43、A31、A34、A35、A4044、57、60、62、63、64、A2、A35、A36、A37、A38、A40、A4155、49、50、51、52、53、56、58、59、A3、A32、A33、A34、A36、A3766、A3、A3277、30、32、47、48、61、A5、A9、A19、A20、A24、A3888、33、46、A4、A5、A20、A21、A30、A3199、31、34、35、45、A6、A10、A1、A4、A21、A22、A301010、A6、A161111、26、27、A7、A15、A16、A171212、25、A14、A15、A171313、21、22、23、24、A14、A7、A81414、A8、A111515、28、29、A9、A10、A181616、36、37、38、A11、A22、A23、A24、A25、A261717、41、42、A12、A13、A26、A27、A281818、80、81、82、83、A13、A48、A49、A53、A54、A551919、77、79、A50、A51、A52、A532020、84、85、86、87、88、89、90、91、92、A27、A39、A54、A55表1交巡警平台管辖范围在图中显示如图2:对20个平台封锁13个路口的建模及求解根据分析利用非线性规划建模，只要让分配方案中的最大路程的最小，即可求出最佳方案。以需要封锁的个路口为行，个交巡警平台为列，建立矩阵。矩阵行为，列为，将需要封锁的个路口按附件2中的全市路口节点标号由小到大做一次映射：，交巡警平台也按标号顺序标记为，即；.矩阵中的元素为表示路口归平台负责在整体上为最优情况，则反之。（元素全为1或0）路口到平台的最短长度为QUOTE，令矩阵中的元素与QUOTE相乘，得出的矩阵中的个非零元素即是最优方案中分配好的交巡警平台到个路口的路程，然后利用最大最小法，在各个方案中均取路程的最大值进行比较，其中最大路程最小的方案即是最终的最优方案通过上面方程求可以求得的的最小值，但是并不能保证求的的各个平台最路程和最小，所以要进行二次规划。根据以上分析，建模如下：通过规划最终可以求的在最小的的情况下，让的值最小。将数据导入程序后得到需要出警的服务平台、所封锁的路口节点及其到该路口节点的路程，程序见附录（4），结果如表2：路口节点标号路口节点所映射的编号封锁路口的服务平台标号服务平台到其封锁路口的距离121121421616392141422510236132471128815299730108381124812562134表2其中最小的最大路程，最优方案的路程之和。增加2-5个平台的最佳方案的建模与求解在满足时间条件后，增加后的每个平台的管辖范围就确定了。对每个平台管辖范围内的所有路口的工作量进行求和，得出的即是每个平台有效出勤路程，即：再建立一个决策向量，向量中的元素若为表示“选择”平台，为则表示“不选”。共可以添加个交巡警平台，所以分别添加、、、个平台求有效出勤路程最优，当添加个数为2的时候规划方程如下：同样的可以求出添加个数为、、的情况。计算后发现在添加或个平台的情况下无解。经分析这是由于的限定条件造成的，即这两种情况下不能解决“出警时间过长”问题。因此，排除添加和个平台的两种情况。而添加个平台时得出所有平台的总有效出勤路程，平均出勤路程；添加个平台时得出所有平台的总有效出勤路程，平均出勤路程个平台时的相关数据）：平台所在的路口名有效出勤路程123456789101112131415161718192029386187平台所在的路口名有效出勤路程12345678910111213141516171819202829396189由于此时求出的是总有效出勤路程最优，而通过观察表3得出的各个平台的有效出勤路程发现，有的平台的有效出勤路程过大，不符合“均衡工作量”的原则。因此，需要再加上一个约束条件：，即每个平台的有效出勤路程不得超过所有平台的平均有效出勤路程的二倍。此时的约束新增的条件为：将添加个平台的情况在新的约束条件下重新导入程序进行计算，得出的结果如表4。同理，在添加个平台的情况下用上述条件进行约束，得出添加平台的路口编号分别为、、、、。而对照附件1中的附图1发现：在、两个路口全部添加平台的情况下，这两个平台的工作量将变得极不合理。因此，、两个路口只能有一个添加平台。所以，添加个平台的情况下应再增加一个约束条件，即在或路口固定添加一个平台，分别进行计算，结果如表4：添加后的平台数添加平台条件最优出勤总路程平均出勤路程添加平台的路口编号有效出勤路程方差24无、、、25处固定一个平台、、、、25处固定一个平台、、、、表4通过比较表4中的三个有效出勤路程方差，发现个平台的时候方差最小，同时有效出勤路程相差量非常少，即可得出最佳方案是添加个交巡警平台，添加的路口编号分别是、、、。对全市现有巡警服务平台设置方案是否合理的模型建立与求解由分析知，仅仅在有效出勤路程最优的约束下求出的平台数、路口数、总有效出勤路程、平均有效出勤路程及优化后的位置如表5：区域ABCDEF平台数2081791511路口数927315452103108总有效出勤路程平均有效出勤路程原平台位置1-2093-100166-182320-328372-386475-485优化后的平台位置1-2093-100166-182320-328372-386475-485表5结果与题中所有的现有平台排布相同，即原排布是按有效出勤路程最优来进行的。因此，需要对全市现有交巡警服务平台另加约束进行重新分配。由前三个问题的解决方案可知，平台设置方案的合理性取决于两个条件：工作量和出警时间。因此，要想分配出合理的平台设置方案，首先要考虑就仍是有效出勤路程。用问题（3）中的模型分别求出分配方案，同时的约束条件可以去掉，因为平台无论如何分配，都不能完全避免以外的盲区。首先，利用算法计算出各区路口之间的最短路程。然后计算出有效出勤路程最优约束下的平台分配方案及平均有效出勤路程。同问题（3）的模型，由于此时得出的结果中各平台的工作量并不均衡，所以各区的平台个数需重新分配。根据原先的平台分配求出每个区的总有效出勤路程，然后总有效出勤路程除以每个区的平台数得每个区的平均有效出勤路程，六个区的平均有效出勤路程再求一次平均值，将高于这个平均值的区域平台数适量的增加，反之减少。通过多次计算比较，时的各个区的有效出勤路程均值之间的方差尽可能的小。最终求的一组分布情况（无约束下求得的最优值）。区域ABCDEF平台数1362281615路口数927315452103108表6再加上一个约束工作量的条件，即每个平台的有效出勤路程均小于平均有效出勤路程的二倍。利用这次附加的约束条件再进行一次优化，便可得出每个区的最优平台设置方案。由此得，对于区，目标函数及约束条件为：同理可得其他区的目标函数及约束条件。同理，对于各个区都采用第三步的模型，总路程不超过60的情况下求的新点及最优情况如下：区域ABCDEF总有效出勤路程平台数量1462292028将数据及约束条件导入后得出：表7分布表最佳围堵方案的模型建立与求解假设犯罪嫌疑人的逃逸速度与交巡警速度相同，以三分钟内犯罪嫌疑人可以到达的区域确定一个范围。此范围在路口间形成分割点。此时取分割点外侧的路口为要封堵的节点，运用问题（2）中所建立的模型，求出此时最佳的封堵方案。由于最优匹配的交巡警平台与封堵的最短路程可能大于犯罪嫌疑人与这些路口的最短路程，后的第一圈的封堵有可能不成功，因此就需要在更大的范围进行第二次封堵。以每分钟的路程作为封堵的范围的变化进行从小到大的枚举。每次枚举的范围边缘的点见附录4，对于每一分钟获得的外围路口点集进行平台管辖范围的匹配。求平台最晚到达所负责的路口的最短时间，从而可以建立非线性规划方程。假设第分钟的时候，逃犯可以达到的最外围路口个数为个，对它们进行标号为到；通过映射到具体的标号。所以方程为：通过每句的值，最终发现当的时候有可以使得交巡警最晚到达时间小于犯罪嫌疑人赶到的时间分钟。从而得到了最小的，然后求出最小有效出勤路程的最小值。同问题二，约束方程为：最终求得，出警的平台及其负责的路口如下表：需封锁的路口对应执行封锁任务的交巡警平台1111121214142137222132815297624732741791980381188520921716816817217221517521917422717023917324017148148148248248816549477550476558475562480表8模型优缺点及改进模型优点模型是由简单到复杂一步步建立的，使得更贴近实际。本文的模型简单，其算法直观，容易编程实现。本文模型比较注重数据的处理和储存方式，大大提高了计算效率。本文模型比较注重实际效率的提高，通过大量的特征信息的提取，并结合有效的算法，使其完全可以满足实时系统的要求。利用非线性规划的方法借助lingo程序求解，减少了编程的复杂度，节省了时间。模型缺点1.在建模与编程过程中，使用的数据只是现实数据的一种近似，因而得出的结果可能与现实情况有一定的差距。模型的改进Lingo求解的过程中，求的的不一定是精确的最优解。造成一定程度的误差。第二问第一小问的模型中对每个城区的警亭个数的选取方案不一定是最优的，同时没有考虑加入警亭，可能的得到的不一定是最优。其实可以再利用非线性规划加入新的警亭，像第一问第三小问一样，从而使得各个城区没有盲点，各个警务平台的工作量可能分布更加平衡。参考文献：[1]阳明盛罗长童，《最优化原理、方法及求解软件》，北京：科学出版社，2007年。[2]刘爱民，《离散数学》，北京：北京邮电大学出版社，2009年。[3]胡运权，《运筹学教程》，北京：清华大学出版社，2001年。[4]宋世德郭满才，《数学实验》，北京：高等教育出版社，2002年。附录：(1)画图矩阵的程序：%edges是6个列向量，各行表示左端点、右端点、左端点横纵坐标、右端点横纵坐标%返回的是functionarr=getpoints(father,graph,edges)n=size(edges(:,1),1);arr=zeros(n,2);fori=1:nif(father(edges(i,1))~=father(edges(i,2)))dis=sqrt((edges(i,3)-edges(i,5))^2+(edges(i,4)-edges(i,6))^2)l=(graph(father(edges(i,2)),edges(i,2))-graph(father(edges(i,1)),edges(i,1))+dis)/2arr(i,1)=edges(i,3)+(edges(i,5)-edges(i,3))*l/dis;arr(i,2)=edges(i,4)+(edges(i,6)-edges(i,4))*l/dis;endendend最短路程序：functiong=floyd(g)n=size(g,1);fork=1:nfori=1:nforj=1:nif((g(i,j)==-1||g(i,j)>g(i,k)+g(k,j))&&g(i,k)~=-1&&g(k,j)~=-1)g(i,j)=g(i,k)+g(k,j);endendendend(2)分割点编号、坐标及所分路口的节点编号分割点编号分割点坐标所分路的路口节点编号A1(,)3,45A2(,7)4,39A3(,)6,59A4(0000,0000)8,9A5(,)8,47A6(,)10,34A7(,90)11,22A8(,)14,21A9(00000,00000)15,7A10(,)15,31A11(00000,310.000000)16,14A12(,)17,40A13(,)17,81A14(,)24,25A15(,)25,11A16(4,)26,10A17(,)27,12A18(,)29,30A19(,)31,32A20(,)32,33A21(,)33,34A22(336.000000,)36,35A23(,)36,39A24(,)37,7A25(371.000000,)38,39A26(,)38,41A27(,)41,92A28(,)42,43A29(,)44,3A30(342.000000,)45,46A31(,)46,55A32(,)47,6A33(,)47,5A34(,)53,54A35(,)54,63A36(,)56,57A37(,)57,58A38(,)61,60A39(,)62,85A40(,)64,65A41(,)64,76A42(,)66,67A43(,)66,76A44(,)67,44A45(,)69,70A46(,)71,72A47(,)72,73A48(,)73,18A49(,)74,80A50(,)76,77A51(,)77,78A52(,)78,79A53(,)79,80A54(,)82,90(3)最短路矩阵：018.987538.838845.352293.742995.3752115.00390.226292.2544146.496190.879222.362220.018160.285142.49392.868135.912125.645717.583552.632192.934210.962225.018228.932210.904181.879189.312190.012195.158120.834112.812103.60298.502797.279388.011790.823695.922758.809355.809338.131744.412126.063218.000928.474381.303580.9257108.303118.50188.742986.067382.259480.655882.034759.231251.497876.413164.033771.533779.34462.744697.457748.852235.044425.98923.599120.436816.194212.0711510.385211.403116.403110.29616.264989.3005412.836116.40316.4031213.111317.583532.353936.439231.030940.879748.159956.237551.94247.910943.879745.171349.914869.939718.9875021.116556.850778.337198.420897.281272.503974.5321128.773173.157204.639201.03141.297124.77173.880625.911143.847636.57170.8339173.947191.975206.03211.21193.182164.157171.59172.289177.436103.11295.089285.879480.780479.55770.289471.836176.935239.821936.821919.144234.411116.062389.4868363.581263.203492.8973103.09573.337183.28279.474175.172966.628943.825433.775579.415675.532283.032282.389674.2431108.95660.350746.542937.487531.656628.494324.251721.058613.98758.6023320.390616.062324.124525.252525.586329.121833.593925.390632.098836.57150.555854.641149.232859.081666.361774.439470.143966.112762.081663.373268.116680.72838.838821.1165040.433957.220677.304276.164751.387453.4155107.657152.04183.523187.405127.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