专题10成比例线段（4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法）解析版-初中数学北师大版9年级上册

专题10成比例线段（4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.形状相同的图形知识点2.两条线段的比（重点）知识点3.成比例线段（重点）知识点4.比例的性质（难点）（重点）【方法二】实例探索法题型1.比例线段的有关计算题型2.利用比例的性质求值题型3.关于写比例式的开放性问题【方法三】差异对比法易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错【方法四】仿真实战法考法1.比例的性质考法2.成比例线段【方法五】成果评定法【学习目标】认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形。了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法。理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.形状相同的图形形状相同，大小、位置不一定不同的图形叫做形状相同的图形。一般而言形状相同的图形就是相似图形。全等图形是一种特殊的形状相同图形。重点剖析：相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。学法指导：两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。知识点2.两条线段的比（重点）1.两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是它们的长度之比。即AB:CD=m:n，或写成其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值k，那么，或.2.比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比值通常叫比例尺，比例尺是两条线段的比的一种.注意！！！在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。【例1】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地的实际距离是 ．【答案】．【解析】实际距离=图上距离÷比例尺，可知两地实际距离为，注意单位的转化．【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化．知识点3.成比例线段（重点）1.成比例线段：四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例线段,简称比例线段.注意！！！比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。2.比例中项：如果，那么b叫做a的比例中项，【例2】下列四组线段中，成比例线段的是（

）A．4，1，3，8B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【答案】D【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可解：A．∵，∴4，1，3，8不是成比例线段，不符合题意；B．∵，∴3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意；C．∵，∴4，8，3，5不是成比例线段，不符合题意；D．∵，∴15，5，6，2是成比例线段，符合题意．故选：D．【点拨】此题考查了成比例线段，如果四条线段a、b、c、d满足，则线段a、b、c、d成比例，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．知识点4.比例的性质（难点）（重点）1.基本性质：如果，那么；如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么（有多种不同的变换形式，如，，）2.等比性质:;3.合比性质：.重点剖析：利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。使用等比性质时，要注意分母不为0这个条件，否则这个性质不成立。【例3】设线段、、满足，求、、的值．【答案】．【解析】由（1）可得，再结合（2），可得：，由此可得到，结合（2）式可解得．【总结】考查比例的等比性质的应用．【方法二】实例探索法题型1.比例线段的有关计算1.已知a，b，c，d是成比例线段，且，那么．【答案】9【分析】根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可．解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴，∵，∴，解得．故答案为：9【点拨】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键．2.若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是______cm．【答案】6【详解】解：设线段a，b的比例中项是xcm，∵a＝4cm，b＝9cm，∴，∴x=6cm．故答案为：63.已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则_____．【答案】【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，∴，解得：或（线段长度是正数，负值舍去），∴．4.如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．（1）求和；（2）线段，AB，，BC是成比例线段吗？【答案】（1），（2）线段，AB，，BC是成比例线段．【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；（2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．解：（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴＝＝，＝＝（2）由（1）知＝＝，＝＝；∴＝，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．题型2.利用比例的性质求值5.若（x，y，z均不为0），则的值是．【答案】【分析】设，进而可以得出x、y、z的值，然后代入所求的式子中即可得出答案．解：设，则，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．6.若，则________．【答案】【详解】∵，∴，∴，∴．7.设线段、、满足，求、、的值．【答案】．【解析】由（1）可得，再结合（2），可得：，由此可得到，结合（2）式可解得．【总结】考查比例的等比性质的应用．8．（2022秋•金安区校级月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．【解答】解：（1）∵＝＝＝2，且b+d+f≠0，∴＝2，∴的值为2；（2）∵＝＝＝2，∴＝＝＝2，∴＝2，∵b﹣2d+3f＝5，∴a﹣2c+3e＝2×5＝10，∴a﹣2c+3e的值为10．9.已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．【分析】设比值为k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，从而得到x、y、z，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝33，∴4k﹣9k+16k＝33，解得k＝3，∴x＝6，y＝9，z＝12，∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．10.已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．【分析】设a＝5k，b＝7k，c＝8k，再代入等式3a﹣2b+c＝9，求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后根据三角形周长公式进行计算，即可得解．【解答】解：设a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，解得：k＝1，则a＝5，b＝7，c＝8，所以△ABC的周长是：5+7+8＝20．【点评】本题考查了比例的性质以及代数式求值，解决此类题目时利用“设k法”求解更简便．11.已知，，，是的三边，且，，求的面积．【答案】6【分析】根据，可以设=k，然后根据a+b+c=12，可以求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状，最后算出的面积．解：设，∴，，，又∵，∴，∴∴，，又∵，∴，、为两条直角边∴，即的面积为．【点拨】本题主要考查的就是比例的性质以及直角三角形的判定和面积的计算．对于这种题型，我们一般设已知等式的值为k，然后根据等式的值求出k的值，从而得出题目中未知数的值，然后进行计算．如果三边的长度满足较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形就是直角三角形．题型3.关于写比例式的开放性问题12.已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．【答案】或或．【解析】设添加的线段长度为，将当作一个比例外项，根据比例的基本性质有：（1）对应的外项是时，；（2）对应的外项是时，；（3）对应的外项是时，【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论．【方法三】差异对比法易错点1：在求两条线段的比时忽略了要统一单位。13.在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为km．【答案】96；【解析】解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km.14.东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】比例尺=图上距离÷实际距离，比例尺=．【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算．易错点2：判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错。15.已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．【答案】或或．【解析】设添加的线段长度为，将当作一个比例外项，根据比例的基本性质有：（1）对应的外项是时，；（2）对应的外项是时，；（3）对应的外项是时，【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论．16.已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为、、，乙三角形其中一边的长为，求乙三角形的另外两边的长．【答案】3，4或，或1，．【解析】分类讨论．（1）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为；（2）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为6的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为；（3）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为．【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代不明确的，需进行分类讨论．【方法四】仿真实战法考法1.比例的性质1．（2020•毕节市）已知＝，则的值为（）A． B． C． D．【分析】利用合比性质解答．【解答】解：由＝，得＝＝．故选：D．【点评】考查了比例的性质，此题比较简单，熟记合比性质即可解题．2．（2023•金昌）若＝，则ab＝（）A．6 B． C．1 D．【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故选：A．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．3．（2020•湘潭）若，则＝．【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．【解答】解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．4．（2021•大庆）已知，则＝．【分析】利用比例的性质设x＝2k，则y＝3k，z＝4k，将x，y，z的值代入后化简计算即可．【解答】解：∵，∴设x＝2k，则y＝3k，z＝4k，∴＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质设x＝2k，则y＝3k，z＝4k是解题的关键．5．（2021•攀枝花）若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．6．（2020•娄底）若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据等比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．【点评】考查了比例线段，关键是熟练掌握比例的等比的性质．7．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．【分析】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．【解答】解：当＝2时，＝＝，理由如下：∵＝2，∴a＝2c，∴＝，∴b＝c，∴＝＝，＝＝，∴＝＝．故答案为：2．【点评】本题考查比例线段，关键是由＝2，＝＝，得到b＝c．考法2：成比例线段8．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列四组线段中，成比例线段的是（

）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【答案】D【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可【详解】解：A．∵，∴4，1，3，8不是成比例线段，不符合题意；B．∵，∴3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意；C．∵，∴4，8，3，5不是成比例线段，不符合题意；D．∵，∴15，5，6，2是成比例线段，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了成比例线段，如果四条线段a、b、c、d满足，则线段a、b、c、d成比例，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．2．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，可设，则，代入所求的式子即可求解．【详解】解：，设，则，则原式．故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据比的性质化简，得，进而得到．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了比例的性质，正确掌握比例的性质是解题的关键．4．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）已知3、4、5、x成比例，则x的值为（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】根据成比例线段，可得，解方程即可求解．【详解】解：、4、5、x成比例，，得，解得，故选：C．【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握和运用成比例线段的定义是解决本题的关键．5．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）已知，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据比例的基本性质变形得到，整理后即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，即，故选：D【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）题目：“已知数x，y，z，m满足，求m的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（

）．A．甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．甲、丙的答案合在一起才完整【答案】D【分析】分和两种情况求解即可．【详解】解：当时，∵∴；当时，，∴，综上，m的值为2或，故选：D【点睛】本题主要考查了合比定理，熟练掌握合比定理是解答本题的关键．7．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）若，则的值为（

）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【详解】解：由，，，故选：A．【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，则直线一定经过（）A．第一、二象限 B．第二、三家限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】B【分析】对关系式化简为，分类讨论求出的值即可找出经过的象限．【详解】，，当时，，则，此时直线为，过二、三、四象限．当时，，此时直线为，过一、二、三象限．综上所述，过二、三象限．故选B．【点睛】本题考查函数的象限，求出函数的表达式是解题的关键．本题的易错点在于忽略分类讨论的情况．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）若，则下列运算不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用设法进行计算，即可解答．【详解】解：∵，设，则，A、，故选项正确，不符合题意；B、，故选项错误，符合题意；C、，故选项正确，不符合题意；D、，故选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了比例的性质，解题关键是熟练掌握设法．10．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）已知代数式，，，下列结论：①若，则；②若，且z为方程的一个实根，则；③若x，y，z为正整数，且，则；④若，则；其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据比例的性质及求代数式的值的方法，依次化简计算即可得出结果．【详解】解：①若x:y:z=1:2:3，设x=a；y=2a；z=3a；∴A=；B=；C=；∴，故①正确；②若x=y=1，则A=，B=，C=，∴，∵z为方程的一个实数根，∴z≠0，∴，∴，∴，故②正确；若xyz为正整数，则，，，∵x>y>z，∴，∴，即，∴A>B>C，故③正确；若A=B=C，即，当x+y+z≠0时，；当x+y+z=0时，,综上A=或-1，故④错误；∴正确的有3个，故选：C．【点睛】题目主要考查利用比例进行计算，化简求代数式的值，一元二次方程的根等，理解题意，数量掌握各个运算法则是解题关键．二、填空题11．（2023春·贵州六盘水·九年级校考阶段练习）假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1：500000的地图上测得所居住的城市距A地10cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为km．【答案】50【分析】小明所居住的城市与A地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到10：x＝1：500000，然后利用比例的性质计算出x，最后把单位换算成km即可．【详解】解：设小明所居住的城市与A地的实际距离为xcm，根据题意得10：x＝1：500000，解得x＝5000000，所以x＝5000000cm＝50km．故答案为：50．【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．12．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）若，且，则a的值为．【答案】4【分析】已知等式整理后，联立即可求出a的值．【详解】解：由，得到，联立得：，由②得：③，把③代入①得：，解得：，故答案为：4．【点睛】此题考查了比例性质、解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）已知，则．【答案】//1.25【分析】根据比例的性质设，，，再代入计算可求解．【详解】解：由题意设，，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查比例的性质，利用比例的性质设参数是解题的关键．14．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）已知，则的值为．【答案】【分析】把代入式子中进行计算，即可解答．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．15．（2023·湖南郴州·模拟预测）若，则．【答案】3【分析】根据比例的性质得到方程，再解方程即可求解．【详解】解：∵，∴，，解得．故答案为：3．【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题关键．16．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知线段厘米，厘米，那么线段、的比例中项等于．【答案】/6厘米【分析】设线段a、b的比例中项为，根据题意得，代入数值即可求得．【详解】解：设线段a、b的比例中项为，根据题意得，得，，解得或(舍去)，故线段a、b的比例中项等于，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例线段．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么b叫做a与c的比例中项．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，则：．【答案】【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值．【详解】∵，∴，∴设，，∴【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系．18．（2023·全国·九年级假期作业）若，则的值为．【答案】-1或8【分析】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案．【详解】设=k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0，当a+b+c=0时，即a+b=-c，∴k===-1，∴==k3=-1，当a+b+c≠0时，则2-k=0，解得：k=2，∴==k3=8，故答案为：-1或8【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键．三、解答题19．（2023秋·全国·九年级专题练习）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下：解；设，则有：，，，将以上三个等式相加，得.，，都为正数，，即，..仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数，，满足，求的值；（2）已知，，，互不相等，求证：.【答案】（1）k=；（2）见解析．【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足，∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），∴x+y+z=3k（x+y+z），∵x、y、z均为正数，∴k=；（2）证明：设=k，则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，∴8a+9b+5c=0．故答案为（1）k=；（2）见解析．【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．20．（2023秋·全国·九年级随堂练习）已知，求的值．【答案】【分析】根据得，，，代入即可求值．【详解】，，得，．【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是掌握一个字母用另一个字母等量替换．21．（2023春·江西吉安·九年级统考期末）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．【答案】18【分析】设，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y-z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值．【详解】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k，∵2x+3y-z=18，∴4k+9k-4k=18，∴k=2，∴x=4，y=6，z=8，∴x+y+z=4+6+8=18．【点睛】本题考查比例的性质，关键是设，得出k的值．22．（2023·全国·九年级假期作业）若，求的值．【答案】6或【分析】分两种情况：当时，当时，分别