专题08一元二次方程的根与系数的关系（1个知识点6种题型1个易错点2种中考考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

【关注公众号：林樾数学】免费获取更多初高中数学学习资料专题08一元二次方程的根与系数的关系（1个知识点6种题型1个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点：一元二次方程根与系数的关系（难点）【方法二】实例探索法题型1：已知方程的一个根，求另一个根及字母系数的值题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值题型3：已知用方程两根表示的代数式的值，求字母系数的值题型4：根据一元二次方程的两根确定一元二次方程题型5：根的判别式与根与系数关系的综合题型6：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题【方法三】差异对比法易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。【方法四】仿真实战法考法1：一元二次方程根与系数关系的直接应用考法2：一元二次方程根与系数关系的综合应用【方法五】成果评定法【学习目标】1.了解一元二次方程的根与系数的关系，能利用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值。2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程一个根求另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点：一元二次方程根与系数的关系（难点）韦达定理：如果是一元二次方程的两个根,由解方程中的公式法得,．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．【例1】如果，是方程的两个根，那么=_____________；=_______________．【变式1】（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）设一元二次方程的两个实根为和，则（）A． B．2 C． D．3【变式2】（2023·浙江金华·统考一模）若一元二次方程的两根分别为，，则代数式________．【方法二】实例探索法题型1：已知方程的一个根，求另一个根及字母系数的值1.若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________．2．（2023·新疆生产建设兵团第一中学校考一模）已知关于x的一元二次方程的两根分别记为，若，则______．3．（2023·江苏淮安·统考一模）已知一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根为________．题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值4.已知是方程的两根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．5.已知的值．6.已知是方程：的两根，求代数式的值．题型3：已知用方程两根表示的代数式的值，求字母系数的值7．（2023·四川成都·统考二模）关于的方程的两实数根，满足，则______．8．（2023·四川成都·统考二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为______．题型4：根据一元二次方程的两根确定一元二次方程9.写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是，．题型5：根的判别式与根与系数关系的综合10．（2023·湖北荆门·统考一模）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．11．（2023·四川南充·统考二模）实数使关于的方程有两个实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值；(3)给出的两个值，使方程的根是整数．题型6：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题12.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．13.已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围．14.已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．15．（2023春·湖北黄石·九年级统考阶段练习）阅读材料：材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．16．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）阅读材料：材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，则．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________．(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．17．（2023春·福建南平·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式．(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值．18．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：(1)若是倍根方程，求的值；(2)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式．19．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．20．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出，的值．②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．21．（2023·四川南充·统考一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．(1)求证此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是、，且，求．【方法三】差异对比法22.已知关于x的方程有两个正整数根，求整数k和p的值．【方法四】仿真实战法考法1：一元二次方程根与系数关系的直接应用23．（2021·江苏徐州·统考中考真题）若是方程的两个根，则_________．24．（2022·湖南娄底·统考中考真题）已知实数是方程的两根，则______．25．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝_____．考法2：一元二次方程根与系数关系的综合应用26．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为_____．27．（2022·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．28．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．29．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为_____．30．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．【方法五】成功评定法一、单选题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A． B．4 C． D．32．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）设方程的两个根为与，则（

）A．1 B． C．2 D．3．（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）若方程的两根为，，则的值（

）A． B． C． D．4．（2023春·广西柳州·九年级统考期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．20225．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（

）A． B． C． D．7．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知是方程的两根，则代数式的值是（

）A． B． C． D．8．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知、为一元二次方程的两个根，则的值为（

）A．2 B． C．1 D．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（）A． B． C．0 D．10．（2023秋·九年级单元测试）下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程两根为-1和2，则；②若，则；③若，则方程一定无解；④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题11．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是．12．（2021春·广东广州·九年级校考期中）已知是方程的一个解，方程的另一个解为，则．13．（2022秋·湖北随州·九年级校联考阶段练习）已知方程的两根为，则．14．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为、，且，则m的值为．15．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知、，满足等式：，则．16．（2023·江苏盐城·统考二模）若方程的两根为，，则的值为．17．（2022·湖南永州·统考一模）已知不等式的解集是，其中，则不等式的解集．18．（2023·全国·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝，的最大值是．三、解答题19．（2022秋·甘肃定西·九年级校考期中）已知实数a、b满足，，求的值．20．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）已知，是关于x的方程的两个实数根，若，求m的值．21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22．（2022秋·湖北随州·九年级校联考阶段练习）已知关于的方程．(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围；(2)当方程的两个根满足时，求的值．23．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期中）已知关于的方程．(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．24．（2023·全国·九年级假期作业）阅读材料，解答问题：【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．【材料2】已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程的解为；(2)间接应用：已知实数，满足：，且，求的值．25．（2022秋·辽宁大连·九年级校考阶段练习）材料一：法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一