2024届江西省九江市高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3江西省九江市2024届高三二模数学试题一、选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，解得或，所以，又，所以.故选：A2.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.3.若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在上单调递减，由函数在定义域内单调递增，所以函数在上单调递减且恒大于0，则有，解得.故选：C4.第14届国际数学教育大会（ICME-InternationalCongreasofMathematicsEducation）在我国上海华东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：，因为是10的倍数，所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，由可得，末尾数字为3.故选：B5.在正方体中，为四边形的中心，则下列结论正确的是（）A. B.C.平面平面 D.若平面平面，则平面〖答案〗B〖解析〗A选项：由正方体性质易知，，所以四点共面，由图知，平面，直线在平面内，且不过点A，所以异面，A错误；B选项：因为平面，平面，所以，又为正方形，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，B正确；C选项：记平面平面，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，记的中点分别为，由正方体性质可知，，所以，所以，同理，，所以是平面和平面的夹角或其补角，又对称性可知，等腰三角形，故为锐角，C错误；D选项：因为，所以与平面相交，D错误.故选：B6.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故选：A.7.在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，有，即，由题意可得、，渐近线方程为，故，又，故，则，即，解得或，则或，由，故，，即，则.故选：B.8.已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.二、选择题9.射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下：黄雨婷韩佳予王芝琳第4轮105.5106.2105.6第5轮106.5105.7105.3第6轮10510611051则下列说法正确的是A.三轮射击9项成绩极差为1.5B.三轮射击成绩最好的一轮是第五轮C.从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定D.从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出〖答案〗ABD〖解析〗三轮射击9项成绩极差为106.5-105=1.5，A正确；第四轮的总成绩为317.3环，第五轮的总成绩为317.5环，第六轮的总成绩为316.2环，B正确；王芝琳的射击成绩波动小，最稳定，C错误；黄雨婷的平均成绩约为105.67，韩佳予的平均成绩为106，王芝琳的平均成绩约为105.33，D正确.故选：ABD.10.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（）A.的准线方程为 B.周长的最小值为C.直线的倾斜角为 D.四边形不可能是平行四边形〖答案〗BD〖解析〗抛物线的焦点为，准线方程为，又点满足，所以，即，解得或（舍去），所以抛物线，则准线方程为，焦点为，故A错误；过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，所以当且仅当、、三点共线时取等号，所以周长的最小值为，故B正确；因为，所以直线的倾斜角为，故C错误；过点作的平行线，交抛物线于点，即，解得，即，则，所以四边形不是平行四边形，故D正确.故选：BD.11.已知函数的定义域为，，，则下列命题正确的是（）A.为奇函数 B.为上减函数C.若，则为定值 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗因为，，令，可得，则，令，可得，则，令，可得，令，可得，所以，所以为奇函数，故A正确；因为、，所以不可能为上减函数，故B错误；令可得，所以，故C正确；令可得，因为，所以，所以，，，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有________种.〖答案〗96〖解析〗第一步，由于甲不派往乡村A，则A地有种选派方法，第二步，其他4个乡村有种选派方法，所以共有种选派方法.故〖答案〗为：96.13.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________.〖答案〗〖解析〗依题意，解得，所以圆，即，故圆心坐标为，即的外心坐标为，又的重心坐标为，又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为.故〖答案〗为：14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，B，C成等差数列，，则面积的最大值是________，_______.〖答案〗12〖解析〗由题意知，，又，所以，又，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.故面积的最大值为.因为，，所以，，所以，由余弦定理得，所以.故〖答案〗为：；.四、解答题15.已知函数在处的切线方程为（1）求a，b的值；（2）判断的单调性.解：（1），由题意可得，，则，可得，，即，；（2），，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，即，故在上单调递增.16.2023年10月10日，来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85，2号生产线生产的产品优品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引进3号生产线后，1，2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.（1）现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；（2）现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，从乙企业购进设备，每台23000元.需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.解：（1）设“任取一件产品为优品”，“产品为第号生产线生产”，由全概率公式得：则从所有产品中任取一件是良品的概率为：.（2）选择方案一，理由如下：设从甲企业购进设备的费用为元，则可取：，，由（1）知：所以.设从乙企业购进设备的费用为元，则，因为，故选择方案一比较合适.17.如图，三棱锥中，平面，，，，点满足，.（1）证明：平面平面；（2）点在上，且，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为平面，平面，所以，，又点满足，，所以，在中，在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知平面，平面，所以平面平面，在平面内过点作，则平面，又平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设，所以，，因为，所以，即，解得，所以为的中点，则，设平面的法向量为，又，，则，取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆：和圆C：，C经过E的焦点，点A，B为E的右顶点和上顶点，C上的点D满足.（1）求E的标准方程；（2）设直线与C相切于第一象限的点P，与E相交于M，N两点，线段的中点为Q.当最大时，求的方程.解：（1）依题意得，由，得，代入的方程中，得，①又经过的焦点，得，即，②由①②解得所以的方程为.（2）解法一：依题意，设l的方程为，，则有，，由l与C相切，得，即，又，两式相减得，有，，则直线的方程为，联立方程组，解得，中，，当最大时，最大，，由，当且仅当时取等号，得，即的最大值为，此时，，故l的方程为.解法二：依题意，设l的方程为，，联立方程组，化简得，由，得，，联立方程组，化简得，由，得，，，又，当且仅当时取等号，则，当最大时，，故l的方程为.19.定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.（1）求2的完美3维向量集；（2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；（3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.（1）解：由题意知，集合中含有3个元素（），且每个元素中含有三个分量，因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0.所以，，，又，所以2的完美3维向量集为.（2）解：依题意，完美4维向量集B含有4个元素（），且每个元素中含有四个分量，，（i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；（ii）当时，，不满足条件③，舍去；（iii）当时，，因为，故与至多有一个在B中，同理：与至多有一个在B中，与至多有一个在B中，故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去；（iv）当时，，不满足条件③，舍去；（v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；综上所述，不存在完美4维向量集.（3）证明：依题意，的完美维向量集含有个元素（），且每个元素中含有个分量，因为，所以每个元素中有个分量为1，其余分量为0，所以（*），由（2）知，，故，假设存在，使得，不妨设.（i）当时，如下图，由条件③知，或（），此时，与（*）矛盾，不合题意.（ii）当时，如下图，记（），不妨设，，，下面研究，，，，的前个分量中所有含1的个数.一方面，考虑，，，，中任意两个向量数量积为1，故，，，（）中至多有1个1，故，，，，的前个分量中，所有含1的个数至多有个1（**）.另一方面，考虑（），故，，，，的前个分量中，含有个1，与（**）矛盾，不合题意.故对任意且，，由（*）可得.江西省九江市2024届高三二模数学试题一、选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，解得或，所以，又，所以.故选：A2.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.3.若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在上单调递减，由函数在定义域内单调递增，所以函数在上单调递减且恒大于0，则有，解得.故选：C4.第14届国际数学教育大会（ICME-InternationalCongreasofMathematicsEducation）在我国上海华东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：，因为是10的倍数，所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，由可得，末尾数字为3.故选：B5.在正方体中，为四边形的中心，则下列结论正确的是（）A. B.C.平面平面 D.若平面平面，则平面〖答案〗B〖解析〗A选项：由正方体性质易知，，所以四点共面，由图知，平面，直线在平面内，且不过点A，所以异面，A错误；B选项：因为平面，平面，所以，又为正方形，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，B正确；C选项：记平面平面，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，记的中点分别为，由正方体性质可知，，所以，所以，同理，，所以是平面和平面的夹角或其补角，又对称性可知，等腰三角形，故为锐角，C错误；D选项：因为，所以与平面相交，D错误.故选：B6.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故选：A.7.在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，有，即，由题意可得、，渐近线方程为，故，又，故，则，即，解得或，则或，由，故，，即，则.故选：B.8.已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.二、选择题9.射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下：黄雨婷韩佳予王芝琳第4轮105.5106.2105.6第5轮106.5105.7105.3第6轮10510611051则下列说法正确的是A.三轮射击9项成绩极差为1.5B.三轮射击成绩最好的一轮是第五轮C.从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定D.从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出〖答案〗ABD〖解析〗三轮射击9项成绩极差为106.5-105=1.5，A正确；第四轮的总成绩为317.3环，第五轮的总成绩为317.5环，第六轮的总成绩为316.2环，B正确；王芝琳的射击成绩波动小，最稳定，C错误；黄雨婷的平均成绩约为105.67，韩佳予的平均成绩为106，王芝琳的平均成绩约为105.33，D正确.故选：ABD.10.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（）A.的准线方程为 B.周长的最小值为C.直线的倾斜角为 D.四边形不可能是平行四边形〖答案〗BD〖解析〗抛物线的焦点为，准线方程为，又点满足，所以，即，解得或（舍去），所以抛物线，则准线方程为，焦点为，故A错误；过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，所以当且仅当、、三点共线时取等号，所以周长的最小值为，故B正确；因为，所以直线的倾斜角为，故C错误；过点作的平行线，交抛物线于点，即，解得，即，则，所以四边形不是平行四边形，故D正确.故选：BD.11.已知函数的定义域为，，，则下列命题正确的是（）A.为奇函数 B.为上减函数C.若，则为定值 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗因为，，令，可得，则，令，可得，则，令，可得，令，可得，所以，所以为奇函数，故A正确；因为、，所以不可能为上减函数，故B错误；令可得，所以，故C正确；令可得，因为，所以，所以，，，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有________种.〖答案〗96〖解析〗第一步，由于甲不派往乡村A，则A地有种选派方法，第二步，其他4个乡村有种选派方法，所以共有种选派方法.故〖答案〗为：96.13.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________.〖答案〗〖解析〗依题意，解得，所以圆，即，故圆心坐标为，即的外心坐标为，又的重心坐标为，又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为.故〖答案〗为：14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，B，C成等差数列，，则面积的最大值是________，_______.〖答案〗12〖解析〗由题意知，，又，所以，又，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.故面积的最大值为.因为，，所以，，所以，由余弦定理得，所以.故〖答案〗为：；.四、解答题15.已知函数在处的切线方程为（1）求a，b的值；（2）判断的单调性.解：（1），由题意可得，，则，可得，，即，；（2），，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，即，故在上单调递增.16.2023年10月10日，来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85，2号生产线生产的产品优品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引进3号生产线后，1，2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.（1）现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；（2）现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，从乙企业购进设备，每台23000元.需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.解：（1）设“任取一件产品为优品”，“产品为第号生产线生产”，由全概率公式得：则从所有产品中任取一件是良品的概率为：.（2）选择方案一，理由如下：设从甲企业购进设备的费用为元，则可取：，，由（1）知：所以.设从乙企业购进设备的费用为元，则，因为，故选择方案一比较合适.17.如图，三棱锥中，平面，，，，点满足，.（1）证明：平面平面；（2）点在上，且，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为平面，平面，所以，，又点满足，，所以，在中，在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知平面，平面，所以平面平面，在平面内过点作，则平面，又平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设，所以，，因为，所以，即，解得，所以为的中点，则，设平面的法向量为，又，，则，取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆：和圆C：，C经过E的焦点，点A，B为E的右顶点和上顶点，C上的点D满足.（1）求E的标准方程；（2）设直线与C相切于第一象限的点P，与E相交于M，N两点，线段的中点为Q.当最大时，求的方程.解：（1）依题意得，由，得，代入的方程中，得，①又经过的焦点，得，即，②由①②解得所以的