2024届江苏省南京市高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题1.已知向量，．若，则（）A. B. C.3 D.6〖答案〗C〖解析〗由，知，解得.故选：C.2.“”是“过点有两条直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由题意，点在圆外，则有，，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位〖答案〗A〖解析〗，则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A.4.我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（）A.16 B.12 C.10 D.8〖答案〗C〖解析〗因为，，，，所以，，，，，，…，可以看出数列前20项为，故.故选：C.5.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，，所以，所以，则.故选：D6.在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令外接球的半径为，依题意，，，过点作，则，所以，又，所以，所以圆台的侧面积，球的表面积，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.故选：C.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，设的内切圆与，相切于点，如图所示，则，，所以，所以的周长为，由椭圆定义可得，，所以，则，故选：B．.8.在斜中，若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以为锐角，，则，即，所以，即，所以，当时，即,所以，不合题意；当时，，所以，所以当且仅当，即时等号成立，故选：B．二、选择题9.已知，互为共轭复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令，对A，，则不一定成立，故A选项错误；对B，，故B选项正确；对C，，故C选项正确；对D，，故D选项正确.故选：BCD10.已知函数满足，则（）A. B. C.是偶函数 D.是奇函数〖答案〗AC〖解析〗令，则，令，则，解得或，若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；，则,，B选项错误；函数，定义域为R，，为偶函数，C正确，D错误.故选：AC.11.已知平行六面体的棱长均为2,，点在内，则（）A.平面 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，连接，由平行六面体得，平面平面，平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，同理可得，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确；对于B，以为基底，则，，，因为平行六面体的棱长均为2，，所以，，所以，因为平面，且，所以平面，又平面，所以，故B正确；对于D，，，即，所以，当点共线时等号成立，故D正确；对于C，因为平面，则交的外心，连接，则，中，由正弦定理得外接圆直径，，则，，设，在中，，在中，，则，所以，故C错误；故选：ABD．三、填空题12.已知集合，，则集合的元素个数为__________．〖答案〗2〖解析〗当时，，2，4，分别为,均不能满足，当时，时可满足，时，，时，均不满足，当时，可满足，时，，时，均不满足，所以，故集合的元素有2个，故〖答案〗为：213.在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为__________．〖答案〗〖解析〗连接，依题意，设，，则，又，即，即，即，显然，则，即，又，所以，整理得，即，解得，所以，所以.故〖答案〗为：14.已知函数的两个极值点为,,记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则__________．〖答案〗〖解析〗函数，，若，恒成立，在上单调递增，不合题意，时，，得，则，，四边形为菱形，则，，故，，，则，，由，化简得，令，则，即，解得，故，.故〖答案〗为：.四、解答题15.某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；（2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．解：（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，则随机变量的可能取值为1，2，3，，，的分布列为：123数学期望．（2），，，．关于的线性回归方程为；在中，取，得．预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．16.已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值．解：（1）当时，，则，，所以，所以曲线在处的切线方程为：，即．（2），令，解得或，当时，时，，则在上单调递减，所以，则，符合题意；当时，时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增，所以，则，不合题意；当时，时，，则在上单调递减，所以，不合题意；综上，．17.在五面体中，平面，平面．（1）求证：；（2）若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小．（1）证明：因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以．（2）解：由于平面，，所以平面，平面，故,又因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面由于，则,故,故为等腰直角三角形，所以,如图以为坐标原点，所在直线分别为，，轴建系，设，则，故由于，所以，故，设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,，因为，，所以，即令，则，因为，，所以，即令，则，设成的角为，由图可知为钝角，所以，故，18.已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).（1）求E的渐近线方程；（2）若实数满足，求的取值范围．解：（1）抛物线与双曲线（，）有公共焦点F，设双曲线E焦距为，则有，又，则.由，得，所以E的渐近线的方程为（2）设，，1与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有，由，解得，，.设，由，消去得，则有，，由，，有，即，由，有，所以.19.已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.（1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；（2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；（3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．（1）解：由题，所以有，，故根据“X数列”的定义不是“X数列”.（2）解：因为，所以当时，；当时，；则不满足，所以，令，即，则当时，有，；当时，有；故即，则对每一个，有且仅有一个且，使得，综上，对任意，有且仅有一个，使得，所以为“X数列”，由上，，即的“余项数列”通项公式为，.（3）证明：因为是正项数列，所以单调递增，所以，故，因为，且为“X数列”，所以，故由得，的“余项数列”为等差数列，故其公差，因为，所以，若，则当时，，与矛盾，故，所以，，即，对于，若，则，与正项数列矛盾，所以，故，所以，故，所以，又，所以，.江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题1.已知向量，．若，则（）A. B. C.3 D.6〖答案〗C〖解析〗由，知，解得.故选：C.2.“”是“过点有两条直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由题意，点在圆外，则有，，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位〖答案〗A〖解析〗，则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A.4.我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（）A.16 B.12 C.10 D.8〖答案〗C〖解析〗因为，，，，所以，，，，，，…，可以看出数列前20项为，故.故选：C.5.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，，所以，所以，则.故选：D6.在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令外接球的半径为，依题意，，，过点作，则，所以，又，所以，所以圆台的侧面积，球的表面积，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.故选：C.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，设的内切圆与，相切于点，如图所示，则，，所以，所以的周长为，由椭圆定义可得，，所以，则，故选：B．.8.在斜中，若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以为锐角，，则，即，所以，即，所以，当时，即,所以，不合题意；当时，，所以，所以当且仅当，即时等号成立，故选：B．二、选择题9.已知，互为共轭复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令，对A，，则不一定成立，故A选项错误；对B，，故B选项正确；对C，，故C选项正确；对D，，故D选项正确.故选：BCD10.已知函数满足，则（）A. B. C.是偶函数 D.是奇函数〖答案〗AC〖解析〗令，则，令，则，解得或，若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；，则,，B选项错误；函数，定义域为R，，为偶函数，C正确，D错误.故选：AC.11.已知平行六面体的棱长均为2,，点在内，则（）A.平面 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，连接，由平行六面体得，平面平面，平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，同理可得，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确；对于B，以为基底，则，，，因为平行六面体的棱长均为2，，所以，，所以，因为平面，且，所以平面，又平面，所以，故B正确；对于D，，，即，所以，当点共线时等号成立，故D正确；对于C，因为平面，则交的外心，连接，则，中，由正弦定理得外接圆直径，，则，，设，在中，，在中，，则，所以，故C错误；故选：ABD．三、填空题12.已知集合，，则集合的元素个数为__________．〖答案〗2〖解析〗当时，，2，4，分别为,均不能满足，当时，时可满足，时，，时，均不满足，当时，可满足，时，，时，均不满足，所以，故集合的元素有2个，故〖答案〗为：213.在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为__________．〖答案〗〖解析〗连接，依题意，设，，则，又，即，即，即，显然，则，即，又，所以，整理得，即，解得，所以，所以.故〖答案〗为：14.已知函数的两个极值点为,,记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则__________．〖答案〗〖解析〗函数，，若，恒成立，在上单调递增，不合题意，时，，得，则，，四边形为菱形，则，，故，，，则，，由，化简得，令，则，即，解得，故，.故〖答案〗为：.四、解答题15.某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；（2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．解：（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，则随机变量的可能取值为1，2，3，，，的分布列为：123数学期望．（2），，，．关于的线性回归方程为；在中，取，得．预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．16.已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值．解：（1）当时，，则，，所以，所以曲线在处的切线方程为：，即．（2），令，解得或，当时，时，，则在上单调递减，所以，则，符合题意；当时，时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增，所以，则，不合题意；当时，时，，则在上单调递减，所以，不合题意；综上，．17.在五面体中，平面，平面．（1）求证：；（2）若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小．（1）证明：因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以．（2）解：由于平面，，所以平面，平面，故,又因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面由于，则,故,故为等腰直角三角形，所以,如图以为坐标原点，所在直线分别为，，轴建系，设，则，故由于，所以，故，设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,，因为，，所以，即令，则，因为，，所以，即令，则，设