专题03解直角三角形（1个知识点4种题型1种中考考法）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题03解直角三角形（1个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形（重点、难点）【方法二】实例探索法题型1：已知两边解直角三角形题型2.已知一个锐角和斜边解直角三角形题型3.已知一个锐角和一条直角边解直角三角形题型4.构造直角三角形【方法三】仿真实战法考法.解直角三角形【方法五】成果评定法【学习目标】掌握直角三角形的边角关系。能够利用直角三角形的边角关系求直角三角形中的其他元素。能够构造直角三角形求线段的长或角的大小。重点：直角三角形的边角关系。难点：通过作垂线构造直角三角形求线段的长或角的大小。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形（重点、难点）（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）【方法二】实例探索法题型1：已知两边解直角三角形【例1】中，，AB=4，AC=，BC=______，=______．【答案】，．【解析】解：． 在中，，则， ∴．【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a＝1，．解这个直角三角形．【答案与解析】由得∠B＝60°，∴∠A＝90°-60°＝30°．∵，∴．题型1.已知一个锐角和斜边解直角三角形【例2】在中，已知，，c=8，求这个直角三角形的其他边和角（，，，）．【答案】，，．【解析】解：； 在中，，则，解得：； 在中，，则，解得：．【总结】已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦．题型2.已知一个锐角和一条直角边解直角三角形【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠B=60°，a＝4，解这个直角三角形．【答案与解析】∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由知，由知，．题型3.构造直角三角形【例4】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：设网格中的小正方形的边长为1，则BE＝，AE＝，AB=．∵BE2+AE2＝2+8＝10，AB2＝10，∴BE2+AE2＝AB2．∴∠AEB＝90°．由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，∴∠APD＝∠ABE．在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．∴cos∠APD＝．故选：C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．【变式1】如图，四边形ABCD中，，，，，AB=2a，求BC的长．AABCD【答案】．【解析】解：过作，垂足为． ∵，∴． ∵，∴． 在中，，∴，∴； 在中，，∴，∴． 在中，，∴，∴．【总结】将题目中的特殊角构造到直角三角形中．【变式2】如图，在中，，AC=2，AB=4，，求．AABCD【答案】．【解析】解：过点作，交BC边于点E． 在中，， ∵，，∴． ∴，即， ∴，． ∵，，∴． ∴，即，∴． ∴． 在中，．【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比．【变式3】在中，已知D为AB中点，，ACCD，求sinA的值．AABCD【答案】．【解析】解：过点作，交BC边于点E．∵，∴． ∵，ACCD， ∴， ∴． ∵D为AB中点， ∴． 设，则，． 在中，，∴．【总结】1、本题还有一种辅助线的方法，如图． 2、添辅助线的原则是： ①将特殊角构造到直角三角形中；添加辅助线之后要能包含基本图形．【变式4】在中，，AC=BC，AD是BC上的中线，求与的值．【答案】，．【解析】解：过点作，交AB于点E． 设，则，． 在中，， 在中，， 在中，，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴ 在中，，．【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比．【变式5】在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，，，四边形ABCD的面积为，求AD的长．AABCD【答案】．【解析】解：延长和相交于点． ∵，，∴． 在中，，∴，∴，； ∵，∴，∴． ∵四边形ABCD的面积为， ∴， ∴． ∴．【总结】当看到30°和60°这些特殊角时，要想办法把它们构造到一个直角三角形中．【方法三】仿真实战法1．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：如图，连接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，则BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°是解题的关键．2．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．【分析】设AD＝t，根据已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【解答】解：设AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是用放t的式子表示相关线段的长度．3．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝．【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB＝∠CDB，则可得CD＝CB＝3，根据矩形的性质可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了解直角三角形，根据题意作辅助线构造直角三角形应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．4．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝．【分析】先构造直角三角形，然后即可求出sinA的值．【解答】解：设每个小正方形的边长为a，作CD⊥AB于点D，由图可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，构造出合适的直角三角形．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·江苏南通·统考一模）若菱形的对角线，，则菱形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作于点，利用求出，进而求菱形面积．【详解】解：如图所示，过点作于点．四边形是菱形，，又，是等边三角形，．在中，．菱形的面积．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，利用三角函数解直角三角形，平行四边形的面积计算公式等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．2．（2023上·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．【详解】如下图，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，，则的长为（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：在中，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．4．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形的性质得到，，连接AF，由作图知，DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据等面积法即可解答．【详解】解：在中，，，，∴，，连接AF，由作图知，DE垂直平分AC，

∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了基本作图思想，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．5．（2023下·江苏盐城·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值()

A． B． C． D．【答案】B【分析】，先得到，作点的对称点，作，所以，可得，可得当、、共线时，最小，进而可求得．【详解】解：如图，作点的对称点，作于点，

一次函数交轴于点，当时，，当时，，，，，，，，，在的延长线上取，，作于，，，当、、在同一条直线上时，最小，过点作于，在中，，，最小值是，最小值是，故选：B．【点睛】本题考查了“胡不归”问题，即形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出或．6．（2023·江苏南京·九年级南京市第十三中学校考自主招生）已知，，垂直平分，，，求（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用的余弦值求得，证明，利用角的正弦值列式计算即可求解．【详解】解：设，∵，∴，∴，∵，∴，∴，所以，解得，∴，故选：C．【点睛】本题考查了利用三角函数求边长，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．7．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，矩形中，，，垂足分别是E、F，当时，（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据矩形得到，，，即可得到，根据，得到，，即可得到，，即可得到，，结合三角函数即可得到答案；【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，设，即，解得：，（不符合题意舍去），故选C．【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形性质与判定，矩形的性质，解题的关键是根据正弦列比例得到方程．8．（2023上·江苏南通·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点C作轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得，根据已知易证，从而可得，，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：过点C作轴，垂足为D，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了坐标与图形、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，中，，点D、E分别是边上的动点，将绕点D逆时针旋转，使点E落在边的点F处，则的最小值是（

）．

A． B． C． D．1【答案】A【分析】如图：在上取点P，使，先解直角三角形可得、；再证明是等边三角形，可得；再说明，进而证明可得、；设,则，进一步得到、，然后根据勾股定理列出的解析式，再运用二次函数的性质求得最小值，进而求得的最小值．【详解】解：如图：在上取点P，使，

∵中，∴,∴∵将绕点D逆时针旋转，使点E落在边的点F处∴,∴是等边三角形，∴,∵，∴∵，,∴,∴,设,则∵∴∴，∴，即，即∴∴当时，有最小值，则的最小值为．故答案为A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确列出的解析式是解答本题的关键．10．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，点D的坐标是，，将旋转到的位置，点C在上，则旋转中心的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，过点P作于H，并延长交x轴于G，如图，根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，再由点在上，可得，并求出的长，解直角三角形求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案．【详解】解：设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，过点P作于H，并延长交x轴于G，如图，

根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，∵点在上，∴点P到的距离相等，都是，即，∴，∵∴，∴，，设，则，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴∵，即，∴，∴点P的坐标为故选D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转，解直角三角形，勾股定理等等，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置是解题的关键．二、填空题11．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，沿弦折叠扇形纸片，圆心O恰好落在上的点C处，，则四边形的面积为．【答案】【分析】由折叠可得四边形是菱形，得出四边形是菱形，根据直角三角形的边角关系求出，进而得出半径，由菱形的面积公式可求答案．【详解】解：如图，连接交于点D，由折叠可知，，，而，∴，∴四边形是菱形；∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴菱形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查圆的基本性质，折叠的性质，锐角三角函数的应用，掌握折叠的性质、以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．12．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是．

【答案】3【分析】连接，先说明，然后利用相似三角形的性质得到，然后得到，进而利用勾股定理的逆定理证明出，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可．【详解】连接，

∵∴∴∴，即∵，∴∴∴在中，．故答案为：3．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．13．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）一副三角板如图所示放置，中，，等腰中，连接，则的值为

【答案】【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值．过点A作于E，设等腰的边，则，解，得，再解，得，从而得，即可由求解．【详解】解：过点A作于E，如图，

设等腰的边，由勾股定理，得，在中，∵，，∴，即，∴，∴等腰，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．14．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）在锐角中已知，则锐角面积S的取值范围为．【答案】【分析】由正弦定理可得，,结合已知可先表示,然后由为锐角三角形及可求的范围,再把所求的用表示,利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求的范围，即可得到面积的范围．【详解】解：由正弦定理可得，，∴∵为锐角三角形,∴,且∠,∴，∴,∴,，，，即，，，∵面积，故答案为：【点睛】本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌基本公式并能灵活应用．15．（2023上·江苏无锡·九年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，点D在线段上移动（不含B点），，，，若时，则＝．

【答案】或/5或3【分析】设，因为，所以可设，则，结合，得到与之间的关系，根据面积列方程即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，过点E作于一点F，

设，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴，故答案为：或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及解直角三角形，解题的关键是找到的条件．16．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点、分别是线段、射线上动点，连接、．若，则线段的最小值是．

【答案】【分析】过点作于点，先证，再根据，，，求出、的长，设，用表示、、的长，根据即可求出线段的最小值．【详解】解：如图，过点作于点，

，，，，，即，，，，，，,设，则，，，，在中，，，在中，，即，,在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，解得负值舍去，线段的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握是解题的关键．17．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，正方形的边长为，对角线，交于点O，点E在边上，连接，F为上一点，若，，则的长为．【答案】【分析】在中，根据，可得出，又根据正方形的边长为6，可得出，即可求得，，再根据，可得出，从而证得，进而得出，代入数值进行即可求解．【详解】解：设与相交于点H，如图所示：四边形为正方形，，，在中，，，，，，根据勾股定理可得：，，又，，，，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，以及正方形的性质，解题的关键是能证明三角形的相似从而得出对应线段成比例进而解决问题．18．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，点，在轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为，的最小值为．【答案】【分析】如图：在y轴上确定一点，连接，过点P作于点H，过点A作于点J、交于．利用勾股定理求出，证明；再说明，利用正切的定义列方程求得即可确点P的坐标，求出即可确定最小值．【详解】解：如图，在y轴上确定一点，连接，过点A作于点J，过点P作于点H．

∴，∴，∴，∴∴，当A、、H共线时，即H与J重合时，有最小值，∵，即，∴,

∴,即，解得：，∴此时的坐标为，∵，∴，∴的最小值为．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、垂线段最短、解直角三角形等知识点，学会用转化的思想是解题的关键．三、解答题19．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）（1）在中，，求和的长；（2）在中，，解这个直角三角形．【答案】（1），；（2），，．【分析】（1）利用及其正切值，即可求出和的的长；（2）利用勾股定理求出的长，再利用正弦函数的定义即可求出直角三角形的另外两个角的度数．【详解】（1）解：∵在中，，即，∴，∴，∴，；（2）解：在中，由勾股定理可知：，∵，∴，．【点睛】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形，熟练掌握三角函数对应的各边之比以及特殊角的三角形函数值，这是解决本题的关键．20．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，是的中线，

求：(1)的长；(2)的正弦值．【答案】(1)6(2)【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题；（2）在中，求出，即可解决问题．【详解】（1）解：如图，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值为．21．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）由下列条件解直角三角形：在中，；(1)已知，(2)，．【答案】(1)，(2)，，，【分析】（1）先利用互余计算的度数，再利用的正弦得到，接着利用可计算出，从而得到，然后根据勾股定理计算的值；（2）先利用互余计算，的度数，再利用的正弦求，从而可得到的值；【详解】（1），（2），，，，，∵，，【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．22．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）如图，中，，，D为边延长线上一点，，求的值．

【答案】/【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：过点作于点．根据，即可求出，从而由勾股定理可求出．再根据等腰三角形的性质可求出，结合，即可求出，最后根据正切的定义求解即可．【详解】解：如图，过点作于点．

．，，．，，，，，．23．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．

(1)求边的长；(2)求的值．【答案】(1)6(2)【分析】（1）设，根据，可求出长度，再根据勾股定理可求出长度，即可得到长，最后由，可解出x的值．即得到长．（2）作于点E，由，可求出长，再由勾股定理可求出，继而得到长，即可求出．【详解】（1）设，根据题意：，即，∴．∵，∴，∴，，即，解得，经检验，是该分式方程的解．∴．（2）如图，作于点E，

∵，即，∴，∵，由（1）知．∴，∴．【点睛】本题考查三角函数综合，勾股定理的知识．理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键．24．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，两个全等的等边三角形如图放置，边长为8，与交于点G，点D是的中点，与相交于点K，连接．

(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)的面积为【分析】（1）由等边三角形的性质得出，再由三角形的内角和定理与平角定义得出，即可证出；（2）由与是两个全等的等边三角形得（1）知：，根据点D是的中点得，由相似三角形的性质得出，即可证明，即可得出结论；（3）由（1）（2）得，进而得出，即，根据的面积求解即可．【详解】（1）证明：∵与是两个全等的等边三角形，，，，，；（2）证明：，，∵点D是的中点，，，，即，，，；（3）解：，，，，，，，的面积，．【点睛】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．25．（2023上·江苏苏州·九年级统考期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角