线性方程组的解法讨论毕业论文

目录1引言 1 12.1国外研究现状 12.2国外研究现状评价 22.3提出问题 2 2 3 6 94.1高斯消元法 94.2用克拉默（Cramer）法则解线性方程组 5结论.................................................................15 5.2启示 5.3局限性...............................................................15 1引言求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题[1].对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元.对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐因.此，探讨线性方程组的解法就成了当前数学在科技、工程、医学、经济等各个领域中，很多问题常常归结为线性方程.有些问题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程，但其数值解法中却需将该问题“离散化”或“线性化”为线性方程组[10].随着计算机存储量的日益增大和计算机速度的迅速提高，使得求解线性代数方程组的直接求法如高斯消去法等在计算机上可以用来求解大规模论的日臻完善，进一步断定了直接方法的巨大使用价值和可靠性，因而在近三十年来直接法被广泛地采用，在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解，在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解行如Ax=b的大型线性方程组.理中，线性方程组的求解是最常见的问题之一因.此，找到一种行之有效的方法来解线性方程组可以给计算带来很大的便利，提高人们的工作效率.2.1国外研究现状目前，国外对线性方程组解法的研究已从各个方面进行了一定的探讨，得出了一系了齐次与非齐次线性方程组重要理论的应用举例，文献[13-14]花威谈了线性方程组在高等代数中的应用.2.2国外研究现状评价国外对线性方程组的研究多偏重于计算方法和应用方面的研究，分别从商品利润问题、交通问题、在解析几何中的应用问题、解决高等代数等方面进行研究，对线性方程组的系统讨论及怎样选择恰当的方法求解，给出的研究不多.2.3提出问题针对国外研究现状，本文把以上文章中的所有问题进的方程组，叫做线性方程组，其中xx…x代表n个未知量的系数，m是方程的个数；aij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)称为方程组的系数bi(i=1,2,…,s)称为常数项.若方程组(1.1)中b,b,b全为0，即（1.2）形如（1.2）的方程组叫做齐次线性方程组EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up0(的),n)(1)若齐次线性方程组r(A)=n，则只有零解；解的性质：记V={xAx=0},n-r是任意常数，其中n-r是Ax=0的一个基础解系.例1[15]解线性方程组解方法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵=0.例2[2]解线性方程组解将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵2321411230-1-2-2-6| -1-2-2-6」EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up15(r),—r)EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up9(1),r)可得r(A)=2<n，则方程组有无穷多解{1x3-2x34-2x455xx3[例例3[3]求齐次线性方程组{lEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(x),x)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483643(1),1)-2x+x-x解将系数矩阵A化成简化阶梯形矩阵可得r(A)=2<n，则方程组有无穷多解，其同{12-x3x,x由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有：（3）当m=n且r(A)=n时，此时系数矩阵的行列式A≠0，故齐次线性方程组只有零解；（1.3）n2x2n形如（1.3）的方程组叫做非齐次线性方程组，常记为矩阵形式:Ax=b.其中EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up0(的),n)(2)无解：r(A)≠r(A)今线性方程组无解.}{}-ξ2常数,其中η是Ax=β的一个解(称为特解)，ξ,ξ,n-rn-r12n-r,ξ是Ax=0的一个基础解系.n-r例4[7]解线性方程组·可见r(A)=r(A)=3，则方程组有唯一解.所以方程组的解为[-2x例5[1]例5[1]解线性方程组{lEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(x),x)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483644(1),1)2-2x2233-2x3「-2解A=(AB)=11-2111-2-2-24」-2-33可见r(A)=3≠r(A)=2，所以原方程组无解.例例6解线性方程组{l-2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up9(x),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483646(1),x)122-x3-2x34-3x44（其中x3,x4为自由未知量）令x3又原方程组的导出组的同解方程组为（其中x3,x4为自由未知量）所以，原方程组的通解为4.1高斯消元法形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）交换某两个方程的位置；这三种变换统称为线性方程组的初等变换.高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量.现举例说明如下：例7解线性方程组解分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以-1/5，得再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量x，整理2得知数较少的线性方程组；当方程个数和未知数较多时，消元较为困难.4.2用克拉默（Cramer）法则解线性方程组定理1如果方程组Ax=b中D=|A|≠0，则Ax=b有解，且解是唯一的，解为,DEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up0(是),i)D有两个前提条件：例8解线性方程组所以，方程组有唯一解.21-241-111-391-3931-11当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一.如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零.如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解.如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零.用克拉默（Cramer）程个数相同的线性方程组，而且通常是解非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，只能求出零解，非零解无法求出.Ly=b,再解Ux=y在编程过程中分两步进行，先对矩阵A进行LU分解，然后再解方程组.例9用LU分解法解方程组解由LU分解TTT改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组.设n阶线性方程组Ax=b.将方程组左端系数矩阵A，分解成两个三角阵的乘积[14]，即A=LU，式中的元素均为零的下三角矩阵,且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U为主对角线以下的元素均为零.4.4逆矩阵法及广义逆矩阵A-法例10解线性方程组Ax=b,其中A=-11解A=-12所以，系数矩阵A可逆.A-1=22-5-341-39,1,-2,5要讨论如何将上述方法加以推广，使之能运用到一般的线性方程组的求解中.矩阵，记作A-.矩阵A的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵A的{1}-逆的全体记为A{1}.n×m矩阵，矩阵A的一个{1}-广义逆矩阵为-V-A-AVAA-,同时还可以表示为G=A-+V(E-AA)+A-A)W.广义逆矩阵A的-计算：m×m和n阶置换矩阵Q使得rm则对任意的L∈C(n)×(m-r)是A的一个{1}-广义逆矩阵.若存在T∈Cn×n使得n则矩阵的{1}-逆的全体m×n，则A有惟一{1}逆的充分必要条件是m=n，且r(A)=n，即A可逆.这个惟一的{1}逆就是A-1.-b-A)y，其中y是任意的n维列向量.定理2[14]设线性方程组Ax=b有解，A-是m×n矩阵A的一{1}-广义逆矩阵，并定理3[15]设A-为m×n矩阵A的一个{1}-广义逆矩阵，且(AA-)H=A，则对任意的n维列向量b,y=A-b一定是线性方程组Ax=b的最小二乘解.例11解线性方程组解令通过行初等变换得到4可以验证AA-b=(5,14,4)T=b所以，线性方程组有解，且通解为多个解向量中，此法可求出一个长度最短解向量，当方程组无解时，又可求出其最优近似解，而且该方法在概率统计、线性规划等领域中应用比较广泛.5结论数的心脏，它可以应用到很多方面，根据其重要理论可以解决很多问题，使得一些问题得到意想不到的简单解法.5.2启示行分类：齐次线性方程组和非齐次线性方程组.根据不同的线性方程组的不同特征，进而采用适当的