2024届黑龙江省名校联盟高考模拟测试数学试题及答案

黑龙江名校联盟2024届高三模拟测试数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名､准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.､一选择题：本题共个小题，每小题分，共8540分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.z2z3izz（1.设复数满足，则D.3xy0，且2xy2）A.2B.2C.32.已知A.1，则4x2y的最小值为（）B.2C.2D.223.已知集合，若，且AB2，则集合B可以为（）,BA∣xx1„3xA.2x„0∣B.x2C.∣y2xD.∣y2x…x,x043fx4.已知函数ff（2，则）,(x0)xA.2B.-2C.-4D.41m,bn,2a共线且方1，且ab与向量aa5.已知，向量b在向量方向上的投影向量为2向相反，则（）m1B.mn2A.nC.mn2D.1ABC的三个内角，则sinAsinB是）6.若分别为“”“的（AAC,B,C0”A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件ABCDABCD7.若正四棱柱与以正方形ABCD的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆1111柱的侧面积之比为（）A.B.2C.D.28.已知数列的前项和为，若aa3，且…nN4S都有nSn10，则annS*Sn1n12（）n1aA.S2Snn1是等比数列B.n2n1n2…n1aS485C.D.n2nn2…､二多选题：本题共个小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.S202409.已知等差数列的前项和为，若S2023，则下列结论正确的是（）annSnA.是递增数列aB.10131012anS„SSD.1015100821C.n1fx10.关于函数2x的图象和性质，下列说法正确的是（）24x的一条对称轴fxA.是函数88的一个对称中心fx,0B.是函数1ysin2xy个单位可得到曲线fxC.将曲线向左平移28,021,42D.函数在fx的值域为211.已知直线l:axy22a0与圆C:(x4)(yr(r0)相交于不同的两点M,N,O为坐标222原点，则（）A.直线l过定点2rB.4,6C.当r3时，D.当r5时，CMCN最小值为-25ABCDABCD,AAABE,FAB,1的中点，记1EF三点12.在正四棱柱中分别为棱为过11111所作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（）2A.异面直线EF与直线所成角的余弦值为13B.与平面的交线与1B平行11C.截面为五边形817D.D点到截面的距离为17､三填空题：本题个小题，每小题分，共4520分.13.已知函数是定义在上的奇函数，当x0时，，则当时，…0fxfxRfxxx1__________.ABADR,2,14.在平行四边形ABCD中，3BEED,CE__________.15.已知球O的体积为，其内接三棱锥D的底面ABC为直角三角形，且ACB90，则三棱3锥D的体积的最大值为__________.x216.已知为函数fx的导函数，且定义域均为，若函数Rfxx与都是偶函数，写出fxf1fx函数的一个对称中心为__________；xf1f2f2f3f3f4f2023f202411111111__________.､四解答题：共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.､17.（本小题满分10分）已知等差数列公差与等比数列公比相同，31236.abnn（1）求和的通项公式；abnn（2）记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求数列前60项的和canbncnnS60.18.（本小题满分12分）fxe,xR已知函数x.（1）求函数fxex单调区间；（2）若过点PttR可以作曲线yfxt的3条切线，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）在四棱锥P中，PBAD,CDA45,AD∥BC，且22，14.（1）证明：平面PCD平面；（2）求平面PCD与平面PBC夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知圆C:x（1）证明：圆C过定点；（2）当m0时，点P为直线2y222mym1mR.xyl:1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边63形PACB面积最小值，并写出此时直线AB的方程.21.（本小题满分12分）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且100m，在B处测得,CBD，在46D处测得BDC,ADC,B,C,D（均处于间一测量的水平面内）34,C（1）求两处景点之间的距离；（2）栈道BD所在直线与22.（本小题满分12分）,C两处景点的连线是否垂直？请说明理由.xfxexa,a0.已知函数2ae的极值；fx（1）当时，求函数2fx2aa…0.（2）证明：a参考答案与解析1.【答案】Bzxi,x,yRzxiz2z3xi3i，所以，所以【解析】依题意，令，则xy1，即z1i2.【答案】A，所以z(222，故选B.【解析】因为xy0，所以4x2y22x2y222x2y222xy1，当且仅当22x2y，即2xy1时，等号成立，故选A.3.【答案】Dlog3x1，所以0x3，所以集合A0,3，对于选项，不等式2A4的解为【解析】因为xx20xxAB20等价于，所以选项不合题意；对于选项，不等式AB，解得0x2xx2B2，所以选项不合题意；对于选项，CB0,2,AB∣y2x,AB2，所以C选项不合题意；对于选项，D∣y2x,2,AB2，符合题意，故选D.4.【答案】C431122f,f4【解析】依题意，33321，2故选C5.【答案】Aaban2ma1an2m1m122①，又ab与向量1共【解析】依题意，所以aa1m1m2221n2m20②，由①②联立，ab1n,m2线，解得，所以m1m7n11或，又ab与向量方向相反，n11m7m1，故选A所以n11舍去，所以n16.【答案】C【解析】依题意可知，在ABC中，由正弦定理可知ab，若sinAsinB，则ab，于是sinAsinB0,yx在0,AB，且,B上单调递减，所以cosAcosB，又，函数AC，则ACB，所以满足充分性；且以上过程可逆，因此也满足必cosBA要性，故选C.7.【答案】BABCDABCDah的底面边长为，高为，圆柱的高为，则圆柱的底面1h【解析】依题意，设正四棱柱111122h122221ah，整理得半径为a，则有a，正四棱柱与圆柱的侧面积之比22224ah122，故选B.ah228.【答案】D4SS【解析】依题意，因为Sn10，nn1即又,n2，S2S2S4S2S2Sn1nnn1nn1S2Saa230S2S,n2Sa3，又，11，所以2112nn1所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以S32n1，所以nSnn1n,Saaaaa336122448，故选D.32n2,n25123459.【答案】AC20231202310120，所以10120，【解析】依题意，S2023210132024a20242024aS2024110120，所以101210130，22所以所以的公差大于0，且a，所以数列a1012010131012，所以A选项正确，B选项不正确；1013nS1012SS，所以C选项正确；1012n最小，即101510081015101410131012101110101009710120，所以选项不正确，故选AC.D10.【答案】ABD121412214fx【解析】依题意，因为2x2x211242x2x24k2xk,kZ,x,kZk0x时，令，当，4288xfx的一条对称轴，所以A选项正确（另解：因为所以是函数81214112时，函数取得最大值，所以是f2x，即当fxx828288函数的一条对称轴）；fxk72xk,kZ,x,kZkx,0令，当，所以842288是函数的一个对称中心，所以选项正确（另解：因为fxB81214818，即是函数的零点，所以是函数f20xfx,02228的一个对称中心）.fx对于C选项，141141fx2x因为sin2xsin2xsin2x2242228123141ysin2xysin2xsin2x又将曲线向左平移个单位可得到曲线C，所以选2882项不正确；121411fx2x因为2x2x，42242212444x,02x,fx的值域为,42，则，所以函数，所以当D选项正确，故选11.【答案】CDaxy22a0，可化为ax2y2，即直线l过定点0【解析】由直线P2，所以A选项不正确；因为直线l与圆C有总有两个公共点，可得点(24)(2r2，解得r5，所以B不正确；(x4)(y9，可得圆心C，又P2长的最小值为2r2P2在圆C内部，22所以当r3时，圆C的方程为22CP5|CP225，4，最大值即为直径6，所以C选项正确；则，可得当r5时，圆C的方程为(x4)2(y2CMCNCMCNcosMCNMCN则当直线l过圆心，此时MCN1，可得的最小值-1，C4,1所以CMCN的最小值为-25故选CD.12.【答案】ACD【解析】如图，对于A选项，异面直线EF与直线所成的角，即为直线EF与直线CCEC所成角，连接，则111EFC即为直线与直线CC所成的角，在RtEFC中，CC2，1EF12233，所以ECEB2BC5，则222，所以A选项正确；延长交1F延长线于，连接H交BC于于I，，延长交DA延长线于K，连接1K交J111B1EFFI则五边形即为平面截该四棱柱得到的截面.即截面为五边形，所以选项正确；CFI∥1K∥,1KD1，所以不平FI与1与平面的交线即为，则，又1111行，所以B选项不正确；FC1对于D选项，由于，所以CD2，211AEKAKE1423KA又，所以，HDKDKH824KD1KH4KFKHFHKD1H213,DH42,KDH为等腰三角形，311322234，31283S的面积为1HKF223417所以1H23设D点到截面的距离为h，则1DHKV，D1KH11321Sh11KH31183231817817178171744h即，解得h，即D点到截面的距离为，33所以D选项正确，故选ACD.13.【答案】fxxx1xxfxxx1，又因为为上的奇函数，fx【解析】当Rfxfxxx1，解得所以fxxx1，又f00cos010xfxxcosx1.，所以当5414.【答案】CDCB4CECB【解析】依题意，可知BD4BE，则，14341434CECDCBBABC整理得，34154CEABAD2所以42568115.【答案】【解析】设AB的中点为O，四面体ABCD的外接球的球心为O，1因为ACB90，所以O1ACB为外接圆的圆心，即点O为四面体ABCD,B,C的外接球过三点的截面圆的圆心，1圆Or的半径为，则AB2r，1因为AC2BC2AB24r2，11ACACBC2BC2Sr2，所以ABC222当且仅当时，取等号，即当且仅当ACB为等腰直角三角形时，ACB的面积最大，连接O并延长交球面于一点，若使得四面体ABCDDO的体积最大，则该交点应为点D，即为四面体1ABCD的高，设x,x0,2，1x2r2DO1x2则有则V，11311248x24xx2xSr223xx，2四面体ABCD31333331324383x3x2(0x2)fxx令则当，3441fxx2x23x2，x3332320xfx0，当x2fx0时，，时，32323所以在fx,2上单调递增，在上单调递减，2256f(x)f所以381，25681所以三棱锥D的体积的最大值为.25681故答案为.16.【答案】；【解析】依题意，因为00,1fxfxfxx，即fxxfxx2，为偶函数，所以xxfxfxhxhx2hx0,1令hx，则，所以关于点对称，所以函数的一个对称中心为xx，0,1x2x2x1fx，所以函数的图象关于直线ff1f1x1对称，因为均为偶函数，所以2即f1x，f1x,f2xfxfxxfxx又因为，所以fx1fx1，所以，fxfx22，f2xfxf4xf2x所以f4xfx，即函数fx是周期为4的周期函数，f41f3f1,f0f4f1，即f1f21f1f2f2f2f2f2，所以f3f1f0f41，2，所以所以f2f42所以fx1fx也是周期为4的周期函数，f1f2f2f3f3f4111111f20231f20241f1f2f1f21f2f3f2f311f3f4f3f4f2023f2024f2023f20241f1f2f2f3f2023f20244f1f20242023506f1f2f2f3f3f4f4f5f2024f2025f1f20242023506f1f2f2f3f3f4f4f5f0f1f1f02023506f1f3f2f4f0f1f1f0202350622f1f1f02023017.【解析】（1）设等差数列的公差和等比数列的公比为，anbtt0nt1tbabtat3，即3，解得t2，因为所以3621n22n.a12n12nn22n（2）数列中的项从小到大依次为bn，aa119而5060依题意可知新数列的前60项中，数列的项只有前6项，数列有54项，cnbnanS135710724816326460所以54110712623042.18.【解析】（1）函数的定义域为fxR，fxexxexex1x，令的单调递增区间是fx0，解得x1，所以函数fx令x1，所以函数fx，解得的单调递减区间是,1fx0（2）由题意可得fxx1ex，设切点坐标为x,y0，则切线斜率k01ex，x00y0e0x1e0x0，所以切线方程为0将代入得te00012.Pt有三个不等实数根，因为存在三条切线，即方程te0001201的图像有三个交点，则方程te00201有三个不等实数根等价于函数yt,ye002gxx设2x1exgxx1x2ex，则，x2,1时，gxgx单调递增；当5在,2和上，gxgx单调递减，2，ge215150，xgx时，当x或22gxx画出2x1ex的图象如图，的图像有三个交点，需yt,ye00201g2t0，要使函数55t0t,02即，即实数的取值范围，e2e19.【解析】（1）连接BD，因为2,4，45,162242cos4510，所以由余弦定理可得BD10，214,10，在PBD中，PBBD2，所以，2则PD2PBAD,ADBDD又所以底面ABCD，依题意可知ABCD为等腰梯形，AB2，可得BC2，取中点H，连接，则∥DH，所以四边形BCDH为平行四边形，∥BHABBHPB,PBABB又BHBA2,AH2，所以，又所以平面，所以平面，又平面PCD，所以面PCD平面.（2）解法1：如图，建立空间直角坐标系，，B0,0,0,C2,2,0,D22,2,0,P0,0,22,2,0PC2,2,2,2,0,0,BC，mx,y,z，设平面PCD法向量为则PCm2x2y2zm2x0，1，得m2,1取zna,b,c，则同理，设面PBC法向量为PCm2ab2cBCn2ab0，取a1，得n0，mn23cos,n由题意，|m||n|3233设平面PCD与平面PCB的夹角为，则cos|,n|，3ABCD,PBCPBC平面ABCD，解法2：由（1）可知，平面平面平面过D作BC，则平面过H作PC的垂线，垂足为E，连，PBC垂足为H,PC平面PBCPC，则，PC,PC,H,HE,由于平面，所以PC平面,平面，故PCDE，则DEH为所求二面角夹角的平面角.PBBCABCD2，所以BCP，42CDsinCHHCsin，4422323cos323所以平面PCD与平面PBC夹角的余弦值为20.【解析】.3（1）依题意，将圆C的方程x2y222mym10化为x2y24y11x2ym0令1x2y0，即x12y，则2y)y4y10恒成立，22xy0，即圆C0过定点解得（2）当m0时，圆C:x2(y2)5，2xyl:1直线631设，依题意四边形PACB的面积，Ps,tS2S252PACB的面积最小，当又取得最小值时，四边形PA|PC|25，即当PCPACB最小时，四边形的面积最小，xy圆心C2到直线l:1的距离即为PC的最小值，63046PC25,PA(25)2515即5S15553PACB面积最小值为53，，即四边形此时直线PC与直线l垂直，y2x2所以直线PC的方程为，与直线l联立，解得，以PCxx2为直径的圆的方程为P2,2y2y24y10，2x4y300即x2y22x40，又圆C:x2y2两式作差可得直线AB方程21.【解析】（1）由题意可知，在BCD中，CBD,,BD10063所以BCD，所以BCD为等腰三角形，所以100，366BAD在ABD中，ABD,,，434121246100ADBDAD100，由正弦定理：，即122，解得AD100