湖南省“一起考”大联考2023-2024学年高三下学期3月模拟考试（模拟一）数学含答案

湖南省2024届高三“一起考”大联考（模拟一）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，若为纯虚数，则（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，且为纯虚数，所以解得，故选A.2．已知，，与的夹角为，则（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3．已知函数的图象如图所示，那么该函数的解析式可能为（）

A. B.

C. D.【答案】B【解析】由图可知，函数为奇函数，而中对应的函数是非奇非偶函数，排除；当时，时，，排除；当时，从图象可知，，而对于，，，所以，与图象不符，排除D.故选B.4．冬日来临，某奶茶店推出了新款奶茶—“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱.已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，，，则该容器的容积为(不考虑材料厚度)（）

A. B.

C. D.【答案】D【解析】由题意得，圆台的高，故该容器的容积，故选D.5．直线分别与轴、轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】：因为直线分别与轴、轴交于两点，所以，，，则.因为圆的圆心为，则圆心到直线的距离，因为点在圆上，故点到直线的距离的取值范围为，则，故选A.6．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后可以得到的图象，则的一个对称中心为（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，则，故对称中心为，，当时，对称中心为，故选D.7．如图所示，面积为的扇形中，，分别在轴上，点在弧上(点与点，不重合)，分别在点，作扇形所在圆的切线，，且与交于点，其中与轴交于点，则的最小值为（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】因为扇形的面积为，即，所以.设，则在Rt中，.连接，根据切线的性质知，，则在Rt中，，，.令，则，且，所以原式，当且仅当，即时，等号成立，又，所以时，取得最小值，为，故选B.8．设，，，则（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，，设，，所以，所以函数在[0，0.2]上单调递增，所以，即.根据已知得，可设，，则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知，则（）

A.

B.

C.

D.【答案】BD【解析】对于和，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，故A错误，B正确；对于C，若，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故C错误；对于D，若，则，所以，由，及，可知，则当，即时，取得最小值，故D正确.故选BD.

10．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与所成的角的大小为B.直线平面C.平面平面D.四面体外接球的体积与正方体的体积之比为【答案】ABD【解析】对于，连接，，如图，由正方体的结构特征知，，即为正三角形.又因为，分别为，的中点，则，因此直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角，又，所以直线与所成的角的大小为正确；对于，平面，平面，故直线平面，正确；对于，取的中点为，连接，显然，的中点为，则，假设平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，则，与矛盾，错误；

对于，不妨设正方体的棱长为，则正方体的体积为，又因为四面体的三条侧棱，，两两垂直，则它的外接球即为以，，为棱的长方体的外接球，于是球的直径，体积为，于是，正确，故选.11．玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）

A. B.

C. D.【答案】BCD【解析】由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，则，所以错误；第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，则，所以B正确；由，，得，所以C正确；由，得，所以D正确.故选BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知全集，集合，，则_______.【答案】【解析】由已知，又，所以.13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，是线段上靠近的三等分点，且，则椭圆的离心率为_______.【答案】【解析】由题意，不妨设点在第一象限，因为，所以，.因为，所以，所以，则，即，整理得.由，得，解得或(舍去)，所以椭圆的离心率为.14．已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，，记，为数列的前项和，则_______.【答案】573【解析】由数列是等差数列，设其公差为，因为，，成等比数列，所以，即，解得或(舍去)，所以，则.当时，，即，共有个，因为，所以，令，则，两式相减得，则，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，内角的对边分别为，，，且，.（1）证明：是锐角三角形；（2）若，求的面积.【解析】解：（1）证明：因为，所以由正弦定理得，整理得.所以由余弦定理得，因为，所以.因为，，所以，

所以，所以是锐角三角形.（2）因为，所以，所以.在中，由正弦定理得，即，所以，所以的面积为.16．如图，在多面体中，四边形和四边形是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中，.（1）证明：平面；（2）求平面和平面的夹角的余弦值.【解析】解：（1）证明：因为平面平面，平面平面，又，即，且平面，所以平面，又平面，故.又，即，且，，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，如图，由，得，故四边形为平行四边形，则，又，所以.由（1）知平面，所以，，则直线，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，由勾股定理得，，由全等关系知，，故，，，，，，，从而，.设平面的法向量为，故令，则，，故.由（1）知平面，故平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，故.17．已知函数，.（1）若的极大值为1，求实数的值；（2）若，求证.【解析】解：（1）的定义域为，.

当时，在上单调递增，函数无极值；当时，令，得，令，得，所以在)上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值，极大值为，解得.经验证符合题意，故实数的值为.（2）证明：当时，，故要证，即证，令，则，，令，，则所以在上单调递增，又因为，，所以，使得，即.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，即，所以，所以，即，故得证.18．某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：观点高二高三热爱3020不热爱20（1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生入数，求的分布列和期望；（2）若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值.附：. 0.0500.0100.001 3.8416.63510.828【解析】解：（1）由题意可知，高二学生热爱数学的概率为，则，，，，故的分布列为 0123 的期望为.（2）由题意得，，令，则，因为在上恒大于0，所以在上单调递增，而，，所以实数的最小值为57.19．已知双曲线一个顶点为，过点的直线交双曲线的右支于，两点，记，，的面积分别为，，.当与轴垂直时，的值为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若交轴于点，，，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若，当时，求实数的取值范围.【解析】解：（1）由题意